浙江 2016 · 数学 q04

冷启动：这句话有三段，一段都不能少

原命题写出来是

$$p:\quad \forall x \in \mathbf{R},\ \exists n \in \mathbf{N}^{*},\ n \geqslant x^{2}.$$

读成人话：随便给一个实数 $x$，总能找到一个正整数 $n$，把 $x^{2}$ 压住。

要看清它的结构，先把它切成三段：

三段就是三个待翻的位置。 四个选项的差别也正好落在这三个位置上—— 把它们并排一看，A、B、C 各自漏翻了某一位，只有一个三处全翻。

再提醒一句次序：$\forall x\ \exists n$ 允许 $n$ 随 $x$ 变（$x$ 大就取大的 $n$）； 如果写成 $\exists n\ \forall x$，说的就是有一个 $n$ 对所有 $x$ 通用，那是另一回事。 否定的时候次序不动，只把每个量词换一种。

解法一：把否定符号一层一层往里推

这条路只用两条等价式，机械地推三次。

第一步：把两条等价式摆出来

含一个量词的命题，否定的规则是

$$\neg\bigl(\forall x \in M,\ p(x)\bigr)\ \Longleftrightarrow\ \exists x \in M,\ \neg p(x),$$ $$\neg\bigl(\exists x \in M,\ p(x)\bigr)\ \Longleftrightarrow\ \forall x \in M,\ \neg p(x).$$

两条都是「量词换一种，后面的东西整个取反」。取值范围 $M$ 原样不动。

第二步：推第一层——外面的 $\forall$

把整个内层看成一个关于 $x$ 的语句：

$$P(x):\quad \exists n \in \mathbf{N}^{*},\ n \geqslant x^{2}.$$

原命题就是 $\forall x\in\mathbf R,\ P(x)$。按第一条等价式：

$$\neg p \iff \exists x \in \mathbf{R},\ \neg P(x).$$

外层的 $\forall$ 变成了 $\exists$，范围仍是 $\mathbf R$，剩下的 $\neg P(x)$ 留到下一层处理。

第三步：推第二层——里面的 $\exists$

$$\neg P(x)\iff\neg\bigl(\exists n \in \mathbf{N}^{*},\ n \geqslant x^{2}\bigr) \iff \forall n \in \mathbf{N}^{*},\ \neg\bigl(n \geqslant x^{2}\bigr).$$

这次用的是第二条等价式：$\exists$ 变成 $\forall$，范围仍是 $\mathbf N^{*}$。

第四步：推到最里面——结论取反

$n\geqslant x^{2}$ 的否定是

$$n < x^{2}.$$

是 $<$，不是 $\leqslant$。 「不小于」的反面是「小于」，中间没有第三种情况。

把三层拼回去：

$$\neg p:\quad \exists x \in \mathbf{R},\ \forall n \in \mathbf{N}^{*},\ n < x^{2}.$$

三个位置：外层 $\forall\to\exists$、内层 $\exists\to\forall$、结论 $\geqslant\to<$， 次序没变、范围没变。

第五步：对选项

$\exists x\in\mathbf R$，$\forall n\in\mathbf N^{*}$，$n<x^{2}$——这正是选项 D。

再做一次一真一假的自查：原命题为真（给定 $x$，取 $n$ 为不小于 $x^{2}$ 的某个正整数即可）， 那么它的否定应当为假。$\neg p$ 说「存在一个实数 $x$，使每个正整数都小于 $x^{2}$」， 这确实不可能——正整数没有上界。真假对得上，形式没写错。

解法二：逐位对照四个选项

这条路不推公式，把四个选项摆成一张表，逐位比。

第一步：把原命题和四个选项都切成三段

原命题：

$$\forall x\in\mathbf R\ \big|\ \exists n\in\mathbf N^{*}\ \big|\ n\geqslant x^{2}.$$

四个选项（竖线是我加的分段符）：

• A：$\forall x\in\mathbf R\ \big|\ \exists n\in\mathbf N^{*}\ \big|\ n<x^{2}$；
• B：$\forall x\in\mathbf R\ \big|\ \forall n\in\mathbf N^{*}\ \big|\ n<x^{2}$；
• C：$\exists x\in\mathbf R\ \big|\ \exists n\in\mathbf N^{*}\ \big|\ n<x^{2}$；
• D：$\exists x\in\mathbf R\ \big|\ \forall n\in\mathbf N^{*}\ \big|\ n<x^{2}$。

四个选项的第三段一模一样，都是 $n<x^{2}$——差别全在前两段的量词上。

第二步：定下每一位「应该变成什么」

否定要把每一位都翻过来：

• 第一位 $\forall$ 应变成 $\exists$；
• 第二位 $\exists$ 应变成 $\forall$；
• 第三位 $\geqslant$ 应变成 $<$。

（每一位的翻法就是那两条等价式，逐层推一遍即得；这里当作已知的对照标准用。）

第三步：逐个刷掉

• A：第一位仍是 $\forall$、第二位仍是 $\exists$——两个量词一个都没翻，只翻了结论。出局。
• B：第一位仍是 $\forall$——外层量词没翻。出局。
• C：第二位仍是 $\exists$——内层量词没翻。出局。
• D：第一位 $\exists$ ✓，第二位 $\forall$ ✓，第三位 $<$ ✓——三处全对。

第四步：只剩一个

A、B、C 各自至少有一位没翻到位，都不是 $p$ 的否定；题干是四选一的单选题， 四个里恰有一个正确，于是只能是 D。

顺带用「一真一假」验一下留下来的这个：原命题为真， 而 D 说「存在一个实数 $x$，使每个正整数都小于 $x^{2}$」——正整数没有上界，这是假的。 一真一假，D 站得住。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是可迁移的：三个量词、五个量词照样一层一层往里推， 每推过一个量词换一次种类，最后把结论取反。它的唯一要求是别中途跳步—— 一次推一层，写下来，比在脑子里一次性翻完稳得多。

解法二是选择题专属的省时法：四个选项往往就是「只翻结论」「只翻外层」「只翻内层」「全翻」 这四种半成品，按位对照几秒钟就能定。它的前提是你已经知道每一位该翻成什么—— 这个标准仍然来自解法一的那两条等价式。

一句话记住这道题：量词换种，结论取反，范围不动，次序不换—— 三处一起动，少动一处就成了另一个命题。