浙江 2019 · 数学 q12

冷启动：把题面的每个字换算成条件

题目给了三样东西，问两个空。假设你刚学到「直线与圆」，先把话翻成条件。

① 圆心 $(0,m)$、半径 $r$。 圆心的横坐标是 $0$——这句话是说圆心落在 $y$ 轴上，只有纵坐标 $m$ 待定。半径 $r$ 也待定，所以一共两个未知量，那就需要两条方程。

② 直线 $2x-y+3=0$ 与圆相切。 相切的代数出口是「圆心到直线的距离等于半径」：

$$d=\frac{|A x_{0}+B y_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=r$$

这是一条方程。光有它不够，还差一条。

③ 切于点 $A(-2,-1)$。 这四个字比「相切」强得多，它一次给了三件事：

• $A$ 在直线上（代进去验：$2\times(-2)-(-1)+3=0$ ✓，题面自洽）；
• $A$ 在圆上，即 $|CA|=r$——这就是缺的那条方程；
• 圆心与切点的连线垂直于这条切线，即 $CA\perp l$。

第三件最省事：它把圆心从「平面上到处可能」压到过 $A$ 且垂直于切线的那一条直线上。再叠上「圆心在 $y$ 轴上」，两条直线交于唯一一点——圆心就定死了，$r=|CA|$ 顺手落地。这就是解法一。

若不想用垂直，也可以老老实实把 ② 与 ③ 的两条方程联立解 $m$，那是解法二；那条路会撞见一个漂亮的现象：解出来是重根。

下面这张图把解法一画了出来：从切点 $A$ 沿切线的法向 $(2,-1)$ 走一步，横坐标正好从 $-2$ 走到 $0$，落点就是圆心。

解法一：圆心在过切点的法线上，横坐标 $0$ 把它定死

① 切点处的半径垂直于切线。 这是圆的基本性质：设切点为 $A$、圆心为 $C$，则 $CA\perp l$。于是圆心一定在过 $A$ 且垂直于 $l$ 的那条直线上（那条线就是 $l$ 在 $A$ 处的法线）。

② 把法线写出来（斜率版）。 直线 $2x-y+3=0$ 即 $y=2x+3$，斜率 $k_{l}=2$。垂直就取负倒数：

$$k_{CA}=-\frac{1}{k_{l}}=-\frac{1}{2}$$

过 $A(-2,-1)$ 的法线用点斜式：

$$y+1=-\frac{1}{2}\,(x+2)$$

③ 用「圆心在 $y$ 轴上」定点。 圆心的横坐标是 $0$，代 $x=0$：

$$y+1=-\frac{1}{2}\times 2=-1\quad\Longrightarrow\quad y=-2$$

所以圆心是 $C(0,-2)$，即

$$\boxed{m=-2}$$

④ 半径就是这一段的长度。

$$r=|CA|=\sqrt{(0-(-2))^{2}+(-2-(-1))^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$ $$\boxed{r=\sqrt{5}}$$

⑤ 换个不用斜率的说法（推荐）。 直线 $Ax+By+C=0$ 的法向量就是 $(A,B)$，本题是 $(2,-1)$。圆心在法线上，等价于

$$C=A+t\,(2,-1)=(-2+2t,\;-1-t)$$

横坐标为 $0$ 给出 $-2+2t=0$，即 $t=1$；代回得 $C=(0,-2)$，且

$$r=|t|\cdot\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=1\times\sqrt{5}=\sqrt{5}$$

这个写法的好处是不必分斜率存在与否（切线竖直时照样成立），而且 $r$ 是顺带算出来的，不用再开一次根号。图上那支绿色箭头画的就是这一步。

⑥ 自检：拿「距离等于半径」验一遍。 圆心 $C(0,-2)$ 到直线 $2x-y+3=0$ 的距离

$$d=\frac{|2\times 0-(-2)+3|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}=r\ \checkmark$$

相切成立。再核一眼垂直：$\overrightarrow{AC}=(2,-1)$ 与直线的方向向量 $(1,2)$ 的数量积 $2\times 1+(-1)\times 2=0$ ✓。

这条路的动作：读到「切于点 $A$」，就沿切线在 $A$ 处的法向把圆心找出来。

解法二：「$A$ 在圆上」配「距离等于半径」，联立逼出重根

不用垂直，只用两条最标准的方程——两个未知量 $m$、$r$，正好两条。

① 第一条：$A$ 在圆上。 圆心 $(0,m)$ 到 $A(-2,-1)$ 的距离就是半径：

$$r^{2}=(-2-0)^{2}+(-1-m)^{2}=4+(m+1)^{2}$$

② 第二条：相切 $\Rightarrow$ 圆心到直线的距离等于半径。

$$d=\frac{|2\times 0-m+3|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|3-m|}{\sqrt{5}}=r \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{(3-m)^{2}}{5}$$

③ 联立，解 $m$。 两个 $r^{2}$ 相等：

$$\frac{(3-m)^{2}}{5}=4+(m+1)^{2}$$

两边乘 $5$ 再展开：

$$9-6m+m^{2}=20+5(m^{2}+2m+1)=5m^{2}+10m+25$$

移项：

$$4m^{2}+16m+16=0\quad\Longrightarrow\quad m^{2}+4m+4=0\quad\Longrightarrow\quad (m+2)^{2}=0$$

所以 $m=-2$（唯一解）。

④ 回代求 $r$。

$$r^{2}=4+(-2+1)^{2}=4+1=5\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{5}$$

（半径取正根，负根无意义。）

⑤ 重根不是巧合。 这个 $(m+2)^{2}=0$ 值得停一下：若 $m$ 有两个不同的解，就意味着有两个不同的圆，圆心都在 $y$ 轴上、都过 $A$、都与这条直线相切。但由解法一，「切于 $A$」把圆心锁在过 $A$ 的那条法线上，而法线与 $y$ 轴只交于一点——所以本来就只可能有一个圆。代数里的重根，正是几何里「切」这件事的回声：相切 = 两个交点重合，参数方程也跟着退化成重根。

⑥ 这条路的两个提醒。 一是别只写 $d=r$：两个未知量、一条方程，怎么解都解不动，缺的正是「$A$ 在圆上」；二是别忘了绝对值：$|3-m|$ 平方之后才敢去掉，直接写成 $3-m$ 在 $m>3$ 时就错了（本题最终 $m=-2$，恰好 $3-m>0$，但那是算完才知道的事）。

这条路的动作：把「相切」换成 $d=r$，把「切点」换成「切点在圆上」，两条方程联立。

避坑

三句话收尾：

• 「切于某点」比「相切」强，强在给了方向：圆心在过切点的法线上——这一句能省掉大半计算。
• 用法向量 $(A,B)$ 代替斜率：既不必讨论斜率是否存在，半径还顺带算出来（$r=|t|\sqrt{A^{2}+B^{2}}$）。
• 算完必用 $d=r$ 回验：这道题两条路互为对方的自检，填空题没有过程分，验算是唯一的保险。