数学定理

共 18 个定理， 按标题拼音序排列。

• 不等式的基本性质不等式的七条基本性质。最常用的是性质 4（两边同乘正数不变向、同乘负数反向）与性质 5（同向不等式可以相加）——放缩与线性组合的全部合法动作都出自这两条。
• 导数的正负与函数的单调性区间内 $f'(x)>0$ 则 $f$ 在该区间内单调递增，$f'(x)<0$ 则单调递减——把「比较任意两点的函数值」换成「看一个式子的符号」。
• 复数为实数的充要条件$a,b\in\mathbf{R}$ 时，$a+b\mathrm{i}$ 是实数当且仅当 $b=0$；$b\neq 0$ 时是虚数，$a=0$ 且 $b\neq 0$ 时是纯虚数。
• 复数相等的充要条件$a+bi=c+di \iff a=c$ 且 $b=d$（实部虚部分别相等）。
• 含一个量词的命题的否定$\forall x \in M,\ p(x)$ 的否定是 $\exists x \in M,\ \neg p(x)$；$\exists x \in M,\ p(x)$ 的否定是 $\forall x \in M,\ \neg p(x)$——量词换一种，结论取反。
• 函数零点存在定理图象在 $[a,b]$ 上连续不断且 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 内至少有一个零点——把「解不出来的方程有没有解」换成「算两个端点的符号」。
• 面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直。
• 面面垂直的性质定理两平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。
• 面面平行的判定定理一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行——两条必须相交，平行的两条不算。
• 面面平行的性质定理两平行平面被第三个平面所截，两条交线平行。
• 抛物线的定义动点到焦点距离等于到准线距离：$|PF|=d(P,\text{准线})$。
• 平面的基本事实三条不加证明的约定——不共线三点确定一个平面；直线上两点在平面内则整条直线在平面内；两个不重合平面若有公共点则交于过该点的唯一一条直线。由它们推出三个「确定平面」的推论。
• 平面向量基本定理若 $\vec e_{1}$、$\vec e_{2}$ 是同一平面内两个不共线的向量，则该平面内任一向量 $\vec a$ **有且只有一对**实数 $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$ 使 $\vec a=\lambda_{1}\vec e_{1}+\lambda_{2}\vec e_{2}$；$\{\vec e_{1},\vec e_{2}\}$ 叫做一个基底。
• 切线垂直于过切点的半径直线与圆相切于点 $P$，则圆心与切点的连线垂直于该直线；于是圆心必落在过 $P$ 且垂直于切线的那条法线上。
• 三角形的中位线定理连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边，且等于第三边的一半：$DE\parallel BC$、$DE=\frac{1}{2}BC$。
• 线面垂直的判定定理一条直线垂直于平面内两条相交直线，则垂直于该平面。
• 线面平行的判定定理平面外一条直线平行于平面内一条直线，则平行于该平面。
• 最优解在可行域顶点线性目标函数在有界闭可行域上的最大值与最小值，一定在可行域的某个顶点处取得。