存在量词命题

教材原文

短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词 (existential quantifier)，并用符号 “ヨ” 表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。

存在量词命题 “存在 M 中的元素 x， $p(x)$ 成立” 可用符号简记为

要点

• 上面第一段引文里的「ヨ」是整页扫描件的识别结果，书上印的是符号 $\exists$。
• 记法：$\exists x \in M,\ p(x)$。读作「存在 $M$ 中的元素 $x$，使 $p(x)$ 成立」。
• 常见的存在量词还有「有些」「有一个」「对某些」「有的」。
• 判真只要找到一个例子；判假要说明一个都没有。 与全称量词命题正好反过来。
• 「至少有一个」不排斥「有很多个」：$\exists$ 说的是 $\geqslant 1$ 个，不是「恰好一个」。

与全称量词命题的关系

• 两者互为否定：$\exists x\in M,\ p(x)$ 的否定是 $\forall x\in M,\ \neg p(x)$。
• 与全称量词混排时次序决定意思：$\forall x\ \exists n$ 允许 $n$ 随 $x$ 变， $\exists n\ \forall x$ 要求一个 $n$ 通吃所有 $x$。做题时先把次序读准，再动笔。