切线垂直于过切点的半径

教材原文

（2）必要性 $(q\Rightarrow p)$ ：若直线l与 $\odot O$ 相切，不妨设切点为P，则 $OP\perp l$ 。因此，d=OP=r。

结论

设直线 $l$ 与 $\odot C$ 相切于点 $P$，则

反过来，若 $P$ 在圆上且 $CP\perp l$、$P\in l$，则 $l$ 与圆相切于 $P$——「切于某点」比「相切」强：它同时钉住了公共点的位置。

怎么用

题目一旦给出切点的坐标，这条性质就把圆心的位置压到一条线上：圆心在过切点且垂直于切线的那条直线（即切线在该点的法线）上。写成参数形式最省事——直线 $ax+by+c=0$ 的法向量是 $(a,b)$，故

再拿圆心的任何一个已知条件（在某条坐标轴上、在某直线上、某坐标已知）去定 $t$，$r$ 就跟着落地。

边界

• 只说「相切」而没给切点时用不上这一条的强形式，那时的标准工具是「圆心到直线的距离等于半径」$d=r$（正是上面那段教材原文所证的充要条件）。
• 圆心与切点连线垂直于切线，说的是这一条半径，不是任意半径。
• 切线的斜率不存在（竖直线）时，法线是水平线，用法向量 $(a,b)$ 的写法照样成立——这是不设斜率的好处。