浙江 2013 · 数学 q14

冷启动：题面只说了「谁在谁的哪一侧」，一个字都没提位次

$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 六个字母排成一排，要求 $A$、$B$ 均在 $C$ 的同侧，问排法数。

先把条件读干净，它比看上去窄：

• 只牵扯 $A$、$B$、$C$ 三个字母。$D$、$E$、$F$ 没有任何约束，它们爱站哪站哪。
• 只管左右，不管远近。「同侧」允许 $A$ 与 $C$ 之间隔着三个字母，也允许紧挨着—— 这一点是「同侧」和「相邻」的分水岭，看错就会去用捆绑法，全盘错。
• 左右是对称的。条件里把「都在左」和「都在右」一视同仁，所以最后的答案关于中线对称， 这为原卷的「算一半乘 $2$」提供了合法性。

于是整道题只有一个问题：六个位置里，$A$、$B$、$C$ 三个字母的相对站位有多少种是合格的？

无限制的总数是 $6!=720$。答案 $480$ 恰是它的 $\dfrac23$——这个分数不是巧合， 下面第二条路会把它算出来。

解法一：原卷路线——按 $C$ 的位置分类，左右对称只算前三位再乘 $2$

$C$ 是这道题的分界桩：它站在第几位，左右两侧各有几个空位就定死了。于是按 $C$ 的位置分类。

$C$ 在第 $1$ 位。 左边没有位置，$A$、$B$ 只能都在右边，这是自动满足的。 剩下五个字母随便排：$A_5^5=120$。

$C$ 在第 $2$ 位。 左边只剩一个空位，塞不下 $A$、$B$ 两个，所以它们必须都在右边的四个位置里。 先给 $A$、$B$ 挑两个位置并排好：$A_4^2=12$；剩下三个字母填满剩下三个位置：$A_3^3=6$。 共 $12\times6=72$。

$C$ 在第 $3$ 位。 左边两个位置、右边三个位置，两支都可能：

• 都在左：$A$、$B$ 占满左边两位，$A_2^2=2$，其余三字母 $A_3^3=6$，得 $12$；
• 都在右：$A_3^2=6$，其余 $A_3^3=6$，得 $36$。

合计 $48$。这一步是全题唯一会漏的地方——只写「都在右」那一支，就会得到 $228\times2=456$。

前三位加起来 $120+72+48=240$。由对称性，$C$ 在第 $4$、$5$、$6$ 位的情形与第 $3$、$2$、$1$ 位一一对应， 所以

$$N=240\times2=480 .$$

对称性这一步为什么合法

把整个排列左右翻转（第 $i$ 位与第 $7-i$ 位互换），这是全体排列到自身的一个双射， 而且「$A$、$B$ 在 $C$ 同侧」翻转后仍然成立。翻转把「$C$ 在第 $k$ 位」的那一堆整个搬到「$C$ 在第 $7-k$ 位」， 所以两堆一样大。先确认条件本身左右对称，再用「乘 $2$」——若条件是「$A$ 在 $C$ 左边」， 这一步就不能用。

解法二：只看 $A$、$B$、$C$ 的相对次序——$6$ 种次序等分 $720$，划掉 $C$ 居中的两种

把 $D$、$E$、$F$ 从视野里删掉，只盯着 $A$、$B$、$C$ 从左到右的出场顺序。一共 $3!=6$ 种：

$$ABC,\quad ACB,\quad BAC,\quad BCA,\quad CAB,\quad CBA .$$

条件「$A$、$B$ 在 $C$ 同侧」翻译过来就是「$C$ 不排在中间」， 不合格的只有 $ACB$ 与 $BCA$ 两种，合格 $4$ 种。

关键一步：这 $6$ 种次序把全部 $720$ 个排列均分成 $6$ 份，每份 $120$ 个。 理由是一个显然的双射——固定其余字母不动，只把 $A$、$B$、$C$ 在它们占的三个位置上重摆一遍， 就能把任一堆一一对应到另一堆。所以

$$N=6!\times\frac{4}{6}=720\times\frac23=480 .$$

这条路一行写完，且完全不用排列数公式。它的适用面比本题宽得多： 「甲在乙前面」是 $\dfrac{n!}{2}$，「三人身高递增」是 $\dfrac{n!}{6}$，都是同一句话。 详见只看几个元素的相对次序。

它和解法一的关系

解法一的六个数 $120,72,48,48,72,120$ 求和得 $480$；解法二直接说「总数的 $\frac23$」。 两者的差别在于要不要把 $C$ 的绝对位置摊开。条件只涉及相对位置时，摊开是白费力气。

解法三：逐位硬求和——$C$ 在第 $k$ 位时同侧的放法是 $A_{k-1}^{2}+A_{6-k}^{2}$，六项加完再乘 $3!$

不用对称性，六个位置老老实实各算一次。$C$ 在第 $k$ 位时，左边有 $k-1$ 个位置、右边有 $6-k$ 个， 把 $A$、$B$ 塞进同一侧的放法数是

$$A_{k-1}^{2}+A_{6-k}^{2},$$

而 $D$、$E$、$F$ 永远贡献同一个因子 $3!=6$，可以提到求和号外面：

$$N=3!\sum_{k=1}^{6}\left(A_{k-1}^{2}+A_{6-k}^{2}\right).$$

逐项算（$A_0^2=A_1^2=0$）：

求和得 $80$，于是 $N=6\times80=480$。

把 $3!$ 提出去是这条路唯一的技巧。 不提的话，六项里每一项都要多写一个 $A_3^3$， 式子长一倍，还容易在某一项上漏乘。这也解释了解法一里那些 $A_3^3$ 为什么处处出现： 它们本来就该被提成公因子。

解法四：补集——反面「$C$ 夹在 $A$、$B$ 之间」只有一类，$720-240$

正面「同侧」要分「都在左」「都在右」两支；反面「异侧」只有一句话：$C$ 排在 $A$ 与 $B$ 中间。 一类比两类好数，这就是用补集的理由。

先给 $A$、$B$、$C$ 挑三个位置：$C_6^3=20$ 种。这三个位置一旦选定， $C$ 必须占中间那个（不然就不是「夹在中间」），$A$、$B$ 在两端有 $2$ 种摆法。 剩下三个字母填满剩下三个位置：$3!=6$。所以异侧的排法数是

$$20\times2\times6=240 ,$$

于是 $N=720-240=480$。

注意「挑位置」和「排字母」要分开做。 若直接写 $A_6^3=120$（选位置的同时把三个字母排好）， 再乘「$C$ 居中」的比例 $\frac13$，得 $40$，再乘 $3!$ 也是 $240$——殊途同归， 但前一种写法把「$C$ 必居中间」这句限制放在了显眼处，不容易错。 更多触发词见正难则反用补集。

四条路怎么选

考场上：先在草稿上写下 $3!=6$ 与「$C$ 不居中」这两句，用路二一行得 $480$； 若怕自己把「同侧」读成别的意思，再用路四的 $720-240$ 复核一次——两条路互不依赖， 对上了就可以落笔。路一适合写在卷面上（阅卷按分类给分），路三只在需要展示完整公式时用。

一句话带走

条件只约束几个元素谁前谁后时，别去排位置——把那 $k!$ 种次序列出来，数出合格的几种， 乘上 $\dfrac{\text{合格数}}{k!}$ 就完了。 这道题里 $k=3$、合格 $4$ 种， $720\times\dfrac46=480$。而「同侧」不等于「相邻」：前者只管左右，后者管距离， 一旦读混，捆绑法、插空法就会全用错。