正难则反用补集

触发词

题面出现下面这些词，先想反面：

• 至少一个、至少一名 —— 反面是「一个也没有」，只有一类。
• 不全是、不都是 —— 反面是「全是」。
• 至少一次、并非都 —— 同理。

正面「至少 $1$ 个」要按「恰好 $1$ 个、恰好 $2$ 个、……」分好几类；反面「一个也没有」只有一类。 类数从几类降到一类，出错的机会也跟着降。

三步

1. 松掉那条限制，数出无限制的总数 $N$。
2. 数反面：不满足条件的有 $N_{\text{反}}$ 个。要点是反面必须是限制的严格否定，不能多也不能少。
3. 相减：所求 $=N-N_{\text{反}}$。

什么时候不划算

反面自己也要分好几类的时候。「至少两名女生」的反面是「恰好一名 + 一名也没有」——两类， 与正面持平，那就没必要绕。判据是数一数两边各有几类，挑少的那边。

常见陷阱

• 反面取错：「至少 $2$ 个」的反面是「$0$ 个或 $1$ 个」，不是「$1$ 个」。
• 全集取错：总数必须是同一个计数口径下的总数。选人时若职务也已排定， 减的那一块也要连职务一起算，两边的口径必须一致。
• 减完忘了乘回去：若把某个公因子提到了最后（先在「集合」这一层做加减）， 相减之后还要把那个因子乘回来。