全称量词命题

教材原文

短语 “所有的” “任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号 “∀” 表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。例如，命题 “对任意的 $n \in Z$ ， $2n + 1$ 是奇数” “所有的正方形都是矩形” 都是全称量词命题。

通常，将含有变量 x 的语句用 $p(x)$ ， $q(x)$ ， $r(x)$ ，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示。那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x， $p(x)$ 成立”可用符号简记为

要点

• 记法：$\forall x \in M,\ p(x)$。读作「对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立」。
• $M$ 是取值范围，不能丢。 「$\forall x,\ x^{2}\geqslant 0$」在实数里真、在复数里假——范围一换，真假就换。
• 常见的全称量词还有「一切」「每一个」「任给」；有时量词被省略， 「实数的平方非负」其实是「$\forall x\in\mathbf R,\ x^{2}\geqslant0$」。
• 判真要对每一个 $x$ 证；判假只要举一个反例。 这是全称量词命题最不对称的地方。

与存在量词命题的关系

• 两者是互为否定的一对：$\forall x\in M,\ p(x)$ 的否定是 $\exists x\in M,\ \neg p(x)$。
• 多个量词嵌在一起时，次序不能换：「$\forall x\ \exists n$」说的是 $n$ 可以随 $x$ 变； 「$\exists n\ \forall x$」说的是有一个 $n$ 对所有 $x$ 通用。后者强得多。