转着看 · 换个机位再判断
α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β α \alpha α
机位 1 题图角度 2 正对 β \beta β 3 沿 β \beta β 4 俯视 自由视角 拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）
冷启动：四条命题，一个数都没有
题面问的是「下列命题中错误 的是」，四条全是位置关系的断言（转写里它们被连成了一整行，校订层已按卷面排回四行）：
A α ⊥ β ⇒ α \alpha\perp\beta\ \Rightarrow\ \alpha α ⊥ β ⇒ α 一定存在 直线平行于 β \beta β B α \alpha α 不 垂直于 β ⇒ α \beta\ \Rightarrow\ \alpha β ⇒ α 一定不存在 直线垂直于 β \beta β C α ⊥ γ \alpha\perp\gamma α ⊥ γ β ⊥ γ \beta\perp\gamma β ⊥ γ α ∩ β = l ⇒ l ⊥ γ \alpha\cap\beta=l\ \Rightarrow\ l\perp\gamma α ∩ β = l ⇒ l ⊥ γ D α ⊥ β ⇒ α \alpha\perp\beta\ \Rightarrow\ \alpha α ⊥ β ⇒ α 所有 直线都垂直于 β \beta β
整道题的重心只有一句话 ：α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β 面面垂直的性质定理
α ⊥ β , α ∩ β = m , a ⊂ α , a ⊥ m ⟹ a ⊥ β . \alpha\perp\beta,\quad \alpha\cap\beta=m,\quad a\subset\alpha,\quad a\perp m
\ \Longrightarrow\ a\perp\beta . α ⊥ β , α ∩ β = m , a ⊂ α , a ⊥ m ⟹ a ⊥ β . 「a ⊥ m a\perp m a ⊥ m 把它删掉，就得到 D；D 之所以错，就错在这儿。四条里其余三条都是课本定理或它的直接推论。
解法一：逐条判定——三条各给一句理由，第四条给一个反例
怎么想到的。 四条互相独立，没有共用的机关，那就一条一条来。判真要证，判假只要一个反例 ——这条不对称性决定了每条该花多少力气。
A 成立（造一条出来就行）。 α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β α ∩ β = m \alpha\cap\beta=m α ∩ β = m α \alpha α P ∉ m P\notin m P ∈ / m P P P m m m c c c c ∥ m c\parallel m c ∥ m m ⊂ β m\subset\beta m ⊂ β c ⊄ β c\not\subset\beta c ⊂ β 线面平行的判定定理
c ∥ β . c\parallel\beta . c ∥ β . 存在性得证。（教学图第①块里那条深蓝的 c c c
顺带记一笔：A 根本没用上「⊥ \perp ⊥ 只要 α \alpha α β \beta β 不重合 的平面，α \alpha α β \beta β α \alpha α 题目把条件给强了 ，这在选择题里是常见的干扰：看到条件用不上就怀疑自己，反而容易把对的判成错的。
B 成立（把它逆否过来）。 B 说的是
α ⊥̸ β ⟹ α 内不存在直线垂直于 β . \alpha\not\perp\beta\ \Longrightarrow\ \alpha \text{ 内不存在直线垂直于 } \beta . α ⊥ β ⟹ α 内不存在直线垂直于 β . 逆否命题是
α 内存在直线 a ⊥ β ⟹ α ⊥ β , \alpha \text{ 内存在直线 } a\perp\beta\ \Longrightarrow\ \alpha\perp\beta , α 内存在直线 a ⊥ β ⟹ α ⊥ β , 这正是面面垂直的判定定理 a a a α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β
C 成立（作两条垂线，再把它们并到 l l l 记 α ∩ γ = p \alpha\cap\gamma=p α ∩ γ = p β ∩ γ = q \beta\cap\gamma=q β ∩ γ = q l l l O O O
在 α \alpha α O O O a ⊥ p a\perp p a ⊥ p α ⊥ γ \alpha\perp\gamma α ⊥ γ 面面垂直的性质定理 a ⊥ γ a\perp\gamma a ⊥ γ
在 β \beta β O O O b ⊥ q b\perp q b ⊥ q b ⊥ γ b\perp\gamma b ⊥ γ
a a a b b b γ \gamma γ a ∥ b a\parallel b a ∥ b 而 a a a b b b O O O a = b a=b a = b α \alpha α β \beta β α ∩ β = l \alpha\cap\beta=l α ∩ β = l 就是 l l l
于是 l ⊥ γ l\perp\gamma l ⊥ γ
（第 4 步是原卷那段话的干净写法：原卷绕了「a ∥ b ⇒ b ∥ α ⇒ b ∥ l a\parallel b\Rightarrow b\parallel\alpha\Rightarrow b\parallel l a ∥ b ⇒ b ∥ α ⇒ b ∥ l
D 错误（反例是现成的：交线自己）。 取 m = α ∩ β m=\alpha\cap\beta m = α ∩ β m ⊂ α m\subset\alpha m ⊂ α
m ⊂ β ⟹ m ⊥̸ β . m\subset\beta\ \Longrightarrow\ m\not\perp\beta . m ⊂ β ⟹ m ⊥ β . 理由：垂直于 β \beta β β \beta β 只有一个公共点 （垂足），而 m m m β \beta β 所以 α \alpha α β \beta β
（原卷举的是「教室侧墙与地面垂直，而侧墙内有很多直线不垂直于地面」——墙上任何一条水平线都是反例，其中最省事的那条就是墙脚线，也就是交线。）
正确的说法 ，就是冷启动里那条性质定理：α \alpha α 垂直于交线 的那些直线才垂直于 β \beta β a a a ⊥ m \perp m ⊥ m ⊥ β \perp\beta ⊥ β c c c ∥ m \parallel m ∥ m ∥ β \parallel\beta ∥ β b b b
故选 D。
解法二：方向向量对法向量——两条换算规则把四条命题一起翻译过去
怎么想到的。 四条都在说「直线与平面」「平面与平面」的垂直平行，而这些关系用方向向量与法向量 表述之后，全变成两个向量的点积或叉积——不用再在脑子里摆图形。
两条换算规则 （d \boldsymbol{d} d n \boldsymbol{n} n
a ⊥ π ⟺ d ∥ n , a ∥ π ⟺ d ⋅ n = 0 且 a ⊄ π , a\perp\pi\iff \boldsymbol{d}\parallel\boldsymbol{n},\qquad
a\parallel\pi\iff \boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{n}=0\ \text{且}\ a\not\subset\pi, a ⊥ π ⟺ d ∥ n , a ∥ π ⟺ d ⋅ n = 0 且 a ⊂ π , π 1 ⊥ π 2 ⟺ n 1 ⋅ n 2 = 0. \pi_1\perp\pi_2\iff \boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0 . π 1 ⊥ π 2 ⟺ n 1 ⋅ n 2 = 0. A 与 D：摆一套具体坐标就够。 A 与 D 都是「存在 / 所有」型的断言，只要一对 互相垂直的平面就能分别给出见证与反例；而任意一对互相垂直的平面都可以经刚体运动摆成下面这个样子，故不妨设 β : z = 0 \beta:z=0 β : z = 0 n β = ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol{n}_\beta=(0,0,1) n β = ( 0 , 0 , 1 ) α : y = 0 \alpha:y=0 α : y = 0 n α = ( 0 , 1 , 0 ) \boldsymbol{n}_\alpha=(0,1,0) n α = ( 0 , 1 , 0 ) n α ⋅ n β = 0 \boldsymbol{n}_\alpha\cdot\boldsymbol{n}_\beta=0 n α ⋅ n β = 0 α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β x x x α \alpha α d = ( p , 0 , r ) \boldsymbol{d}=(p,0,r) d = ( p , 0 , r )
要 ⊥ β \perp\beta ⊥ β ：需 d ∥ ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol{d}\parallel(0,0,1) d ∥ ( 0 , 0 , 1 ) p = 0 p=0 p = 0 竖直 的那一族。要 ∥ β \parallel\beta ∥ β ：需 d ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = r = 0 \boldsymbol{d}\cdot(0,0,1)=r=0 d ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = r = 0 d = ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol{d}=(1,0,0) d = ( 1 , 0 , 0 ) 并且 直线不在 β \beta β c = { y = 0 , z = 1 } c=\{y=0,\ z=1\} c = { y = 0 , z = 1 } α \alpha α ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) β \beta β c ∥ β c\parallel\beta c ∥ β A 成立。 x x x ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) p = 1 ≠ 0 p=1\neq0 p = 1 = 0 不垂直于 β \beta β D 错误。 （顺便看清一件事：x x x r = 0 r=0 r = 0 不能 说它平行于 β \beta β β \beta β a ⊄ β a\not\subset\beta a ⊂ β
更狠一点：α \alpha α ( p , 0 , r ) (p,0,r) ( p , 0 , r ) β \beta β θ \theta θ
sin θ = ∣ r ∣ p 2 + r 2 , \sin\theta=\frac{|r|}{\sqrt{p^{2}+r^{2}}}, sin θ = p 2 + r 2 ∣ r ∣ , 让 p : r p:r p : r θ \theta θ [ 0 ∘ , 90 ∘ ] [0^{\circ},90^{\circ}] [ 0 ∘ , 9 0 ∘ ] 每一个 值。所以 α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β α \alpha α β \beta β 什么都没限制 ——D 说的「所有」离谱到不能再离谱。
B 与 C 是一般性命题，坐标就不设了 ——两条换算规则本身不依赖坐标，直接对法向量用。
B：把它逆否过来，一步。 设 a ⊂ α a\subset\alpha a ⊂ α a ⊥ β a\perp\beta a ⊥ β d a ∥ n β \boldsymbol{d}_a\parallel\boldsymbol{n}_\beta d a ∥ n β a a a α \alpha α d a ⊥ n α \boldsymbol{d}_a\perp\boldsymbol{n}_\alpha d a ⊥ n α n β ⋅ n α = 0 \boldsymbol{n}_\beta\cdot\boldsymbol{n}_\alpha=0 n β ⋅ n α = 0 α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β B 成立。
C：一个叉积的事。 条件给的是
n α ⋅ n γ = 0 , n β ⋅ n γ = 0. \boldsymbol{n}_\alpha\cdot\boldsymbol{n}_\gamma=0,\qquad \boldsymbol{n}_\beta\cdot\boldsymbol{n}_\gamma=0 . n α ⋅ n γ = 0 , n β ⋅ n γ = 0. α \alpha α β \beta β ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ n α \boldsymbol{n}_\alpha n α n β \boldsymbol{n}_\beta n β 不共线 。而 l ⊂ α l\subset\alpha l ⊂ α l ⊂ β l\subset\beta l ⊂ β l l l d \boldsymbol{d} d n α \boldsymbol{n}_\alpha n α n β \boldsymbol{n}_\beta n β
关键引理 ：与两个不共线向量都垂直的向量，方向唯一（相差一个非零倍数），且都平行于它们的叉积。于是
d ∥ n α × n β , n γ ∥ n α × n β ⟹ d ∥ n γ ⟹ l ⊥ γ . \boldsymbol{d}\parallel \boldsymbol{n}_\alpha\times\boldsymbol{n}_\beta,\qquad
\boldsymbol{n}_\gamma\parallel \boldsymbol{n}_\alpha\times\boldsymbol{n}_\beta
\ \Longrightarrow\ \boldsymbol{d}\parallel\boldsymbol{n}_\gamma
\ \Longrightarrow\ l\perp\gamma . d ∥ n α × n β , n γ ∥ n α × n β ⟹ d ∥ n γ ⟹ l ⊥ γ . C 成立。 （教学图第②块画的就是这个构型的一个具体样子：γ \gamma γ α \alpha α β \beta β l l l n γ \boldsymbol{n}_\gamma n γ n γ \boldsymbol{n}_\gamma n γ
四条一起过完，错的是 D。
解法三：先看量词——四条里只有一条说「所有」，从它下手
怎么想到的。 这是一道选择题，问的是错误 的那一条；四条不必都判，找到那条错的就能收工。该先判哪一条？看量词。
量词 断言强度 推翻它要什么 证实它要什么 A 一定存在 最弱 证明「一条都没有」 造出一条 B 一定不存在 强（全称否定） 造出一条 反例 对每条都验 C 无量词 一条结论 一个反例 证明 D 所有 最强 造出一条 反例 对每条都验
存在量词命题 只要一个见证就成立，全称量词命题 只要一个反例就错误。断言最强、最容易被一条反例推翻的那一条 ——四条里只有 D 说「所有」。
试 D，一次就中。 要找 α \alpha α β \beta β 交线 m = α ∩ β m=\alpha\cap\beta m = α ∩ β α \alpha α β \beta β D 错误，选 D 。
为什么这条路值得单独写一遍。 命题人造错项的手法就那么几种，把定理里的限定语删掉 是最常用的一种。面面垂直的性质定理 原文是「α \alpha α 垂直于交线 的直线垂直于 β \beta β 所以看到「所有 / 任意 / 都」，先怀疑它 ；而与之配套的第二个动作是：回想那条定理原本的限定语是什么，反例往往就藏在被删掉的那几个字里——这里被删掉的是「垂直于交线」，反例自然就是「不垂直于交线」的直线，其中最极端的一条就是交线自己（它与交线的夹角是 0 ∘ 0^{\circ} 0 ∘
另外三条为什么不必细看 ：A、B、C 分别对应线面平行的判定定理 、面面垂直的判定定理 的逆否、以及一条常考的推论——都是课本里有出处的。四条里三条有出处、一条把限定语吃掉了，答案就在那一条上。
三条路怎么选
要动的工具 时间 附带看到什么 一 逐条判定 三条判定 / 性质定理 一分半 每条各自的出处 二 建系算法向量 点积、叉积 一分 α \alpha α β \beta β [ 0 ∘ , 90 ∘ ] [0^{\circ},90^{\circ}] [ 0 ∘ , 9 0 ∘ ] 三 先看量词 只要一个反例 十几秒 命题人是怎么把定理改错的
考场上写哪条：解法三。 它十几秒就能收工，而且不依赖记住四条定理里的哪一条。
解法一值得完整做一遍 ——因为它把 A、B、C 各自的出处点清楚了，这四条定理本身就是这一章的全部家当。
解法二适合两种情况 ：一是判定定理记不牢，坐标不会骗人；二是遇上 C 那种「三个平面互相垂直」的题——综合法要作两条辅助线，向量法一个叉积就完了。
易错
其一，把性质定理的限定语吃掉。 这是 D 的坑，也是本题的全部。α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β 不是 「α \alpha α β \beta β α \alpha α 垂直于交线 的那些线垂直于 β \beta β α \alpha α β \beta β 0 ∘ 0^{\circ} 0 ∘ 90 ∘ 90^{\circ} 9 0 ∘
其二，B 的逆否绕反。 B 是「α ⊥̸ β ⇒ \alpha\not\perp\beta\Rightarrow α ⊥ β ⇒ ⇒ α ⊥ β \Rightarrow\alpha\perp\beta ⇒ α ⊥ β 判定定理 。若把 B 读成「α ⊥ β ⇒ α \alpha\perp\beta\Rightarrow\alpha α ⊥ β ⇒ α β \beta β 性质定理 ——它同样是真的，于是结论碰巧还对，但用错了定理；换一道题就要栽。否命题不是逆否命题 ，条件与结论要一起取反、一起换位。
其三，以为条件必须全部用上。 A 用不到 α ⊥ β \alpha\perp\beta α ⊥ β 多余的条件不影响命题的真假 ，只影响它是不是「最好的写法」。
其四，C 反着用。 C 是「两个面都垂直于 γ \gamma γ γ \gamma γ l ⊥ γ l\perp\gamma l ⊥ γ l l l γ \gamma γ 去掉「α ∩ β = l \alpha\cap\beta=l α ∩ β = l ：两个都垂直于 γ \gamma γ l l l
其五，忘了「直线在平面内」与「直线垂直于平面」互斥。 这是 D 那个反例的全部依据：垂线与平面只有一个公共点，而含于平面的直线有无穷多个公共点。这条在很多立体几何题里都能当一句现成的理由用。
