1.5 全称量词与存在量词

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1.5 全称量词与存在量词

我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题。但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定。

1.5.1 全称量词与存在量词

思考

下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

(1) x > 3;

(2) $2x+1$ 是整数；

(3) 对所有的 $x \in R, x > 3;$

(4) 对任意一个 $x \in Z$ ， $2x + 1$ 是整数.

语句（1）（2）中含有变量 $x$ ，由于不知道变量 $x$ 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题。语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 $x$ 进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 $x$ 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题。

短语 “所有的” “任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号 “∀” 表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。例如，命题 “对任意的 $n \in Z$ ， $2n + 1$ 是奇数” “所有的正方形都是矩形” 都是全称量词命题。

常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.

通常，将含有变量 x 的语句用 $p(x)$ ， $q(x)$ ， $r(x)$ ，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示。那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x， $p(x)$ 成立”可用符号简记为

$\forall x \in M, p (x).$

例 1 判断下列全称量词命题的真假:

(1) 所有的素数 $^{①}$ 都是奇数；

(2) $\forall x \in \mathbf{R}, |x| + 1 \geqslant 1$;

(3) 对任意一个无理数 x， $x^{2}$ 也是无理数.

分析：要判定全称量词命题“$\forall x \in M, p(x)$”是真命题，需要对集合 $M$ 中每个元素 $x$，证明 $p(x)$ 成立；如果在集合 $M$ 中找到一个元素 $x_0$，使 $p(x_0)$ 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。②

解：（1）2 是素数，但 2 不是奇数。所以，全称量词命题 “所有的素数是奇数” 是假命题。

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①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.

• •

②这个方法就是“举反例”.

(2) $\forall x \in R$ ，总有 $|x| \geqslant 0$ ，因而 $|x| + 1 \geqslant 1$ 。所以，全称量词命题 “ $\forall x \in R, |x| + 1 \geqslant 1$ ” 是真命题。

(3) $\sqrt{2}$ 是无理数，但 $(\sqrt{2})^2 = 2$ 是有理数。所以，全称量词命题“对每一个无理数 $x$，$x^2$ 也是无理数”是假命题。

思考

下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

(1) $2x+1=3;$

(2) x 能被 2 和 3 整除；

(3) 存在一个 $x \in R$ ，使 $2x + 1 = 3$ ;

(4) 至少有一个 $x \in Z$ ，x 能被 2 和 3 整除.

容易判断，(1)(2) 不是命题. 语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量 $x$ 的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量 $x$ 的取值进行限定，从而使（3)(4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3)(4）是命题.

短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词 (existential quantifier)，并用符号 “ヨ” 表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。

例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.

存在量词命题 “存在 M 中的元素 x， $p(x)$ 成立” 可用符号简记为

常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.

$\exists x \in M, p (x).$

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