浙江 2017 · 数学 q16

冷启动：先把题面拆成两层

题面：$6$ 男 $2$ 女共 $8$ 名学生，选出队长 $1$ 人、副队长 $1$ 人、普通队员 $2$ 人组成 $4$ 人服务队， 要求队里至少有 $1$ 名女生，问有多少种不同的选法。

读题时要盯住的只有一件事：哪些位置彼此有区别，哪些没有。

• 队长与副队长是两个不同的职务，谁当哪个是两种不同的方案；
• 两名普通队员彼此没有区别，把他们俩对调，服务队还是同一个服务队。

于是一支合格的服务队 $=$ 「哪 $4$ 个人进队」$+$ 「这 $4$ 人里谁当队长、谁当副队长」。两层。

第二层与第一层无关，所以它是个公因子

$4$ 个人定下来之后，队长从这 $4$ 人里选 $1$ 个，副队长再从剩下 $3$ 个里选 $1$ 个：

$$A_4^2=4\times3=12$$

剩下那 $2$ 人自动是普通队员，不再排序。这个 $12$ 不管进队的是谁都一样，于是

$$\text{总选法}=\left(\text{合格的 }4\text{ 人组有几个}\right)\times 12$$

整道题就此缩成一件事：数一数「至少含 $1$ 名女生的 $4$ 人组」有几个。 下面两条路，就是数它的两种数法。

解法一：正面分类，按女生人数分两类，各自先定人后排职务

分类的轴：队里有几名女生

女生一共只有 $2$ 名，所以「至少 $1$ 名」只有两种可能：恰好 $1$ 名、恰好 $2$ 名。 按这个轴分类，不重也不漏——每支合格的队里女生人数是一个确定的数，只能落进一类。

第一类：$1$ 女 $3$ 男

从 $2$ 名女生里选 $1$ 名、从 $6$ 名男生里选 $3$ 名：

$$C_2^1\,C_6^3=2\times\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=2\times20=40$$

这 $40$ 个 $4$ 人组，每个再排职务：

$$40\times12=480$$

第二类：$2$ 女 $2$ 男

两名女生全进队，再从 $6$ 名男生里选 $2$ 名：

$$C_2^2\,C_6^2=1\times\frac{6\times5}{2\times1}=1\times15=15$$ $$15\times12=180$$

相加

两类互不重叠（一支队不可能既恰好 $1$ 名女生又恰好 $2$ 名），并起来又正好是全部合格情形，故

$$480+180=660$$

答案 $660$。

为什么必须按「女生人数」分，而不是按「先派一名女生」分

这是这道题最容易栽的地方，值得单独说。有一种看着很顺的分法：

先从 $2$ 名女生里挑 $1$ 名「保证至少有一个女生」，再从剩下 $7$ 人里随便挑 $3$ 名凑够 $4$ 人。

算出来是

$$C_2^1\,C_7^3=2\times35=70\ \text{组},\qquad 70\times12=840$$

比正确答案多了 $180$。多在哪儿？ 多在那些两名女生都进队的组上： 设两名女生是甲、乙，一支「甲乙都在」的队，既可以看成「先挑甲、再从剩下 $7$ 人里挑到乙」， 也可以看成「先挑乙、再挑到甲」——同一支队被数了两遍。

对一下账就看得很清楚：

$$\underbrace{40}_{1\text{ 女}}\times1+\underbrace{15}_{2\text{ 女}}\times2=70$$

正是那个 $70$。多出来的 $70-55=15$，恰好就是「$2$ 女 $2$ 男」那一类的组数。

教训：分类的标准必须是方案自身的一个属性（这支队里有几名女生）， 而不是「我们先做了哪一步」——后者会把同一个方案按不同的操作顺序数好几遍。

解法二：先数无限制的总数，再减掉全是男生的那一堆

「至少 $1$ 名女生」的反面只有一类

正面要分两类，反面只有一句话：一名女生也没有。类数从两类降到一类，那就走反面。

第一步：无限制的 $4$ 人组

从 $8$ 人里任取 $4$ 人：

$$C_8^4=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70$$

第二步：不合格的 $4$ 人组

「一名女生也没有」意味着 $4$ 人全从 $6$ 名男生里出：

$$C_6^4=C_6^2=\frac{6\times5}{2\times1}=15$$

第三步：相减，再把公因子乘回来

合格的 $4$ 人组：

$$70-15=55$$

每个再排职务：

$$55\times12=660$$

答案 $660$，与解法一一致。

两个要当心的地方

1. 口径要一致。 减法两边必须是同一层的数。这里两边都是「$4$ 人组」的个数， 最后再统一乘 $12$；若一边算的是含职务的方案数、另一边算的是组数，减出来就是一堆废数。 （当然，两边都乘上 $12$ 再减也对：$840-180=660$，只是白乘了两次。）
2. 减完别忘了乘回去。 把 $12$ 提到最后，好处是只乘一次，代价是很容易在 $55$ 处收手。 $55$ 是「有几个 $4$ 人组」，不是「有几种选法」。

回头看：两条路各自强在哪儿

若把题目改成「$6$ 男 $4$ 女、至少 $1$ 名女生」，解法一要分四类（$1$ 女到 $4$ 女）， 解法二仍然是两个数：$C_{10}^4-C_6^4=210-15=195$。类数越多，补集越划算。

两条路共用的那个地基只有一句：先把职务那一层的 $12$ 提出去，题目就只剩下数四人组。