1.4.2 充要条件

上一小节把 $p \Rightarrow q$ 这一支箭起了两个名字（充分、必要）。这一小节只做一件事： 把两支箭同时立起来。当 $p \Rightarrow q$ 与 $q \Rightarrow p$ 都成立时，记作

$p \Leftrightarrow q,$

这时 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件。由记号的对称性立刻可知： 若 $p$ 是 $q$ 的充要条件，那么 $q$ 也是 $p$ 的充要条件——充要是相互的，充分与必要不是。

这一小节的分量不在定义（定义只有上面这一行），而在两件事：四种关系怎么判， 以及充要条件为什么等于”另一个定义”。所以下面按这两条组织，最后把集合的看法接上—— 那是本节在高考里出现频率最高的形态。

一、逆命题：判两次，不是判一次

把命题”若 $p$，则 $q$“里的条件与结论互换，得到的”若 $q$，则 $p$“叫做原命题的逆命题。

一个命题与它的逆命题的真假是互不牵连的两件事，四种组合全都真实存在。课本”思考”里那四个 命题正好凑齐了三种：

所以判”$p$ 是 $q$ 的什么条件”永远是两次判断，不是一次。 一次判 $p \Rightarrow q$、 一次判 $q \Rightarrow p$，各自独立地找定理或找反例，最后按上表对号入座。 只判一个方向就填答案，是这一节丢分最多的写法。

顺带说清课本第三个例子为什么是”假 + 真”：一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a \neq 0$）有两个不相等的 实数根等价于 $b^2-4ac>0$，这推不出 $ac<0$（取 $a=1$、$b=-3$、$c=2$，判别式 $1>0$ 有两个不等 实根，而 $ac=2>0$）；反过来 $ac<0$ 时 $-4ac>0$，于是 $b^2-4ac \geqslant -4ac > 0$， 确实有两个不相等的实数根。

二、证一个充要条件：分两段写，各写一半

要证”$p$ 是 $q$ 的充要条件”，就得分别证两件事，而且要在卷面上分段写清楚哪一段证的是哪一半：

$$\textbf{充分性：}\ p \Rightarrow q, \qquad\qquad \textbf{必要性：}\ q \Rightarrow p.$$

哪一半叫充分、哪一半叫必要，按上一小节的口诀认：充分性是”由 $p$ 推出 $q$” （有 $p$ 就够了），必要性是”由 $q$ 推出 $p$“（没有 $p$ 就没有 $q$）。写反了不扣分数吗？ 扣——阅卷按段给分，段名与内容对不上就得不到那一段的分。

先认清谁是那个”条件”。 题目常写成”$A$ 的充要条件是 $B$”， 这句话里 $B$ 是条件、$A$ 是结论，于是

$\textbf{充分性：}\ B \Rightarrow A, \qquad \textbf{必要性：}\ A \Rightarrow B.$

读反了，两段的名字就会整体互换。判断办法只有一句：“充分”永远指”由那个条件推出结论”。

课本例 4（$d = r$ 是直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切的充要条件）是这套写法的标准范本： 充分性那一段作 $OP \perp l$、在 $l$ 上另取一点 $Q$ 并在 $\mathrm{Rt}\triangle OPQ$ 里比较 $OQ > OP = r$，得出除 $P$ 外的点都在圆外；必要性那一段直接用切线的性质 $OP \perp l$ 得 $d = OP = r$。 两段各自独立，第二段不许”由第一段可知”。

三、充要条件就是”换一个定义”

这是本节真正的思想，也是课本”探究”与”阅读与思考”两处反复说的一件事：

一个数学对象的每一个充要条件，都可以拿来当它的定义。

平行四边形的定义是”两组对边分别平行”，而”两组对边分别相等""一组对边平行且相等” “两条对角线互相平分""两组对角分别相等”都是它的充要条件——于是每一条都能改写成一个定义： “对角线互相平分的四边形叫做平行四边形”。这些定义相互等价，选哪一个当出发点是习惯问题， 不是对错问题。

由此还得到一张把初中几何整个串起来的对照表，值得抄在本子上：

读法很实用：判定定理用来断定”是”，性质定理用来断定”不是”。 三边成比例是相似的判定，见到它就可以断定两三角形相似； “对应角相等”是相似的性质，见到对应角不全相等就可以断定两三角形不相似—— 但对应角相等推不出相似（那要看边是否成比例，全等与相似的差别正在这里）。 性质定理只能用来否定，这一条用错了会直接把判定与性质用反。

四、集合的看法：包含关系就是条件关系

设 $A = \{x \mid x \text{ 满足条件 } p\}$、$B = \{x \mid x \text{ 满足条件 } q\}$，那么

$$A \subseteq B \iff (p \Rightarrow q), \qquad B \subseteq A \iff (q \Rightarrow p), \qquad A = B \iff (p \Leftrightarrow q).$$

于是四种关系在数轴上一眼可判：

• $A \subsetneq B$（$A$ 真包含于 $B$）：$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；
• $B \subsetneq A$：$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件；
• $A = B$：充要条件；
• $A$、$B$ 互不包含：既不充分也不必要。

一句口诀记方向：小范围推出大范围（“小的推大的”）。$x > 3$ 的范围比 $x > 1$ 小， 所以 $x > 3 \Rightarrow x > 1$，即 $x > 3$ 是 $x > 1$ 的充分不必要条件。 含参数的题目里，”$p$ 是 $q$ 的充分条件”就翻译成"$A \subseteq B$"， 剩下的全是端点比大小——这是这一节在高考里最常见的用法。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 只判一个方向。 四种关系必须判两次（第一节）。
2. 充分性与必要性写反。 充分性证 $p \Rightarrow q$，必要性证 $q \Rightarrow p$。
3. 把性质定理当判定用。 性质只能用来否定（第三节）。
4. 集合包含的方向搞反。 记”小的推大的”：范围小的那个条件更强，是充分条件。
5. 端点是否取到没核。 用集合法解含参题时，$A \subseteq B$ 允许两端相等， 而”充分不必要”要求 $A$ 真包含于 $B$，端点重合的那一档要单独验一次。
6. 忘了 $a \neq 0$ 这类前提。 例如”方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实数根”与"$b^2-4ac \geqslant 0$" 是充要的前提是 $a \neq 0$；$a$ 允许为 $0$ 时它就不是二次方程，两件事立刻不等价。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，都经由概念 充要条件连过来。下面挑五道：前两道直接问四种关系，后三道是”充要”这个词在别处的用法：

• 先做 2022 年第 4 题：判断 $\sin x = 1$ 与 $\cos x = 0$ 之间的充分必要关系。 按第一节的流程做——先判 $\sin x = 1 \Rightarrow \cos x = 0$（由平方关系 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 得 $\cos x = 0$，成立），再判反方向（取 $x = -\frac{\pi}{2}$， 此时 $\cos x = 0$ 但 $\sin x = -1$，反例成立）。于是前者是后者的充分不必要条件。 两个方向各判一次、反例只需一个，这道题把本节全部动作用了一遍；
• 再做 2021 年第 3 题："$\vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c$"是"$\vec a = \vec b$"的 必要不充分条件。它值得用第四节那套集合语言再看一遍：满足前者的向量组成的集合真包含 满足后者的那个集合（移项得 $(\vec a - \vec b) \cdot \vec c = 0$，$\vec a - \vec b$ 只需与 $\vec c$ 垂直，不必为零），大范围不能推出小范围，所以只有”必要”这一半；
• 2020 年第 6 题：“三条直线两两相交”与”这三条直线共面”，一个方向靠平面的基本事实、 另一个方向靠反例（正方体一个顶点处的三条棱）。它是”判两次”在立体几何里的样子；
• 2023 年第 7 题：等差数列与”前 $n$ 项和的均值成等差”互为充要条件。这道题的两个方向 都得动手证，是本节”证一个充要条件要分两段写”那一节的完整演练；
• 2020 年第 9 题（$(x-a)(x-b)(x-2a-b) \geqslant 0$ 在 $x \geqslant 0$ 上恒成立， 问哪个选项必然成立）：它的第三条解法把题设的充要条件整个解了出来—— $\{a<0,\ b<0\}$ 与$\{a>0,\ b=-a\}$ 两族之并。有了这个解集，四个选项一眼定： 它整个装在"$b<0$"里面，却装不满（$b<0$ 里还有 $a=1$、$b=-3$ 这种不满足题设的点）， 按第四节"$A \subsetneq B$"那一行，"$b<0$"是题设的必要不充分条件—— 于是它”必然成立”，而反过来推不回去。这正是本节语言最实用的地方： 把”选项对不对”翻译成”两个解集谁包含谁”。 顺带一提，这道题的前提"$ab \neq 0$"删掉之后结论就不成立了（取 $a=0$、$b=1$ 试试）， 它就是上面易错清单第 6 条说的那种前提。

本节页面覆盖第 27–32 页，课本习题共 12 道：第 27 页「练习」3 道（课本给 §1.4.1 「充分条件与必要条件」配的那一组，题面印在本节的首页上）、第 29 页「练习」3 道、 第 29–30 页「习题 1.4」6 道（复习巩固 3 道、综合运用 2 道、拓广探索 1 道），逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 27 页）第 1 题

1. 下列“若 $p$，则 $q$”形式的命题中，哪些命题中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件？

（1）若平面内点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，则 $PA = PB$

(2) 若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等, 则这两个三角形全等;

(3) 若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.

问”$p$ 是不是 $q$ 的充分条件”，就是问”若 $p$，则 $q$“是不是真命题。逐个判断。

(1) 是充分条件。 这是线段垂直平分线的性质定理：设 $AB$ 的垂直平分线为 $l$，垂足为 $M$， 则 $M$ 是 $AB$ 的中点且 $l \perp AB$。点 $P$ 在 $l$ 上时，若 $P$ 与 $M$ 重合，则 $PA = PB = \frac{1}{2}AB$； 若 $P$ 异于 $M$，则 $\mathrm{Rt}\triangle PMA$ 与 $\mathrm{Rt}\triangle PMB$ 中 $PM$ 公用、$MA = MB$、两个直角相等，故两三角形全等，$PA = PB$。命题为真。

(2) 不是充分条件。 这是”两边及其中一边的对角分别相等”（常记作 SSA），它不是三角形全等的 判定定理。举一个反例就够：

画一个 $30^\circ$ 的角 $\angle MAN$，在边 $AM$ 上取点 $B$ 使 $AB = 3$。点 $B$ 到边 $AN$ 的距离是 $AB \sin 30^\circ = 1.5$。以 $B$ 为圆心、$2$ 为半径画弧，由于

$1.5 < 2 < 3,$

即半径大于 $B$ 到 $AN$ 的距离、又小于 $AB$，这条弧与射线 $AN$ 恰交于两个不同的点 $C_1$、$C_2$。 于是 $\triangle ABC_1$ 与 $\triangle ABC_2$ 中：$AB$ 是公共边（$3 = 3$）、$BC_1 = BC_2 = 2$、 $\angle A = 30^\circ$ 是 $BC$ 这条边所对的角，两边及一边所对的角分别相等； 但 $AC_1 \neq AC_2$（$C_1$、$C_2$ 是两个不同的点），两个三角形不全等。命题为假。

(3) 是充分条件。 设两个三角形相似，相似比为 $k$（即对应边之比为 $k$）。 相似三角形的性质给出：周长之比等于相似比 $k$，面积之比等于相似比的平方 $k^2$。于是

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{C_1}{C_2}\right)^2,$

即面积比等于周长比的平方。命题为真。

结论：(1)(3) 中 $p$ 是 $q$ 的充分条件，(2) 中不是。

这道题的关键动作：猜它真就找一条定理，猜它假就造一个反例——反例只要一个，而且只要造得出来 就行，不必说明它有多典型。

练习（第 27 页）第 2 题

2. 下列 “若 p，则 q” 形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？

（1）若直线 $l$ 与 $\odot O$ 有且仅有一个交点，则 $l$ 为 $\odot O$ 的一条切线；

(2) 若 x 是无理数，则 $x^{2}$ 也是无理数.

”$q$ 是 $p$ 的必要条件”与”$p$ 是 $q$ 的充分条件”是同一件事，判断的仍是”若 $p$，则 $q$“的真假。

(1) 是必要条件。 圆的切线的定义就是”与圆有且只有一个公共点的直线”。 直线 $l$ 与 $\odot O$ 有且仅有一个交点，按定义它就是 $\odot O$ 的切线。命题为真。

(2) 不是必要条件。 取 $x = \sqrt{2}$，它是无理数（$p$ 成立），而

$x^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

是有理数（$q$ 不成立）。命题为假，所以 $q$ 不是 $p$ 的必要条件。

结论：(1) 中 $q$ 是 $p$ 的必要条件，(2) 中不是。

练习（第 27 页）第 3 题

3. 如图，直线 $a$ 与 $b$ 被直线 $l$ 所截，分别得到了 $\angle 1, \angle 2, \angle 3$ 和 $\angle 4$. 请根据这些信息，写出几个“$a \parallel b$”的充分条件和必要条件.

先对着上方第 27 页的扫描图把四个角的位置认清楚：直线 $l$ 自左上向右下把 $a$（上）与 $b$（下） 各截一次。在 $l$ 与 $a$ 的交点处，$\angle 4$ 在 $a$ 的上方、$l$ 的左侧，$\angle 3$ 在 $a$ 的下方、 $l$ 的左侧，$\angle 2$ 在 $a$ 的下方、$l$ 的右侧；在 $l$ 与 $b$ 的交点处，$\angle 1$ 在 $b$ 的上方、 $l$ 的左侧。

于是 $\angle 1$ 与另外三个角各成一对有名字的角：

充分条件（由平行线的判定定理，每一条都能推出 $a \parallel b$）：

$\angle 1 = \angle 4, \qquad \angle 1 = \angle 2, \qquad \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ.$

必要条件（由平行线的性质定理，$a \parallel b$ 能推出每一条）：仍是上面这三条。

所以这三条既是充分条件也是必要条件，即三个充要条件。这正是”判定定理给充分条件、 性质定理给必要条件，两者合起来就是充要条件”的一个现成例子。

利用同一交点处的角关系还可以再写出几条等价的说法，例如 $\angle 2 = \angle 4$ 恒成立 （它们是对顶角），于是"$\angle 1 = \angle 2$"也可以换写成"$\angle 1 = \angle 4$"； $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$ 也恒成立（邻补角），于是"$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$" 与"$\angle 1 = \angle 4$"同样等价。

最后提醒一处容易被当成答案的”白给”条件：$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ 是邻补角关系， 无论 $a$ 与 $b$ 平不平行都成立。按定义，恒真的命题是任何结论的必要条件 （因为”若 $a \parallel b$，则 $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$“确实是真命题）， 但它不含任何信息，也不是充分条件——写答案时要写那些真的与平行有关的角对。

练习（第 29 页）第 1 题

1. 下列各题中，哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件？

(1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；

(2) p: $\odot O$ 内两条弦相等, q: $\odot O$ 内两条弦所对的圆周角相等;

(3) $p: A \cap B$ 为空集, $q: A$ 与 $B$ 之一为空集.

每一小问都要判两次：$p \Rightarrow q$ 与 $q \Rightarrow p$，两次都真才是充要条件。

(1) 是充要条件。

• $p \Rightarrow q$：等腰三角形的两腰相等，由”等边对等角”知两个底角相等，故存在两角相等。
• $q \Rightarrow p$：若三角形有两个角相等，由”等角对等边”知这两个角所对的边相等，故三角形为等腰三角形。

两个方向都真，$p \Leftrightarrow q$。

(2) 答案取决于 $q$ 里”所对的圆周角”怎么读，两种读法都算一遍。

先说清歧义在哪：同一圆里一条弦所对的圆周角有两类——顶点取在优弧上的与取在劣弧上的， 二者互补（弦为直径时才都等于 $90^\circ$）。所以”两条弦所对的圆周角相等”这句话， 既可以理解成”各取对应那一类弧上的圆周角，两者相等”，也可以理解成 “任取一个圆周角都相等”。下面每一种读法都从头到尾用同一套口径，不混着来。

读法一（对应弧）：$q$ 指”两条弦各取同一类弧上的圆周角，两者相等”。此时 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

• $p \Rightarrow q$：同圆中弦相等 $\Rightarrow$ 所对的弧相等 $\Rightarrow$ 所对的圆心角相等 $\Rightarrow$ 对应弧上的圆周角（等于圆心角的一半）相等。
• $q \Rightarrow p$：对应弧上的圆周角相等 $\Rightarrow$ 圆心角相等 $\Rightarrow$ 弧相等 $\Rightarrow$ 弦相等（等弧对等弦）。

两个方向都真，故 $p \Leftrightarrow q$。

读法二（任取）：$q$ 指”两条弦所对的圆周角，无论取哪一个都相等”。此时 $p$ 不是 $q$ 的充要条件，只是必要不充分条件。

• $p \nRightarrow q$：取半径为 $1$ 的圆中两条长都为 $\sqrt2$ 的弦，它们所对的圆心角都是 $90^\circ$， 于是每条弦所对的圆周角是 $45^\circ$（优弧上）或 $135^\circ$（劣弧上）。 若第一条取 $45^\circ$、第二条取 $135^\circ$，两者不等，$q$ 不成立。
• $q \Rightarrow p$：按这一读法，$q$ 要求第一条弦的两类圆周角与第二条弦的两类圆周角两两都相等， 特别地同一条弦的 $\theta$ 与 $180^\circ-\theta$ 也要相等，故 $\theta = 90^\circ$， 即两条弦都是直径，长度当然相等，$p$ 成立。

本站按读法一给答案：初中”等弦 $\Leftrightarrow$ 等弧 $\Leftrightarrow$ 等圆心角 $\Leftrightarrow$ 等圆周角”这一串本来就是在对应弧的意义下说的， 而且题面第 (1) 问在需要量词时特意写了”存在两角相等”， 说明这一组题在该写量词的地方是会写出来的，第 (2) 问没写，取对应弧的读法更自然。 故 (2) 中 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

(3) 不是充要条件。 $q \Rightarrow p$ 成立：若 $A$、$B$ 之一是空集，与另一个取交自然是空集。 但 $p \Rightarrow q$ 不成立，反例：取 $A = \{1\}$、$B = \{2\}$，则 $A \cap B = \varnothing$， 而 $A$、$B$ 都不是空集。所以 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，不是充要条件。

结论：按上面采用的读法，(1)(2) 中 $p$ 是 $q$ 的充要条件，(3) 中不是 （若把 (2) 的 $q$ 按”任取”读，则只有 (1) 是——所以这一小问真正考的是把话读准）。

练习（第 29 页）第 2 题

2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.

思路：每一条判定定理给出一个充分条件，与之配对的性质给出必要条件； 当同一句话既能判定又是性质时，它就是一个充要条件。初中学过的判定定理正好都属于这一类。

“两个三角形全等”的充要条件（记 $q$：两个三角形全等）。每一条都要把两半分别交代清楚：

1. 三边分别相等（SSS）。充分性：SSS 判定定理。必要性：全等三角形的对应边相等， 所以全等能推出三边分别相等。两半都成立，故为充要条件。
2. 两边及其夹角分别相等（SAS）。充分性：SAS 判定定理。必要性：全等三角形的对应边相等、 对应角相等，特别地那两条边与它们的夹角也分别相等。
3. 两角及其夹边分别相等（ASA）。充分性：ASA 判定定理。必要性：同上（对应角相等、对应边相等）。
4. 两角及其中一角的对边分别相等（AAS）。充分性：AAS 判定定理。必要性：同上。
5. 对应边分别相等且对应角分别相等。充分性：其中”三边分别相等”这一半已由 SSS 给出。 必要性：这正是全等三角形的性质。

必要性这一半不能省着不写。 判定定理只提供充分性；要断定”充要”，还得逐条核对 有没有一条性质定理，它的结论恰好就是这个条件本身。上面四条恰好都能配上 （因为”全等三角形对应边、对应角分别相等”这一句把边和角都覆盖了），但这不是自动的—— 下面 HL 那一条就是配不上的例子。

注意第 5 条不是全等的定义。 全等的定义是”能够完全重合的两个三角形”； “对应边相等、对应角相等”是它的性质，反方向要靠判定定理才补得回来。 两个方向都点明了，它才算一个充要条件。

要当心三条不能照抄进答案的说法：

• “两边及一边所对的角分别相等”（SSA）不是全等的充分条件——反例见第 27 页练习第 1 题(2)， 那道题就在本节页面上方，用同一条弧交出的两个不全等三角形作反例。
• “三角分别相等”（AAA）不是充分条件：两个边长分别为 $1$ 和 $2$ 的等边三角形三角都相等却不全等。 它只是必要条件。
• “斜边和一条直角边分别相等”（HL）是充分条件，但它单独拿出来并不必要： 两个全等的等边三角形当然全等，却根本没有”斜边”与”直角边”可言，所以由全等推不出这个条件。 要把它写成充要条件，必须把前提写进条件里—— “两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等”是”这两个直角三角形全等”的充要条件 （此时必要性来自：全等的直角三角形对应边相等，斜边对斜边、直角边对直角边）。

“两个三角形相似”的充要条件（记 $q$：两个三角形相似）：

1. 三边成比例。充分性：相似的 SSS 判定定理。必要性：相似三角形的对应边成比例。
2. 两边成比例且夹角相等。充分性：相似的 SAS 判定定理。必要性：相似三角形对应边成比例、 对应角相等。
3. 两角分别相等。充分性：相似的 AA 判定定理。必要性：相似三角形的对应角相等。
4. 三个角分别相等且三条边成比例。这一条确实是定义本身——课本第 31 页写得很清楚： “三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形”，所以两个方向都由定义直接给出。

与全等那一栏对照着看很清楚：把”相等”换成”成比例”，判定定理就从全等变成相似， 而”两角分别相等”在相似里够用、在全等里不够用——这正是全等与相似的分界。 另外相似那一栏的第 4 条名副其实地是定义，全等那一栏的第 5 条却不是（全等的定义是”完全重合”）， 两栏在这一点上并不对称，写答案时别把两句话混着用。

练习（第 29 页）第 3 题

3. 证明：如图，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件为 AC = BD.

对着上方第 29 页的扫描图：梯形 $ABCD$ 中 $AD \parallel BC$（$AD$ 是上底、$BC$ 是下底）， $AB$、$DC$ 是两腰，$AC$、$BD$ 是两条对角线。要证的是

$AB = DC \iff AC = BD.$

先说清”梯形”这个前提有多要紧。 梯形指只有一组对边平行的四边形， 所以除了 $AD \parallel BC$，还必须有 $AD \neq BC$（否则 $ABCD$ 是平行四边形）。 这个前提在必要性那一半是必须用到的：平行四边形两腰相等（对边相等）， 但两条对角线一般并不相等——取 $B(0,0)$、$C(2,0)$、$A(1,1)$、$D(3,1)$， 则 $AB = DC = \sqrt2$，而 $AC = \sqrt{1+1} = \sqrt2$、$BD = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$，两者不等。 所以任何一份不引用"$AD \neq BC$"的证明都一定有洞。

下面用坐标法证，它把所有位形（底角是锐角还是钝角、哪条底更长）一次性处理掉。

建系。 因为 $AD \parallel BC$，把 $BC$ 放在 $x$ 轴上：设

$B(0,0), \quad C(c, 0) \ (c>0), \quad A(a, h), \quad D(d, h) \ (h > 0),$

其中取 $h>0$ 表示 $A$、$D$ 在 $x$ 轴上方。顶点按 $A \to B \to C \to D$ 的顺序围成四边形， 故 $AD$ 与 $BC$ 同向，即 $d > a$。两条底的长分别是 $AD = d-a$、$BC = c$，于是

$\textbf{“}ABCD \text{ 是梯形”即 } d - a \neq c.$

（也可以直接验证：$\overrightarrow{BA} = (a,h)$ 与 $\overrightarrow{DC} = (c-d, -h)$ 平行 当且仅当 $a\cdot(-h) - h(c-d) = 0$，即 $d - a = c$。所以”另一组对边不平行”与 $d-a \neq c$ 是同一件事。）

必要性（$AB = DC \Rightarrow AC = BD$）。 由两点间距离公式，

$AB^2 = a^2 + h^2, \qquad DC^2 = (c-d)^2 + h^2,$

故 $AB = DC \iff a^2 = (c-d)^2 \iff a = c-d$ 或 $a = -(c-d) = d - c$。

后一种情形给出 $d - a = c$，即 $AD = BC$，与梯形的前提矛盾，排除。 所以只剩

$a = c - d, \qquad \text{即} \qquad a + d = c.$

再算两条对角线：

$AC^2 = (c-a)^2 + h^2, \qquad BD^2 = d^2 + h^2.$

由 $a + d = c$ 得 $c - a = d$，故 $(c-a)^2 = d^2$，于是 $AC^2 = BD^2$，两者都是正数，所以

$AC = BD.$

充分性（$AC = BD \Rightarrow AB = DC$）。 由上面两式，

$AC = BD \iff (c-a)^2 = d^2 \iff c - a = d \ \text{或} \ c - a = -d.$

后一种情形给出 $a = c + d$，于是 $d - a = -c < 0$，与 $d > a$ 矛盾，排除。 所以只剩 $c - a = d$，即 $a + d = c$。此时

$c - d = a \quad \Longrightarrow \quad (c-d)^2 = a^2 \quad \Longrightarrow \quad DC^2 = AB^2,$

两者都是正数，故 $AB = DC$，即梯形 $ABCD$ 是等腰梯形。

由必要性与充分性两段可得：梯形 $ABCD$ 为等腰梯形的充要条件是 $AC = BD$。

两段都归结到同一个等式 $a + d = c$，它的几何含义是：$AD$ 的中点横坐标 $\frac{a+d}{2}$ 与 $BC$ 的中点横坐标 $\frac{c}{2}$ 相等——两条底的中点在同一条竖直线上， 那条线就是等腰梯形的对称轴。看清这一点，两个方向的等价就一目了然了。

另一条路（综合几何）：先用初中的性质”等腰梯形同一底上的两个底角相等”得 $\angle ABC = \angle DCB$，再由 $AB = DC$、$BC = CB$ 用 SAS 得 $\triangle ABC \cong \triangle DCB$，于是 $AC = DB$，这就是必要性。 充分性反过来要从 $AC = BD$ 推出底角相等，就没那么直接了—— 这正是坐标法在这道题上更省事的原因：它把”垂足落在线段上还是延长线上”这类位形讨论全部化成了代数。

习题 1.4 第 1 题

1. 举例说明：

(1) p 是 q 的充分不必要条件；

(2) p 是 q 的必要不充分条件；

(3) p 是 q 的充要条件.

每一小问都要给出一对具体的 $p$、$q$，并把两个方向各判一次——只写例子不判方向， 等于没有说明。

(1) $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。 取

$p: x = 1, \qquad q: x^2 = 1 \quad (x \in \mathbf{R}).$

• $p \Rightarrow q$：$x = 1$ 时 $x^2 = 1^2 = 1$，成立，所以 $p$ 是充分条件；
• $q \nRightarrow p$：取 $x = -1$，则 $x^2 = 1$ 成立而 $x = 1$ 不成立，反例存在，所以 $p$ 不是必要条件。

故 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

(2) $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。 把上一小问的两个条件对调即可：

$p: x^2 = 1, \qquad q: x = 1 \quad (x \in \mathbf{R}).$

• $q \Rightarrow p$：$x = 1$ 时 $x^2 = 1$，所以 $p$ 是必要条件；
• $p \nRightarrow q$：取 $x = -1$，$x^2 = 1$ 成立而 $x = 1$ 不成立，所以 $p$ 不是充分条件。

故 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

这一步顺带给出一条通用做法：$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，当且仅当 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件。 造出一个例子，把两个条件对调就得到另一个例子。

(3) $p$ 是 $q$ 的充要条件。 取

$p: x^2 = 1, \qquad q: |x| = 1 \quad (x \in \mathbf{R}).$

• $p \Rightarrow q$：由 $x^2 = 1$ 得 $|x| = \sqrt{x^2} = 1$；
• $q \Rightarrow p$：由 $|x| = 1$ 得 $x^2 = |x|^2 = 1$。

两个方向都真，故 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

（几何里的例子同样好用：$p$：三角形三边相等，$q$：三角形三个角都等于 $60^\circ$，两个方向也都成立。）

习题 1.4 第 2 题

2. 在下列各题中，判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：

(1) p: 三角形是等腰三角形, q: 三角形是等边三角形;

(2) p: 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 有实数根， $q:b^{2}-4ac\geqslant0(a\neq0)$ ;

(3) $p: a \in P \cap Q, q: a \in P$;

(4) $p: a \in P \cup Q, q: a \in P$;

(5) p: x > y, q: $x^{2} > y^{2}$ .

五小问统一按两次判断处理：先判 $p \Rightarrow q$，再判 $q \Rightarrow p$，然后对号入座。

(1) 必要不充分条件。

• $p \nRightarrow q$：三边长为 $2,2,3$ 的三角形是等腰三角形（两腰为 $2$），但不是等边三角形。
• $q \Rightarrow p$：等边三角形三边都相等，自然有两边相等，是等腰三角形。

$p$ 不充分、必要，故为必要不充分条件。

(2) 充要条件。 题目已给 $a \neq 0$，所以方程确实是一元二次方程，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 的判别法则可用：

• $p \Rightarrow q$：方程有实数根时 $\Delta \geqslant 0$；
• $q \Rightarrow p$：$\Delta \geqslant 0$ 时求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的根号内非负、分母非零，方程有实数根。

两个方向都真，故为充要条件。

这里的 $a \neq 0$ 不能省：若允许 $a = 0$，取 $a = 0$、$b = 0$、$c = 1$，方程 $1 = 0$ 无实数根， 而 $b^2 - 4ac = 0 \geqslant 0$ 成立，$q \Rightarrow p$ 当场失效。

(3) 充分不必要条件。

• $p \Rightarrow q$：$a \in P \cap Q$ 意味着 $a \in P$ 且 $a \in Q$，当然有 $a \in P$；
• $q \nRightarrow p$：取 $P = \{1, 2\}$、$Q = \{2\}$、$a = 1$，则 $a \in P$ 成立， 而 $P \cap Q = \{2\}$，$a \notin P \cap Q$。

故为充分不必要条件。

(4) 必要不充分条件。

• $q \Rightarrow p$：$a \in P$ 时 $a$ 满足”属于 $P$ 或属于 $Q$“，故 $a \in P \cup Q$；
• $p \nRightarrow q$：取 $P = \{1\}$、$Q = \{2\}$、$a = 2$，则 $a \in P \cup Q$ 成立而 $a \notin P$。

故为必要不充分条件。

（第 (3)(4) 小问放在一起就是”小范围推出大范围”：$P \cap Q \subseteq P \subseteq P \cup Q$， 越靠左的条件越强、越是充分条件。）

(5) 既不充分也不必要条件。

• $p \nRightarrow q$：取 $x = 1$、$y = -2$，则 $x > y$ 成立，而 $x^2 = 1 < 4 = y^2$，$q$ 不成立；
• $q \nRightarrow p$：取 $x = -3$、$y = 1$，则 $x^2 = 9 > 1 = y^2$ 成立，而 $x = -3 < 1 = y$，$p$ 不成立。

两个方向都有反例，故为既不充分也不必要条件。

这一小问的动作：涉及平方的大小比较，反例一律往负数上找——平方会把负号吃掉， “大小顺序”与”绝对值顺序”不是一回事。

习题 1.4 第 3 题

3. 判断下列命题的真假：

（1）点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离大于圆的半径是点 $P$ 在 $\odot O$ 外的充要条件；

(2) 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；

(3) $A \cup B = A$ 是 $B \subseteq A$ 的必要不充分条件；

(4) x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件.

每一小问是”对一个判定结论的判定”，所以照样两个方向各判一次，再看题目给的名称对不对。

(1) 真命题。 记 $d = OP$、半径为 $r$。点与圆的位置关系按定义就是按 $d$ 与 $r$ 的大小分的三档： $d < r$ 在圆内，$d = r$ 在圆上，$d > r$ 在圆外。三档互不相交且穷尽，所以

$d > r \iff P \text{ 在 } \odot O \text{ 外}.$

确实是充要条件，命题为真。

(2) 假命题。 先判两个方向：

• 面积相等 $\nRightarrow$ 全等：底为 $4$、高为 $3$ 的直角三角形与底为 $6$、高为 $2$ 的直角三角形 面积都是 $6$，但三边不同、不全等。所以它不是充分条件。
• 全等 $\Rightarrow$ 面积相等：全等三角形完全重合，面积当然相等。所以它是必要条件。

题目说的是”充分不必要条件”，而实际是”必要不充分条件”，说反了，故命题为假。

(3) 假命题。

• $A \cup B = A \Rightarrow B \subseteq A$：任取 $x \in B$，则 $x \in A \cup B = A$，故 $B \subseteq A$；
• $B \subseteq A \Rightarrow A \cup B = A$：$B \subseteq A$ 时 $B$ 加不进任何新元素，故 $A \cup B = A$。

两个方向都真，$A \cup B = A$ 是 $B \subseteq A$ 的充要条件，不是”必要不充分条件”，故命题为假。

(4) 真命题。 记 $p$：”$x$ 或 $y$ 为有理数”，$q$：”$xy$ 为有理数”。

• $p \nRightarrow q$：取 $x = 2$（有理数，$p$ 成立）、$y = \sqrt{2}$，则 $xy = 2\sqrt{2}$ 是无理数， $q$ 不成立；
• $q \nRightarrow p$：取 $x = y = \sqrt{2}$，则 $xy = 2$ 是有理数（$q$ 成立），而 $x$、$y$ 都是无理数， $p$ 不成立。

两个方向都有反例，$p$ 确实是 $q$ 的既不充分也不必要条件，故命题为真。

习题 1.4 第 4 题

4. 已知 $A = \{x \mid x$ 满足条件 $p\}$, $B = \{x \mid x$ 满足条件 $q\}$,

(1) 如果 $A \subseteq B$ ，那么 p 是 q 的什么条件？

(2) 如果 $B \subseteq A$ ，那么 p 是 q 的什么条件？

(3) 如果 A = B，那么 p 是 q 的什么条件？

先把”包含”翻译成”推出”。按题设，$x$ 满足条件 $p$ 与 $x \in A$ 是同一件事， $x$ 满足条件 $q$ 与 $x \in B$ 是同一件事。

(1) $p$ 是 $q$ 的充分条件。 设 $A \subseteq B$。任取一个满足 $p$ 的 $x$，则 $x \in A$， 由 $A \subseteq B$ 得 $x \in B$，即 $x$ 满足 $q$。这正是 $p \Rightarrow q$，故 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

(2) $p$ 是 $q$ 的必要条件。 设 $B \subseteq A$。任取一个满足 $q$ 的 $x$，则 $x \in B \subseteq A$， 即 $x$ 满足 $p$。这是 $q \Rightarrow p$，故 $p$ 是 $q$ 的必要条件。

(3) $p$ 是 $q$ 的充要条件。 $A = B$ 即 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$， 由 (1)(2) 得 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$，故 $p \Leftrightarrow q$。

能不能把 (1) 答成”充分不必要条件”？不能。 $A \subseteq B$ 允许 $A = B$， 这时 $p$ 还是 $q$ 的必要条件。只有把条件加强成 $A \subsetneq B$（真包含）才能断定”不必要”。 (2) 同理。这一处是含参数的条件题最常见的失分点：$\subseteq$ 与 $\subsetneq$ 差的正是端点那一档。

记法上可以把这道题的结论浓缩成一句：范围小的条件强，强的推出弱的—— $A$ 小 $B$ 大就是 $p$ 强 $q$ 弱，强的那个是充分条件。

习题 1.4 第 5 题

5. 设 $a, b, c \in \mathbb{R}$. 证明：$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$ 的充要条件是 $a = b = c$.

记 $p$：$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$，$q$：$a = b = c$。 题面说的是”$p$ 的充要条件是 $q$“，所以 $q$ 是条件、$p$ 是结论，两段的名称随之定死：

$$\textbf{充分性：}\ q \Rightarrow p\ (\text{有 } a=b=c \text{ 就够了}), \qquad \textbf{必要性：}\ p \Rightarrow q\ (\text{没有 } a=b=c \text{ 就没有那个等式}).$$

（标签与方向必须对上：读到”A 的充要条件是 B”，先认清 B 才是那个”条件”。）

关键恒等式（两段共用）。 对任意实数 $a$、$b$、$c$，

$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca,$$

把它除以 $2$ 得

$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc = \frac{1}{2}\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right].$$

以下把这个等式称作配方恒等式。（左边到右边只是展开与合并同类项：右边展开为 $\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ca+a^2) = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$，与左边相同。）

必要性（$p \Rightarrow q$）。 设 $a^2+b^2+c^2 = ab+ac+bc$，即配方恒等式的左边为 $0$，于是

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0.$

三个平方项都非负，而它们的和为 $0$，所以每一项都必须为 $0$（只要有一项为正，和就为正）：

$a-b = 0, \qquad b-c = 0, \qquad c-a = 0,$

即 $a = b = c$。

充分性（$q \Rightarrow p$）。 设 $a = b = c$，把 $b$、$c$ 都换成 $a$：

$$a^2+b^2+c^2 = 3a^2, \qquad ab+ac+bc = a\cdot a + a \cdot a + a \cdot a = 3a^2,$$

两边相等，$p$ 成立。

由必要性与充分性两段可得：$a^2+b^2+c^2 = ab+ac+bc$ 的充要条件是 $a = b = c$。

这道题的关键动作：把”等式”改写成”若干平方之和为零”。实数的平方非负， 一组非负数之和为零就逼出每一个都为零——这是把等式条件转成多个等式的标准手段。

习题 1.4 第 6 题

6. 设 $a, b, c$ 分别是 $\triangle ABC$ 的三条边，且 $a \leqslant b \leqslant c$。我们知道，如果 $\triangle ABC$ 为直角三角形，那么 $a^2 + b^2 = c^2$（勾股定理）。反过来，如果 $a^2 + b^2 = c^2$，那么 $\triangle ABC$ 为直角三角形（勾股定理的逆定理）。由此可知，$\triangle ABC$ 为直角三角形的充要条件是 $a^2 + b^2 = c^2$。

请利用边长 $a, b, c$ 分别给出 $\triangle ABC$ 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.

答案。 在 $a \leqslant b \leqslant c$ 的前提下，

$$\triangle ABC \text{ 为锐角三角形} \iff a^2+b^2 > c^2, \qquad \triangle ABC \text{ 为钝角三角形} \iff a^2+b^2 < c^2.$$

先说清一件事：只需要盯住最大的那个角。 由”大边对大角”，$a \leqslant b \leqslant c$ 蕴含 $A \leqslant B \leqslant C$，即 $C$ 是三角形中最大的内角。而三角形内角和为 $180^\circ$， 所以最大角 $C \geqslant 60^\circ$，另外两个角都不超过 $C$。于是

• 三角形三个角全是锐角 $\iff$ 最大角 $C$ 是锐角（$C < 90^\circ$）： "$\Rightarrow$"显然；"$\Leftarrow$"是因为 $A \leqslant B \leqslant C < 90^\circ$；
• 三角形有一个钝角 $\iff$ 最大角 $C$ 是钝角（$C > 90^\circ$）： 钝角只可能是最大的那个角（若有两个角大于 $90^\circ$，内角和已超过 $180^\circ$）。

再把”角”换成”边”。 由余弦定理（人教A版必修第二册 §6.4.3）

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$

其中 $2ab > 0$。所以 $\cos C$ 与 $a^2+b^2-c^2$ 同号。又 $C \in (0^\circ, 180^\circ)$， 在这个范围里余弦函数的符号恰好把角分成三档：

$$\cos C > 0 \iff C < 90^\circ, \qquad \cos C = 0 \iff C = 90^\circ, \qquad \cos C < 0 \iff C > 90^\circ.$$

把两步接起来：

$$\triangle ABC \text{ 为锐角三角形} \iff C < 90^\circ \iff \cos C > 0 \iff a^2+b^2-c^2 > 0 \iff a^2+b^2 > c^2 ;$$ $$\triangle ABC \text{ 为钝角三角形} \iff C > 90^\circ \iff \cos C < 0 \iff a^2+b^2-c^2 < 0 \iff a^2+b^2 < c^2 .$$

每一步都是等价变形（$\iff$），所以充分性与必要性同时得证。

核一遍与题面给的直角情形是否接得上。 三种情形对应 $a^2+b^2$ 与 $c^2$ 的三种大小关系 （大于、等于、小于），互不相交且穷尽，与三角形按最大角分成锐角、直角、钝角三类一一对应， 没有缺口也没有重叠——这正说明三个充要条件配成了一套完整的判别法。

举例核对： $3,4,5$ 有 $9+16 = 25$，直角；$4,5,6$ 有 $16+25 = 41 > 36$，锐角 （最大角的余弦为 $\frac{41-36}{2 \times 4 \times 5} = \frac{5}{40} = 0.125 > 0$）； $2,3,4$ 有 $4+9 = 13 < 16$，钝角（最大角的余弦为 $\frac{13-16}{2\times 2\times 3} = -\frac{3}{12} = -0.25 < 0$）。 三例都与结论相符。

（本题也可以不用余弦定理：以 $a$、$b$ 为两条直角边另作一个直角三角形，斜边为 $c' = \sqrt{a^2+b^2}$，两个三角形有两边分别相等，第三边与夹角的大小方向一致， 于是 $c < c' \iff C < 90^\circ$，两边平方即得同一结论。用余弦定理只是把这一串比较写成了一个等式。）