先选后排

什么时候用

题面同时出现这两类要求，就该分层：

• 无序的一半：「选出 $k$ 人组成小组」「取 $k$ 个球」——只问是谁，不问先后。
• 有序的一半：「其中 1 人任队长、1 人任副队长」「排成一排」「甲乙分别得到什么」——位置之间有区别。

两步

1. 先选：用组合数把「哪些元素入选」数清楚，$C_n^k$。这一步得到的是一个集合，内部不分先后。
2. 后排：在选出的 $k$ 个元素内部安排那些有区别的位置，$A_k^m$（$m$ 个有序位置）。 剩下的元素若彼此不分先后，就不再乘任何东西——这是最常见的多乘一次的地方。

为什么值得单独拆一层

排的那一层往往与选的那一层无关。 「$4$ 个人里挑 $1$ 个当队长、再挑 $1$ 个当副队长」恒是 $A_4^2=12$ 种，不管这 $4$ 个人是谁。于是它是个公因子：

括号里那个数怎么算（正面分类、还是总数减掉不合格的）就自由了，而且两条路只需各算一次乘法。 先把公因子提出来，题目就从一道计数题缩成「数集合」这一件事。

常见陷阱

• 把不分先后的那几个也排了一遍：$4$ 人队里除队长、副队长外的 $2$ 名普通队员彼此没有区别， 乘 $A_2^2=2$ 就把每种情形数了两遍。判据只有一句：这两个位置换一下，方案变不变？
• 反过来漏乘：只数出「哪 $4$ 个人」就交卷，忘了职务还要安排。
• 先排后选也行，但别混着来：也可以先从 $n$ 人里排出有序的 $m$ 个位置（$A_n^m$）， 再从剩下的里选补足（$C_{n-m}^{k-m}$）。两条算法结果相同，但不能各取一半拼起来。