浙江 2009 · 数学 q22

冷启动：两问各自在问什么

题面给的是两个函数

$$f(x)=x^{3}-\left(k^{2}-k+1\right)x^{2}+5x-2 , \qquad g(x)=k^{2}x^{2}+kx+1 ,$$

两问用的是它们的两种拼法：第一问把它们加起来，第二问把它们拼成一个分段函数。

第一问：$p=f+g$ 的导数长什么样

相加时，二次项系数 $k^{2}$ 与 $-\left(k^{2}-k+1\right)$ 里的 $k^{2}$ 正好消掉——这是本题一切简洁的源头：

$$k^{2}-\left(k^{2}-k+1\right)=k-1 .$$

于是

$$p(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+(k-1)x^{2}+(k+5)x-1 , \qquad p'(x)=3x^{2}+2(k-1)x+(k+5) .$$

「在 $(0,3)$ 上不单调」要翻译准。 由导数的正负与函数的单调性，$p$ 在区间上单调 $\iff$ $p'$ 在这个区间上不变号。所以

$$p\ \text{在}\ (0,3)\ \text{上不单调} \iff p'\ \text{在}\ (0,3)\ \text{上变号} .$$

注意「变号」比「有零点」严格。 $p'$ 是开口向上的抛物线：它在一个单根处穿过横轴、变号，而在重根处只是擦一下就弹回去，符号根本没变。所以「$p'$ 在 $(0,3)$ 内有零点」不够，必须是变号零点。这一句差别正是第一问唯一的那处取舍——后面会看到 $k=-2$ 恰好卡在这里。

第二问：$q'$ 是两条曲线，可它们的形状得先验出来

$$q(x)=\begin{cases} g(x), & x\geqslant 0,\\[2pt] f(x), & x<0, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad q'(x)=\begin{cases} 2k^{2}x+k, & x>0,\\[2pt] 3x^{2}-2\left(k^{2}-k+1\right)x+5, & x<0. \end{cases}$$

（$x=0$ 处两边的导数未必接得上，但题目问的 $x_{1}$、$x_{2}$ 都是非零实数，所以这一点不必操心。）

记 $c=k^{2}-k+1$。右支是一条斜率 $2k^{2}$ 的直线，左支是抛物线 $3x^{2}-2cx+5$ 的左半段——形状就这么两句，但下面三件事一件都不能当成显然，每条路都得自己过一遍：

1. $k$ 能不能是 $0$。 $k=0$ 时右支退化成常值函数 $0$，任一 $x_{1}>0$ 都有无穷多个 $x_{2}>0$ 与它同值——这个退化值不先剔掉，后面所有「值域是 $(k,+\infty)$」的写法都是假命题。
2. 两支各自到底单不单调。 右支要 $2k^{2}>0$；左支要抛物线的对称轴 $x=\dfrac{c}{3}$ 落在 $(-\infty,0)$ 之外。这两条分别决定了两支的值域写不写得出来。
3. 同侧有没有第二个同值点。 题目要的惟一，是在全体非零实数里惟一，不只是在对侧惟一。

「对任意给定的非零 $x_{1}$，存在惟一的非零 $x_{2}$」怎么读。 最容易读错的是「任意」与「存在」的配合：它要走两趟，而两趟的方向恰好相反。 $x_{1}$ 取遍右支时，要求右支的每个值都能被左支接住；$x_{1}$ 取遍左支时，要求左支的每个值都能被右支接住。把其中一趟的方向抄反，两式就同向，解出来会是一个区间而不是一个数——这正是原卷解析栽的那一跤（见文末第 3 条笔误）。

解法一：把 $k$ 分离出来——第一问看水平线交几次，第二问看两个值域套不套得住

怎么想到的。 两问里 $k$ 都被埋在系数中，直接讨论就会陷进分类。可注意 $p'(x)=0$ 关于 $k$ 是一次的（上面那条 $k^{2}$ 相消的恒等式），一次方程可以一步反解——把 $k$ 请到等号一边，剩下的就是一个不含参数的函数，问题变成「水平线与一条固定曲线交几次」。

（Ⅰ）分离出 $k$，再读这条曲线的值域

先把 $p'$ 写出来。相加时二次项里的 $k^{2}$ 与 $-\left(k^{2}-k+1\right)$ 里的 $k^{2}$ 相消—— $k^{2}-\left(k^{2}-k+1\right)=k-1$——于是 $p(x)=x^{3}+(k-1)x^{2}+(k+5)x-1$，

$$p'(x)=3x^{2}+2(k-1)x+(k+5) .$$

关键的观察：$p'(x)=0$ 关于 $k$ 是一次的。 把含 $k$ 的项归拢：

$$3x^{2}-2x+5+k(2x+1)=0 .$$

在 $(0,3)$ 上 $2x+1>0$，可以放心地除过去：

$$k=-\frac{3x^{2}-2x+5}{2x+1}\ \stackrel{\text{记作}}{=}\ \varphi(x),\qquad x\in(0,3).$$

于是「$p'$ 在 $(0,3)$ 内有零点」就是「水平线 $y=k$ 与曲线 $y=\varphi(x)$ 有交点」，即 $k$ 落在 $\varphi$ 的值域里。

换元求 $\varphi$ 的值域。 令 $t=2x+1$，则 $x=\dfrac{t-1}{2}$，且 $x\in(0,3)\iff t\in(1,7)$。代入化简：

$$3x^{2}-2x+5=\frac{3t^{2}-10t+27}{4} \;\Longrightarrow\; \varphi=-\frac{3t^{2}-10t+27}{4t}=-\frac{3}{4}\left(t+\frac{9}{t}-\frac{10}{3}\right).$$

括号里是一条对勾函数 $h(t)=t+\dfrac{9}{t}$。由基本不等式 $h(t)\geqslant 2\sqrt{9}=6$，等号在 $t=3$（即 $x=1$）取到；$h$ 在 $(1,3]$ 上递减、在 $[3,7)$ 上递增，两端的极限值是 $h(1)=10$ 与 $h(7)=\dfrac{58}{7}<10$，两处都取不到。所以

$$h(t)\in[6,10) \;\Longrightarrow\; \varphi=-\frac34 h(t)+\frac{10}{4}\in\left(-5,\,-2\right].$$

最后剔掉那个只擦不穿的 $k$。 值域的右端点 $k=-2$ 只在 $t=3$、即 $x=1$ 这一个点上取到，也就是说此时 $\varphi(x)=k$ 只有这一个解。回到原方程：$k=-2$ 时

$$p'(x)=3x^{2}-6x+3=3(x-1)^{2}\geqslant 0 ,$$

$p'$ 在 $x=1$ 处只是擦到横轴，全程非负，$p$ 反而在 $(0,3)$ 上单调递增。导数为零并不等于那里有极值——这正是本题唯一需要回头补刀的地方。舍去 $k=-2$：

$$\boxed{\,k\in(-5,-2)\,}$$

（左端 $k=-5$ 本来就取不到：它对应 $t\to1^{+}$，即 $x\to0^{+}$，而 $x=0$ 不在开区间里。）

（Ⅱ）先把两支的值域算出来，再让它们互相套

第一步：把 $q'$ 写出来，并把三个前提逐一落实。

$$q'(x)=\begin{cases} 2k^{2}x+k, & x>0,\\[2pt] 3x^{2}-2cx+5, & x<0, \end{cases} \qquad c=k^{2}-k+1 .$$

• $k\neq0$。 $k=0$ 时右支恒为 $0$，任取 $x_{1}>0$，每个 $x_{2}>0$ 都与它同值，「惟一」不成立。先剔掉。
• 右支：$k\neq0$ 时斜率 $2k^{2}>0$，在 $(0,+\infty)$ 上严格递增，$x\to0^{+}$ 趋于 $k$（取不到），故值域 $A=(k,+\infty)$。
• 左支：$c=\left(k-\dfrac12\right)^{2}+\dfrac34>0$，故对称轴 $x=\dfrac{c}{3}>0$，整条 $(-\infty,0)$ 在它左边，左支严格递减，$x\to0^{-}$ 趋于 $5$（取不到），故值域 $B=(5,+\infty)$。

两支都严格单调、因而各自是单射：与 $x_{1}$ 同值的第二个点不可能还在同一支上，所以 $x_{2}$ 只能在对侧，且对侧也是单射，存在即惟一（异号故 $x_{2}\neq x_{1}$ 自动成立）。剩下的只有存在性。

第二步：两趟包含，方向相反。

• $x_{1}>0$ 那一趟。 $q'(x_{1})$ 取遍 $A=(k,+\infty)$，要它们全都能被左支接住，就要 $A\subseteq B=(5,+\infty)$，即 $k\geqslant 5$。
• $x_{1}<0$ 那一趟。 $q'(x_{1})$ 取遍 $B=(5,+\infty)$，要它们全都能被右支接住，就要 $B\subseteq A$，即 $5\geqslant k$。

两趟都要，于是 $k=5$。注意两式的方向恰好相反——把其中一趟抄反，两式同向，交出来会是 $k\geqslant5$ 这样一个区间而不是一个数。

回验 $k=5$。 此时 $c=25-5+1=21>0$，左支 $q'=3x^{2}-42x+5$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递减、值域 $(5,+\infty)$；右支 $q'=50x+5$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增、值域也是 $(5,+\infty)$。两支值域相同，任给一侧的 $x_{1}$，另一侧恰有一个 $x_{2}$ 与它同值。

$$\boxed{\,\text{存在，}k=5\,}$$

解法二：正难则反——先算「单调」再取补，第二问只比两个开端点

怎么想到的。 第一问要的是「不单调」。「不单调」是个否定句：要么这里变号、要么那里变号，正面做就得数「有几个根、落在哪」。可它的反面「单调」是一句干干净净的恒成立——$p'$ 在整个 $(0,3)$ 上不变号。先把反面算干净，再取补集，一次分类都不用。

（Ⅰ）先算「单调」

记 $\phi(x)=p'(x)=3x^{2}+2(k-1)x+(k+5)$，开口向上。$p$ 在 $(0,3)$ 上单调，等价于

$$\text{（甲）}\ \phi(x)\geqslant 0\ \text{在}\ (0,3)\ \text{上恒成立} \qquad\text{或}\qquad \text{（乙）}\ \phi(x)\leqslant 0\ \text{在}\ (0,3)\ \text{上恒成立} .$$

先记下两个端点值，它们后面反复要用：

$$\phi(0)=k+5 ,\qquad \phi(3)=27+6(k-1)+(k+5)=7k+26 .$$

（乙）最好办。 开口向上的抛物线在一个区间上恒 $\leqslant 0$，等价于它在两个端点都 $\leqslant 0$（区间开闭不影响，因为端点处取的是极限）。故

$$\text{（乙）}\iff k+5\leqslant 0\ \text{且}\ 7k+26\leqslant 0\iff k\leqslant-5 .$$

（甲）要看判别式。 $\Delta=4(k-1)^{2}-12(k+5)=4\left(k^{2}-5k-14\right)=4(k-7)(k+2)$。

• 若 $\Delta\leqslant0$，即 $-2\leqslant k\leqslant 7$，则 $\phi\geqslant0$ 对所有 $x$ 成立，（甲）自然满足。
• 若 $\Delta>0$（即 $k<-2$ 或 $k>7$），$\phi$ 有两个不同的根 $x_{-}<x_{+}$，（甲）要求区间 $(0,3)$ 整个落在 $[x_{-},x_{+}]$ 之外，只有两种站位：
  • $x_{+}\leqslant 0$：需 $\phi(0)\geqslant 0$ 且对称轴 $\dfrac{1-k}{3}\leqslant 0$，即 $k\geqslant-5$ 且 $k\geqslant 1$，与 $\Delta>0$ 交得 $k>7$；
  • $x_{-}\geqslant 3$：需 $\phi(3)\geqslant 0$ 且对称轴 $\dfrac{1-k}{3}\geqslant 3$，即 $k\geqslant-\dfrac{26}{7}$ 且 $k\leqslant-8$，无解。

把三段并起来：$\text{（甲）}\iff k\geqslant -2$。

取补。 于是

$$p\ \text{单调}\iff k\leqslant-5\ \text{或}\ k\geqslant-2 \;\Longrightarrow\; p\ \text{不单调}\iff -5<k<-2 .$$

这条路的好处，正在于它不用单独剔 $k=-2$。 $k=-2$ 时 $\Delta=0$，它落在（甲）的第一段里，本来就被算进「单调」那一边了。取补时端点的开闭要跟着翻：两个闭的（$k\leqslant-5$、$k\geqslant-2$）取补后变成两个开的，答案的两端都不含。

（Ⅱ）两支各自单调，于是只剩两个开端点要比

先把两支的形状验出来。 求导得

$$q'(x)=\begin{cases} 2k^{2}x+k, & x>0,\\[2pt] 3x^{2}-2cx+5, & x<0, \end{cases} \qquad c=k^{2}-k+1 .$$

三件事要逐一落实，一件都不能当成显然：

1. $k\neq0$。 若 $k=0$，右支恒等于 $0$：任取 $x_{1}>0$，每一个 $x_{2}>0$ 都满足 $q'(x_{2})=q'(x_{1})=0$，同侧就有无穷多个解，「惟一」不成立。故 $k=0$ 先出局。
2. 右支严格递增。 $k\neq0$ 时斜率 $2k^{2}>0$，$q'$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增；$x\to0^{+}$ 时趋于 $k$（取不到），$x\to+\infty$ 时趋于 $+\infty$，故值域 $A=(k,+\infty)$。
3. 左支严格递减。 $c=\left(k-\dfrac12\right)^{2}+\dfrac34>0$（判别式 $1-4<0$），所以抛物线 $3x^{2}-2cx+5$ 的对称轴 $x=\dfrac{c}{3}$ 在正半轴上，整条 $(-\infty,0)$ 都落在它左边，左支因而严格递减；$x\to0^{-}$ 时趋于 $5$（取不到），$x\to-\infty$ 时趋于 $+\infty$，故值域 $B=(5,+\infty)$。这一条对一切实数 $k$ 都真——左支的下界与 $k$ 无关，正是本题的巧妙处。

两支严格单调 $\Rightarrow$ 各自是单射 $\Rightarrow$ 同侧不可能有第二个同值点，所以 $x_{2}$ 只能在对侧；对侧也是单射，一旦存在即惟一（且异号，$x_{2}\neq x_{1}$ 自动满足）。于是全部条件压成一句：

$A$ 与 $B$ 必须完全一致。

而这两支长得出奇地像：都是「从 $x\to0$ 那一端的一个取不到的端点出发，一路单调跑到 $+\infty$」。两个同向的半开区间相等，当且仅当两个开端点相等：

$$(k,+\infty)=(5,+\infty)\iff k=5 .$$

一步到位，连包含关系都不用写两趟。注意这里比的是开端点：两支在 $x=0$ 处都取不到那个值，所以给出的是端点相等；若题目允许 $x_{1}$、$x_{2}$ 取到 $0$，$A$ 与 $B$ 就各多一个端点，结论会跟着改。

$$\boxed{\,\text{存在，}k=5\,}$$

解法三：一律化成方程数根——第一问数抛物线与横轴的交点，第二问数配对方程的负根

怎么想到的。 前两条路都在「函数的值域」上打转。还有一条更原始的路：凡是「有没有、有几个」，一律化成一个方程有几个根，再用开口方向、端点值、对称轴这三样把根的位置钉死。这条路最笨，但它把每一种站位都摆到台面上，不会有哪一类被悄悄漏掉。

（Ⅰ）数 $\phi$ 在 $(0,3)$ 内的变号零点

仍记 $\phi(x)=3x^{2}+2(k-1)x+(k+5)$，$\phi(0)=k+5$，$\phi(3)=7k+26$。开口向上，要它在 $(0,3)$ 内变号，只有三种站位：

(a) 一根在内、一根在外。 此时两个端点值异号：

$$\phi(0)\,\phi(3)<0\iff(k+5)(7k+26)<0\iff-5<k<-\frac{26}{7} .$$

(b) 两根都在内。 四个条件缺一不可：

$$\Delta>0,\qquad 0<\frac{1-k}{3}<3,\qquad \phi(0)>0,\qquad \phi(3)>0 ,$$

依次给出 $k<-2$ 或 $k>7$、$-8<k<1$、$k>-5$、$k>-\dfrac{26}{7}$，交起来是

$$-\frac{26}{7}<k<-2 .$$

这一段是最容易被漏掉的：两个端点值同号（都为正），而区间里却整整齐齐躺着两个根。只看端点符号就断定「区间里没有零点」，(b) 这一整段就没了。

(c) 端点恰好是根——必须单独查。 前两种站位都要求端点值非零，所以 $\phi(0)=0$ 与 $\phi(3)=0$ 这两个 $k$ 要拎出来单独看：

• $\phi(0)=0$，即 $k=-5$：此时 $\phi(x)=3x^{2}-12x=3x(x-4)$，两根是 $0$ 与 $4$，都不在开区间 $(0,3)$ 内，$\phi$ 在 $(0,3)$ 上恒负、不变号。舍。
• $\phi(3)=0$，即 $k=-\dfrac{26}{7}$：两根之积是 $\dfrac{\phi(0)}{3}=\dfrac{k+5}{3}=\dfrac{3}{7}$，已知一根是 $3$，另一根便是 $\dfrac{1}{7}\in(0,3)$，且是单根、要变号。收。

三段合起来，$(-5,-\frac{26}{7})\cup\left\{-\frac{26}{7}\right\}\cup(-\frac{26}{7},-2)=(-5,-2)$，与前两条路一致。

（顺带看清楚了 $k=-2$ 为什么必须出局：它正是 (b) 里 $\Delta>0$ 这一条的边界，$\Delta=0$ 时两根重合，不再变号。）

（Ⅱ）把 $q'(x_{2})=q'(x_{1})$ 当成关于 $x_{2}$ 的方程，数它的根

先把要数的方程摆出来。求导得

$$q'(x)=\begin{cases} 2k^{2}x+k, & x>0,\\[2pt] 3x^{2}-2cx+5, & x<0, \end{cases} \qquad c=k^{2}-k+1=\left(k-\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34>0 .$$

题目要的是：给定非零 $x_{1}$，在全体非零实数里与它同值的点恰好只有一个（还不能是它自己）。所以每一趟都要数两处的根——同侧一处、对侧一处。记 $v=q'(x_{1})$。

趟一：$x_{1}>0$。

同侧（$x_{2}>0$）：$2k^{2}x_{2}+k=2k^{2}x_{1}+k\iff 2k^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0$。

• 若 $k=0$，这式子对每一个 $x_{2}>0$ 都成立，同侧就有无穷多个解，「惟一」当场破产。故 $k\neq0$，这一条是数出来的，不是假定的。
• 若 $k\neq0$，则只有 $x_{2}=x_{1}$，被 $x_{2}\neq x_{1}$ 排除，同侧无解。

于是 $k\neq0$，右支斜率 $2k^{2}>0$，$v=2k^{2}x_{1}+k$ 随 $x_{1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增，取遍 $A=(k,+\infty)$。

对侧（$x_{2}<0$）：方程是

$$3x^{2}-2cx+(5-v)=0 .$$

两根之和 $\dfrac{2c}{3}>0$、两根之积 $\dfrac{5-v}{3}$，据此逐种数：

• $v>5$：两根之积为负，两根异号，恰有一个负根——正合要求；
• $v=5$：两根是 $0$ 与 $\dfrac{2c}{3}$，一个不是负数、一个是正数，没有负根；
• $v<5$：两根之积为正、之和为正，若有实根则同为正，也没有负根。

所以趟一成立 $\iff$ $A$ 里每个 $v$ 都满足 $v>5$ $\iff$ $k\geqslant 5$。

趟二：$x_{1}<0$。

同侧（$x_{2}<0$）：$3x_{2}^{2}-2cx_{2}+5=3x_{1}^{2}-2cx_{1}+5$，移项分解

$$3\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right)-2c\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 \iff \left(x_{2}-x_{1}\right)\left[3\left(x_{2}+x_{1}\right)-2c\right]=0 .$$

去掉 $x_{2}=x_{1}$，只剩 $x_{2}=\dfrac{2c}{3}-x_{1}$。而 $c>0$、$x_{1}<0$，这个值严格为正，不是负数。同侧无解——这里用到的正是 $c>0$，它对一切实数 $k$ 都真。

于是 $v$ 由左支给出。左支的对称轴在 $x=\dfrac{c}{3}>0$，整条 $(-\infty,0)$ 都在对称轴左边，故左支严格递减；$x\to0^{-}$ 时 $v\to5$（取不到），$x\to-\infty$ 时 $v\to+\infty$，所以 $v$ 取遍 $B=(5,+\infty)$。

对侧（$x_{2}>0$）：$2k^{2}x_{2}+k=v$ 是一次方程（$k\neq0$ 已在趟一定下），根 $x_{2}=\dfrac{v-k}{2k^{2}}$ 唯一，它为正 $\iff v>k$。所以趟二成立 $\iff$ $B$ 里每个 $v$ 都满足 $v>k$ $\iff$ $k\leqslant 5$。

两趟一交，$k=5$。 回代验一遍：$c=21$，左支 $3x^{2}-42x+5$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减、值域 $(5,+\infty)$；右支 $50x+5$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增、值域也是 $(5,+\infty)$；任给一侧的 $x_{1}$，同侧无解、对侧恰有一解，且异号故 $x_{2}\neq x_{1}$。

$$\boxed{\,\text{存在，}k=5\,}$$

这条路的好处：「惟一」是真的数出来的。它不预设任何单调性，连 $k\neq0$ 都是同侧那一步自己逼出来的——而 $k=0$ 恰是最容易被漏掉的那个退化值。

三条路回头看

第一问三条路的分歧，全在「怎么处理那个只擦不穿的 $k=-2$」：解法一是把它算进值域再回头舍掉，解法二是让它自然落进「单调」那一边、根本不用舍，解法三是把它认成 $\Delta>0$ 的边界。三种处理对应三种世界观，答案当然一致。

第二问三条路的分歧，则在「惟一」两个字怎么消化：解法一与解法二靠「两支各自单射」把它一句话化掉，解法三干脆去数方程的根。前者快，后者不需要任何关于单调性的前置判断。

原卷这四处笔误，照录不改

本站的真题照录原卷（连排版错误一起），所以下面四处在题目页上仍是原样。逐条说明它们错在哪、正确的该怎么写：

1. 一次项掉了 $x$。 原卷写 $P(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+(k-1)x^{2}+(k+5)-1$，按 $f+g$ 展开应是 $(k+5)x-1$。好在它紧接着写的 $p'(x)=3x^{2}+2(k-1)x+(k+5)$ 是对的——那正是带着 $x$ 的版本求导的结果，所以只是漏印了一个字母。
2. 单调区间写错了一半。 第二问 (ii) 讨论的是 $x_{1}<0$，却写成「$q'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减」。该说的是左支：$q'$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减。
3. 两处包含关系写成了同一个方向。 (i) 由 $x_{1}>0$ 得 $A\subseteq B$，(ii) 由 $x_{1}<0$ 该得 $B\subseteq A$，原卷两处都印成 $A\subseteq B$。若真按原样读，两式同向，交出来的是 $k\geqslant5$ 而不是 $k=5$——正是「任意与存在读反」这一类错误的典型后果。
4. 最后一句的量词重复了。 「同理，$\forall x_{1}<0$」与上一句说的是同一件事；按「同理」的位置，这里该是 $\forall x_{1}>0$。