排列组合计数

题型说明

• 直接法：把「满足条件的所有选法」按一个不重不漏的标准分类，每类内分步用 $C_n^k$ / $A_n^k$ 相乘，类间相加。常见分类轴：选了几个、某类取几个。
• 间接法（补集 / 排除）：先数「无限制的总数」$C_n^k$，再减去「不合条件的」，差即所求。当「不合条件」比「符合条件」好数时尤其划算。
• 本题模型：两类课各 $4$ 门，共选 $2$ 或 $3$ 门且每类至少 $1$ 门。直接法按 $(1,1),(2,1),(1,2)$ 分；间接法用 $C_8^k$ 减去「全选同一类」。

常见陷阱

• 分类重复或遗漏（见对应易错点）：如「选 3 门」只数了 $(2,1)$ 漏了 $(1,2)$。
• 间接法减错对象：该减「全同类」却减成别的，或多减一层。