6.3 平面向量基本定理及坐标表示

本节页面上是两页：§6.3 的引子和整个 §6.3.1。内容其实只有一条定理——平面向量基本定理， 外加它带出来的一个词：基底。课本随后的例 1、例 2 是这条定理的两种典型用法， 例 2 的证明印在下一页（属于 §6.3.2 那一节的页），这里把它补全了讲。

这两页上没有印课本练习（§6.3.1 的三道练习印在第 34 页，归 §6.3.2 那一份收）， 所以本页面没有习题详解那一块。

这一节是整章的枢纽。 前两节把向量的运算配齐了（加、减、数乘、数量积）， 这一节回答的是一个”能不能一劳永逸”的问题：平面里那么多向量，能不能用固定的两个把它们全写出来？ 答案是能，而且写法唯一。下一节的坐标表示、后面立体几何的空间向量、解析几何里的”设点设向量”， 全部建立在这条定理上。

一、这一节要解决的问题

上一节末尾已经有一个”一个向量表示一批向量”的结论（共线向量定理）：

$$\vec b \parallel \vec a\ (\vec a\ne\vec 0) \quad\Longleftrightarrow\quad \text{存在唯一实数 }\lambda\ \text{使}\ \vec b=\lambda\vec a$$

一条直线上，一个非零向量就够用了。 于是自然要问：一个平面上，要几个？

课本从力的分解引入。同一个力 $F$ 可以分解成无穷多组分力——这说明”分解成两个”这件事本身 是不确定的。但只要先把两个方向定下来，沿这两个方向作平行四边形，分解就只有一种。 这句话就是本节定理的物理版：方向定死，分解唯一。

答案是两个，且必须不共线。为什么不能共线，见第三节末尾那个反例；为什么两个就够， 下面先看课本的作法。

二、定理：一句话里包着两件事

平面向量基本定理　如果 $\vec e_{1}$、$\vec e_{2}$ 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 $\vec a$，有且只有一对实数 $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$ 使

$$\vec a=\lambda_{1}\vec e_{1}+\lambda_{2}\vec e_{2}$$

“有且只有一对”是两个断言，得分开证、也分开用：

存在：一次作图就够

在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\vec e_{1}$、$\overrightarrow{OB}=\vec e_{2}$、$\overrightarrow{OC}=\vec a$。 过 $C$ 作直线 $OB$ 的平行线交直线 $OA$ 于 $M$，过 $C$ 作直线 $OA$ 的平行线交直线 $OB$ 于 $N$， 则 $OMCN$ 是平行四边形，由加法的平行四边形法则

$$\vec a=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$$

而 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\vec e_{1}$ 共线、$\overrightarrow{ON}$ 与 $\vec e_{2}$ 共线， 由共线向量定理存在 $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$ 使 $\overrightarrow{OM}=\lambda_{1}\vec e_{1}$、 $\overrightarrow{ON}=\lambda_{2}\vec e_{2}$，于是 $\vec a=\lambda_{1}\vec e_{1}+\lambda_{2}\vec e_{2}$。

这段作图只覆盖了 $\vec a$ 与两个基向量都不共线的情形——课本在括号里留了一句”（为什么？）”， 问的就是剩下那两种。补齐它们，“任一向量”才真的是任一：

• $\vec a$ 与 $\vec e_{1}$ 共线且 $\vec a\ne\vec 0$：由共线向量定理 $\vec a=\lambda_{1}\vec e_{1}$， 取 $\lambda_{2}=0$ 即 $\vec a=\lambda_{1}\vec e_{1}+0\cdot\vec e_{2}$；与 $\vec e_{2}$ 共线同理。
• $\vec a=\vec 0$：取 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$。

边界情形不是废话。 后面凡是”设 $\vec a=\lambda_{1}\vec e_{1}+\lambda_{2}\vec e_{2}$“这样起手的题， 都默认了这两种退化情形也在定理管辖之内——比如系数出现 $0$ 的那些答案。

唯一：反证，一步一步来

设 $\vec a$ 还有第二种写法 $\vec a=\mu_{1}\vec e_{1}+\mu_{2}\vec e_{2}$，两式相减：

$$(\lambda_{1}-\mu_{1})\vec e_{1}+(\lambda_{2}-\mu_{2})\vec e_{2}=\vec 0$$

假设两个系数不全为零，不妨设 $\lambda_{1}-\mu_{1}\ne 0$。正因为它不为零，才能除：

$$\vec e_{1}=-\frac{\lambda_{2}-\mu_{2}}{\lambda_{1}-\mu_{1}}\,\vec e_{2}$$

右边是 $\vec e_{2}$ 的一个数乘，所以 $\vec e_{1}$ 与 $\vec e_{2}$ 共线——与”不共线”这个前提矛盾。 故两个系数全为零，即 $\lambda_{1}=\mu_{1}$、$\lambda_{2}=\mu_{2}$：写法只有一种。

这段反证顺手证出了一条更常用的形式，它才是考场上真正被用到的那一句：

$$\lambda_{1}\vec e_{1}+\lambda_{2}\vec e_{2}=\vec 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \qquad(\vec e_{1},\vec e_{2}\ \text{不共线})$$

向量等于零向量 $\Rightarrow$ 两个系数分别等于零——一个向量条件换成两个数字方程， 含参问题几乎都从这一步开始。

三、基底：要求只有”不共线”一条

$\vec e_{1}$、$\vec e_{2}$ 不共线时，$\{\vec e_{1},\vec e_{2}\}$ 叫做表示这一平面内所有向量的 一个基底。三件常被误加进去的要求，其实都不需要：

反过来，唯一那条真要求非记住不可：基底不共线。看看共线时会坏成什么样：取 $\vec e_{2}=2\vec e_{1}$，则

$$3\vec e_{1}=3\vec e_{1}+0\cdot\vec e_{2}=1\cdot\vec e_{1}+1\cdot\vec e_{2}$$

同一个向量有了两种写法——唯一性没了，“比系数”这个动作立刻失效；更糟的是， 凡是不与 $\vec e_{1}$ 共线的向量，用这两个”基”根本写不出来，存在性也没了。

还有一句要说清楚：基底不唯一，但基底一旦选定，系数就唯一。 同一个向量换个基底， 系数当然会变；定理说的从来不是”系数天然唯一”，而是”对这一组基底唯一”。

四、这条定理的三种用法

用法一：比系数（向量等式 $\to$ 方程组）

由唯一性，在同一基底下

$$\lambda_{1}\vec e_{1}+\lambda_{2}\vec e_{2}=\mu_{1}\vec e_{1}+\mu_{2}\vec e_{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_{1}=\mu_{1}\ \text{且}\ \lambda_{2}=\mu_{2}$$

课本例 1 就是这个用法的入口：$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 不共线， $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$，把 $\overrightarrow{OP}$ 用这两个向量表示。

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} =\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OA}+t\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) =(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$$

课本紧接着问”观察 $\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，你有什么发现？” ——两个系数之和恒等于 $1$。而且这件事是可逆的，反过来也成立：

设 $O$ 是平面内一点，$A$、$B$、$P$ 三点满足 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$。 若 $x+y=1$，则 $P$ 在直线 $AB$ 上；反之亦然。

证一遍（把 $x=1-y$ 代入）：

$$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=y\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AP}=y\,\overrightarrow{AB}$$

于是 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线，$P$ 在直线 $AB$ 上。 这就是”三点共线的系数判据”，高考里出现的频率比定理本身还高。 用它有两个前提，缺一个就错：$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 要同起点， 系数和要等于 $1$（不是等于 $0$、也不是两个系数相等）。

用法二：全部化到一组基上（图形退场，只剩系数）

课本例 2：$CD$ 是三角形 $ABC$ 的中线，$CD=\frac{1}{2}AB$，用向量方法证明它是直角三角形。 课本的分析给了钥匙：任一向量都可由同一个基底表示，于是取 $\{\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA}\}$ 为基底。 记 $\vec a=\overrightarrow{CD}$、$\vec b=\overrightarrow{DA}$，则

$$\overrightarrow{CA}=\vec a+\vec b,\qquad \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\vec a-\vec b$$

（$\overrightarrow{DB}=-\vec b$ 是因为 $D$ 是 $AB$ 的中点。）于是

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b) =\vec a^{2}-\vec b^{2}=CD^{2}-DA^{2}$$

而 $CD=\frac{1}{2}AB=DA$，所以这个数量积等于 $0$，即 $CA\perp CB$，三角形 $ABC$ 是直角三角形。

这条路子的样子值得记住：题目里的每一个向量都换成基的组合，之后就只剩系数的加减与 $\vec a\cdot\vec b$、$\vec a^{2}$、$\vec b^{2}$ 这几个已知量——几何图形退场，代数接手。 判断垂直用”数量积为 $0$“，判断平行用”一个是另一个的倍数”，判断长度用平方。

用法三：算模就平方

基底不必垂直，所以模的公式要带交叉项：

$$\left\lvert x\vec e_{1}+y\vec e_{2}\right\rvert^{2} =x^{2}\lvert\vec e_{1}\rvert^{2}+2xy\,\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}+y^{2}\lvert\vec e_{2}\rvert^{2}$$

只有 $\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}=0$ 时中间那一项才能丢。 基底垂直且都是单位向量时，上式塌成

$$\left\lvert x\vec e_{1}+y\vec e_{2}\right\rvert^{2}=x^{2}+y^{2}$$

——这正是下一节坐标表示的来路：坐标法不是另一套方法，是基底取成 $\{\vec i,\vec j\}$ 的本节定理。

用法四：反过来抓某个系数——「坐标」不是「投影」

前三种用法都是从系数出发去算别的量。还有一类题反着走：已知向量，问它的某一个系数。

正交基底把人惯坏了。$\{\vec i,\vec j\}$ 下两边点乘 $\vec i$ 立刻得 $x=\vec a\cdot\vec i$——坐标就是投影。 基底一旦不垂直，这条就断了：

$$\vec a\cdot\vec e_{1}=x\lvert\vec e_{1}\rvert^{2}+y\,\vec e_{1}\cdot\vec e_{2},$$

右边把两个系数搅在一起，想抓 $x$ 反而多引进一个 $y$。斜基底下「坐标」与「投影」是两件事—— 本节定理只保证 $(x,y)$ 存在且唯一，可从没说它们等于投影。

正确的动作是：点乘一个能把另一个基向量打成零的向量。设 $\vec e_{1}$、$\vec e_{2}$ 是夹角 $\theta$ 的 单位向量，记 $\vec e_{2}^{\perp}$ 为与 $\vec e_{2}$ 垂直的单位向量，则含 $y$ 的那一项自动消失：

$$\vec a\cdot\vec e_{2}^{\perp}=x\,(\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}^{\perp})=\pm x\sin\theta \ \Longrightarrow\ \lvert x\rvert=\frac{\bigl\lvert\vec a\cdot\vec e_{2}^{\perp}\bigr\rvert}{\sin\theta} \leqslant\frac{\lvert\vec a\rvert}{\sin\theta}.$$

三件事值得单独记下来：

1. 分母上是正弦，不是余弦。 抓 $x$ 要投到 $\vec e_{2}$ 的垂线上，而 $\vec e_{1}$ 在那条垂线上 只剩 $\sin\theta$ 那么长。把它记成余弦的人，多半是把坐标当成了投影。
2. 系数的上界只跟基的夹角有关，等于 $\dfrac{1}{\sin\theta}$，与 $\vec a$ 是谁无关。 $\theta=90^{\circ}$ 时上界是 $1$（正交基下坐标的绝对值不可能超过模，与直觉一致）； $\theta\to0$ 时上界趋于 $+\infty$——两个基向量越接近共线，同一个 $\vec a$ 的坐标越能被放大到任意大。 这正是「基底不共线」那条要求为什么不止是形式：共线时定理失效，接近共线时它虽然成立却极不稳定。
3. 等号条件是几何的：$\vec a\perp\vec e_{2}$。比起「$\dfrac yx$ 等于某个式子」那类代数条件， 这一句既好记，也好回头验。

五、选基底：挑哪两个向量

定理只要求不共线，但好用的基底还要满足两条：

1. 从同一点出发（这样其他向量都能用”减法：终点减起点”化过去）；
2. 长度与夹角已知（这样 $\lvert\vec e_{1}\rvert$、$\lvert\vec e_{2}\rvert$、$\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}$ 三个数都是已知量，第三种用法才算得下去）。

常见图形的默认选择：

选基的收益全在”未知量变少”上：基一选定，图上每个向量都变成两个数，题目里的条件也跟着 变成关于这些数的等式。原来要在图上找辅助线的题，就成了算术。

六、易错清单（按失分频率排）

1. 基底共线还照用。 含参的题最容易中招：$\vec e_{1}$、$\vec e_{2}$ 的坐标里带字母时， 先验一次不共线（否则唯一性、比系数全部失效）。
2. 丢掉交叉项 $2xy\,\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}$。 只有正交基才能丢。平行四边形、菱形、 正六边形为背景的题里，$\vec e_{1}\cdot\vec e_{2}\ne0$。
3. 方向搞反。 $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$。 化基底时把每个向量的起点终点写出来核一遍，比事后检查快。
4. 三点共线判据用错。 两个向量必须同起点，系数之和必须是 $1$。 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ 也共线（$2-1=1$）， 而 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ 不但共线， 还告诉你 $P$ 是中点。
5. 把”唯一”理解成”系数天生唯一”。 换基底系数就变；唯一性是对固定基底说的。
6. 用共线向量定理时忘了 $\vec a\ne\vec 0$。 存在性证明里的两步都用了它。
7. 只把一部分向量化到基上就开始算。 化基底要化干净——留一个没化的向量， 后面就没法比系数，也没法平方。

七、这一节考过的真题（怎么读）

页面下方那份清单是派生的，逐年在长。现在挂在这一节上的两道，正好把定理的两半各用了一次：

• 浙江 2019 第 17 题（正方形 $ABCD$ 边长 $1$，四条边与两条对角线各配一个 $\pm1$ 的系数， 求和向量模的最小值与最大值）。取 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\}$ 为基底， 六个向量全化过去之后，那个和恒等于 $(\lambda_{1}-\lambda_{3}+\lambda_{5}-\lambda_{6})\overrightarrow{AB}+(\lambda_{2}-\lambda_{4}+\lambda_{5}+\lambda_{6})\overrightarrow{AD}$ ——六个向量、$64$ 种符号的题，被这一步换成两个整数的题。再用正交基把模写成 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，剩下的是纯算术。这道题是本节”用法二 + 用法三”的完整样板， 也是这一节目前的上限。

• 浙江 2015 第 15 题（$\vec e_1$、$\vec e_2$ 是空间单位向量、夹角 $\dfrac{\pi}{3}$， 已知 $\vec b\cdot\vec e_1$、$\vec b\cdot\vec e_2$ 与”$\left|\vec b-(x\vec e_1+y\vec e_2)\right|$ 的最小值是 $1$“，求 $x_0$、$y_0$ 与 $\left|\vec b\right|$）。它用的是定理的另一半—— 那句”有且只有一对”。两处都靠它：

  • 存在性那一半说，$x\vec e_1+y\vec e_2$ 的终点铺满过原点的一整张平面。 于是题面那句”对任意 $x,y$ 都有 $\geqslant$“，说的正是”$\vec b$ 的终点到这张平面上各点的距离”， 最小的那个就是垂线段——一句冗长的代数条件被这一步读成了一个几何量。
  • 唯一性那一半说，使距离最小的那个点（垂足）只有一种写法。题面把它写成 $x_0\vec e_1+y_0\vec e_2$，那么 $(x_0,y_0)$ 就是垂足的那一对系数， “垂直于平面 $\Rightarrow$ 与 $\vec e_1$、$\vec e_2$ 的数量积都为零”立刻给出二元一次方程组。 要留神的是：本节定理管的只是”平面内”的向量，而这道题的 $\vec b$ 是空间向量、 一般不在 $\vec e_1,\vec e_2$ 张成的平面上。所以不能直接写 $\vec b=x\vec e_1+y\vec e_2$， 得先把它拆成”平面里的一截 $+$ 垂直于平面的一截”。 这是本节定理搬到空间时最容易越界的地方，也是那道题唯一的坎。

• 浙江 2013 第 17 题（$\vec e_1$、$\vec e_2$ 是夹角 $30^{\circ}$ 的单位向量， $\vec b=x\vec e_1+y\vec e_2\ne\vec 0$，求 $\dfrac{\lvert x\rvert}{\lvert\vec b\rvert}$ 的最大值）。 这是”用法三”与”用法四”的一次正面对照。卷面走的是用法三：先按交叉项公式摊开 $\lvert\vec b\rvert^{2}=x^{2}+\sqrt3\,xy+y^{2}$，再除以 $x^{2}$ 设 $t=\dfrac yx$ 配方，得最大值 $2$。 而用法四那条恒等式一行就到：$\dfrac{\lvert x\rvert}{\lvert\vec b\rvert}\leqslant\dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}=2$。 两条都该会：前者是本节的通用手法，后者告诉你那个 $2$ 不是巧合，它就是 $\dfrac{1}{\sin\theta}$， 夹角一换，答案跟着换。另外留意卷面那一步”除以 $x^{2}$“悄悄用掉了 $x\ne0$ 却没交代—— $x=0$ 时比值是 $0$，补一句就闭合，不补就是漏了一整块定义域。

想再练”用法一”（比系数、三点共线），眼下站上没有挂在本节的真题， 就把课本例 1 的那句”发现”自己证一遍：$x+y=1$ 与”$P$ 在直线 $AB$ 上”互为充要条件， 两个方向都写出来——这条判据后面在解析几何里会反复出现。