浙江 2019 · 数学 q17

冷启动：六个向量，先让它们只剩两个

题面给了正方形 $ABCD$（边长 $1$）的四条边与两条对角线，每条配一个只能取 $\pm1$ 的系数，问

的最小值与最大值。$2^{6}=64$ 组符号——但一组都不用试。

第一个动作是把六个向量全部化到同一组基上。这一步的合法性来自平面向量基本定理：两个不共线的向量，就能把平面内每个向量唯一地写出来——写法唯一，所以换过去不丢信息，也不会有第二种答案。取从同一个顶点出发的两条边 $\vec e_{1}=\overrightarrow{AB}$、$\vec e_{2}=\overrightarrow{AD}$（注意题面给的是 $\overrightarrow{DA}$，方向相反），逐条换：

这张表列完，题目里就再没有向量了。 合并同类项：

而 $\vec e_{1}$、$\vec e_{2}$ 是互相垂直的单位向量（正方形的两条邻边，边长 $1$），所以算模就是一次平方：

（中间那一项没了，因为 $\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}=0$。基不正交时这一项不能丢——换成菱形、正六边形的同类题就栽在这里。）

于是整道题只剩一句话：

顺手记一件事：$x$、$y$ 都是四个 $\pm1$ 之和，所以它们必是偶数。这条性质下面两条路都要用。

解法一：由 $\lambda_{5}^{2}=\lambda_{6}^{2}$ 得 $(\lambda_{5}-\lambda_{6})(\lambda_{5}+\lambda_{6})=0$，两种情形各定上界

先看四条边贡献的两个量：$\lambda_{1}-\lambda_{3}$ 与 $\lambda_{2}-\lambda_{4}$。两个 $\pm1$ 之差只有三种结果：

（相同则为 $0$，相反则为 $\pm2$。一对相反向量的 $\pm1$ 组合只有三种结果，这是这类题的第一个减负点。）

再看两条对角线贡献的 $\lambda_{5}-\lambda_{6}$ 与 $\lambda_{5}+\lambda_{6}$。这里有一个几乎白送的恒等式——因为 $\lambda_{5}$、$\lambda_{6}$ 都取 $\pm1$，平方都等于 $1$：

所以这两个括号里必有一个是 $0$，另一个是 $\pm2$——这一刀把四种符号组合压成了两种情形：

• 情形 A（$\lambda_{5}=\lambda_{6}$）：$\lambda_{5}-\lambda_{6}=0$、$\lambda_{5}+\lambda_{6}=\pm2$，于是

  $$x=\lambda_{1}-\lambda_{3}\in\{0,\pm2\},\qquad y=(\lambda_{2}-\lambda_{4})\pm 2\in\{0,\pm2,\pm4\}$$

  故 $x^{2}\leqslant 4$、$y^{2}\leqslant 16$，$x^{2}+y^{2}\leqslant 20$。

• 情形 B（$\lambda_{5}=-\lambda_{6}$）：两个括号的角色互换，$x\in\{0,\pm2,\pm4\}$、$y\in\{0,\pm2\}$，同样 $x^{2}+y^{2}\leqslant 20$。

两种情形合起来：$x^{2}+y^{2}\leqslant 20$，即模不超过 $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

上界必须回验取到（否则它只是个不等式，不是最大值）。在情形 A 里让每一项都顶到头：取 $\lambda_{1}=1,\lambda_{3}=-1$（$x=2$）、$\lambda_{2}=1,\lambda_{4}=-1$、$\lambda_{5}=\lambda_{6}=1$（$y=1-(-1)+2=4$），得 $(x,y)=(2,4)$，

最小值同理要给出符号。 想让模为 $0$，就要 $x=y=0$。取 $\lambda_{5}=\lambda_{6}=1$（情形 A），则 $x=\lambda_{1}-\lambda_{3}$，令 $\lambda_{1}=\lambda_{3}=1$ 即 $x=0$；$y=\lambda_{2}-\lambda_{4}+2$，令 $\lambda_{2}=-1$、$\lambda_{4}=1$ 即 $y=0$。于是

（这正是官方解析给的那一组。模为 $0$ 意味着六个向量首尾相接绕回了起点——它当然可能，因为这六个向量本来就来自一个闭合图形。）

所以最小值 $0$、最大值 $2\sqrt{5}$。

一个必须挡住的错误起手式：直接套三角不等式

这个上界是对的，但取不到——等号要求六个向量全部同向，而它们来自一个正方形，方向被钉死了。真正的最大值 $2\sqrt{5}\approx 4.47$ 比它小得多。不等式给的上界，没验等号之前不能叫最大值。

解法二：建系枚举：$64$ 组符号只落出 $21$ 个点，模只有 $5$ 个可能值

基正交等长时，基向量法与建系是同一件事。取 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(1,1)$、$D(0,1)$：

加起来的坐标就是前面那两个式子：和向量 $=(x,y)$。现在把 $(x,y)$ 能落到哪儿数清楚。按解法一的两种情形：

• 情形 A（$\lambda_{5}=\lambda_{6}$）：$\lvert x\rvert\leqslant 2$、$\lvert y\rvert\leqslant 4$，且都是偶数；
• 情形 B（$\lambda_{5}=-\lambda_{6}$）：$\lvert x\rvert\leqslant 4$、$\lvert y\rvert\leqslant 2$。

两块拼起来是一个「十」字形的偶数格点：$3\times 5$ 与 $5\times 3$ 两片，重叠的 $3\times 3$ 只算一次，共

$64$ 组符号，只落出 $21$ 个不同的点（上面那张图把它们全画了）。于是 $x^{2}+y^{2}$ 的取值也只有几个：

整道题的答案就是这张表的两头：最小 $0$、最大 $2\sqrt{5}$。$(\pm4,\pm4)$ 落不出来（它要求两个括号同时取 $\pm2$，而它们的乘积恒为 $0$），这正是最大值只有 $2\sqrt{5}$ 而不是 $4\sqrt{2}$ 的原因。

这条路的好处是把「有限枚举」这件事摆到明面上：系数离散，和向量只有有限个，最值必然在这有限个候选里——没有任何需要求导或用基本不等式的地方。

两条路的分工

避坑清单