只看几个元素的相对次序

什么时候用

题面只约束几个指定元素之间的先后关系，不管它们具体站在第几位：

• 「甲在乙的前面」「$A$ 排在 $B$ 之前」——$k=2$，合格次序 $1$ 种，答案 $=\dfrac{n!}{2}$。
• 「$A$、$B$ 均在 $C$ 的同侧」——$k=3$，合格次序 $4$ 种（$C$ 不居中），答案 $=n!\times\dfrac46$。
• 「三个人按身高从矮到高站」——$k=3$，合格次序 $1$ 种，答案 $=\dfrac{n!}{6}$。
• 「$A$ 在 $B$ 前、$B$ 在 $C$ 前」——同上，$\dfrac{n!}{6}$。

识别标志：把那几个元素抽出来看，条件只涉及它们谁前谁后，与其余元素、与绝对位置无关。

为什么可以这么算

把全部 $n!$ 个排列按「那 $k$ 个元素的相对次序」分堆，一共 $k!$ 堆。

任取两种次序，用一个双射把一堆搬到另一堆：只把那 $k$ 个元素在它们占的 $k$ 个位置上重新摆一遍， 其余元素一动不动。这是可逆的，所以每堆一样大，各含 $\dfrac{n!}{k!}$ 个排列。

于是「合格」的堆有几个，答案就是几份：

这一步是等分，不是概率近似——$n!$ 一定被 $k!$ 整除，答案永远是整数。

三步写法

1. 认出被约束的那 $k$ 个元素，写下 $k!$ 是多少。
2. 把 $k!$ 种次序列出来（$k=3$ 时只有 6 种，手写得完），数出合格的有几种。
3. 乘：$n!\times\dfrac{\text{合格数}}{k!}$。

以「$A$、$B$、$C$ 六字母排一排，$A$、$B$ 在 $C$ 同侧」为例：$3!=6$ 种次序 $ABC$、$ACB$、$BAC$、$BCA$、$CAB$、$CBA$，$C$ 居中的只有 $ACB$、$BCA$ 两种， 故合格 $4$ 种，答案 $6!\times\dfrac46=720\times\dfrac23=480$。

常见失手

• 元素之间不等价时不能用。比如「$A$ 与 $B$ 相邻」约束的是距离不是次序，各堆不等大，这条失效——那类题要用捆绑法。
• 条件里混进了绝对位置就失效。「$A$ 不在第一位且 $A$ 在 $B$ 前」里的前半句与位置有关，得先拆开处理。
• 合格次序数别数漏。$k=3$ 时老老实实把 $6$ 种写出来划掉不合格的，比在脑子里数快也更稳。
• 有重复元素（如两个相同的字母）时，$k!$ 要换成相应的可区分次序数，否则分母偏大。