浙江 2018 · 数学 q16

冷启动：先选四个数字，再排，千位不能是 $0$

奇数堆 $\{1,3,5,7,9\}$ 里取 $2$ 个，偶数堆 $\{0,2,4,6\}$ 里取 $2$ 个，再排成数字不重复的四位数。

取法本身不会重复：两堆不相交，取出来的四个数字一定两奇两偶。麻烦在排：四个数字里一旦有 $0$，$0$ 不能站在千位。所以要先分清「这四个数字里有没有 $0$」。

解法一：按 $0$ 是否入选分类，先选后排

怎么想到的。 $0$ 在不在，后面的排法完全不同。不含 $0$ 时四个位置随便排；含 $0$ 时千位只剩三个非零数字可选。按这个切开，两类互不相交、并起来就是全部。

奇数两个一定要取，取法 $C_5^2=10$。偶数两个按有没有 $0$ 分成两类。

① 不含 $0$。 从 $\{2,4,6\}$ 里取 $2$ 个：$C_3^2=3$。四个数字都非零，全排列 $A_4^4=24$。

$$C_5^2\cdot C_3^2\cdot A_4^4=10\cdot 3\cdot 24=720.$$

② 含 $0$。 另一个偶数从 $\{2,4,6\}$ 里取 $1$ 个：$C_3^1=3$。四个数字是「两个奇数 + 一个非零偶数 + $0$」，非零的有三个。千位必须从这三个里选，有 $3$ 种；剩下三个位置（含 $0$）全排 $A_3^3=6$。

$$C_5^2\cdot C_3^1\cdot 3\cdot A_3^3=10\cdot 3\cdot 3\cdot 6=540.$$

两类相加：$720+540=1260$。

解法二：先按 $4!$ 全排，再减去千位是 $0$ 的

怎么想到的。 不想在选的时候就把 $0$ 切开，可以先假装 $0$ 能站千位，把所有「先选后排」的序列数出来，再减掉非法的那些——非法的正好是「四个数字里有 $0$，并且 $0$ 在千位」。

先选：$C_5^2\cdot C_4^2=10\cdot 6=60$ 组四个数字。每组先按 $4!$ 全排，一共

$$60\cdot 24=1440.$$

这 $1440$ 里混进了「千位是 $0$」的序列。这样的序列只能来自含 $0$ 的那 $C_5^2\cdot C_3^1=30$ 组；千位钉死为 $0$，剩下三位全排 $3!=6$，共 $30\cdot 6=180$ 个。

$$1440-180=1260.$$

所以一共可以组成 $1260$ 个数字不重复的四位数。