平面向量基本定理

教材原文

综上，我们得到如下定理：

平面向量基本定理 如果 $e_1, e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $a$，有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$，使

$a = \lambda_ {1} e _ {1} + \lambda_ {2} e _ {2}.$

若 $e_1, e_2$ 不共线，我们把 $\{e_1, e_2\}$ 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）. 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便.

要点：一句话里其实有两件事

• 存在：平面内每一个向量都写得出来（教材是过终点作两条平行线把 $\vec a$ 分解成 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$ 得到的）；
• 唯一：这一对 $(\lambda_{1},\lambda_{2})$ 只有一对（教材用反证法：若有两种写法，两式相减得 $(\lambda_{1}-\mu_{1})\vec e_{1}+(\lambda_{2}-\mu_{2})\vec e_{2}=\vec 0$，系数不全为零就能解出 $\vec e_{1}$ 是 $\vec e_{2}$ 的倍数，与不共线矛盾）。

对基底的要求只有一条：不共线。 不要求垂直，不要求长度是 $1$，更不要求它们是坐标轴方向——正方形的两条邻边、平行四边形的两条邻边、三角形的两条边，都能当基底。

「唯一」是这条定理真正被用到的地方

存在性让人敢写，唯一性让人敢比系数：

一个向量等式因此换成两个数字等式——「向量方程能拆成方程组」这件事，合法性就来自这里。同一条定理还顺手给出零向量的判据：

（因为 $\vec 0=0\vec e_{1}+0\vec e_{2}$ 已经是一种写法，唯一性说没有第二种。）基底不共线这个前提一旦丢掉，上面两条全都不成立：$\vec e_{2}=2\vec e_{1}$ 时 $2\vec e_{1}-\vec e_{2}=\vec 0$，系数并不全为零。

怎么用：三个固定动作

1. 选基：挑两条从同一点出发、不共线、且长度与夹角已知的向量（正方形、平行四边形就取两条邻边）；
2. 全化到基上：题里出现的每一个向量都写成基的组合——写完，图形就退场了，剩下的只有系数；
3. 算模就平方：

中间那一项只有在 $\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}=0$ 时才能丢。 基底垂直且都是单位向量（正交基）时，上式塌成 $x^{2}+y^{2}$——这就是坐标法：坐标表示不过是基底取成 $\{\vec i,\vec j\}$ 的那个特例。基底是菱形或正六边形的邻边时，$\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}\ne0$，那一项必须留着。

高考里的样子

浙江 2019 第 17 题把正方形的四条边与两条对角线各配一个 $\pm1$ 的系数，问和的模的最小值与最大值。取 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\}$ 为基底，六个向量全化过去之后，那个和恒等于

——六个向量、$64$ 种符号的问题，被这一步换成了两个整数的问题。这正是教材那句「任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便」的实战版本。