面面垂直的性质定理

教材原文

定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.

定理

设 $\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta=l$。若 $a\subset\alpha$ 且 $a\perp l$，则 $a\perp\beta$。

要点

• 它是判定定理的反向用法：判定定理拿线面垂直换面面垂直，性质定理拿面面垂直换回线面垂直。 一道题里两条常常接力：先由 $a\perp\beta$ 得 $\alpha\perp\beta$，再由 $\alpha\perp\beta$ 在 $\alpha$ 内造出另一条垂直于 $\beta$ 的线。
• 三个条件缺一不可：① 两面垂直；② 这条直线在其中一个平面内；③ 它垂直于交线。 少了 ③ 就只是「平面内的一条线」，与另一个平面可以成任意角度。
• 用法上它是「造垂线」的工具：题目给了面面垂直，就在其中一个面内朝交线作垂线， 垂足落在交线上，这条垂线立刻成为另一个平面的高——立体几何里几乎所有「作高」都是这么来的。
• 反过来还有一条常用推论（课本第 167 页「探究」）：过 $\alpha$ 内一点作 $\beta$ 的垂线， 这条垂线一定落在 $\alpha$ 内。所以垂足必在交线上，不会跑到平面外面去。