浙江 2009 · 数学 q02

冷启动：这道题问的是「箭头哪一头通」

题面把两句话摆在一起：

$$p:\ a>0\ \text{且}\ b>0 , \qquad q:\ a+b>0\ \text{且}\ ab>0 .$$

问的是「$p$ 是 $q$ 的什么条件」。这句中文对应的是两个方向、各一支箭头：

• $p\Rightarrow q$ 成立，就说 $p$ 是 $q$ 的充分条件（有了 $p$ 就足够得到 $q$）；
• $q\Rightarrow p$ 成立，就说 $p$ 是 $q$ 的必要条件（想要 $q$ 成立，$p$ 是必须的）。

两支箭头各通或不通，正好四种组合，就是四个选项。所以这类题只有一件事要做：两个方向各走一次，谁通谁不通如实记下来。

这里有一个几乎每届都要崴一下的地方：别把两个方向认反。判「$p$ 是不是 $q$ 的充分条件」时，箭头是从 $p$ 出发指向 $q$，写的是「由 $a>0$ 且 $b>0$，推出 $a+b>0$ 且 $ab>0$」；反过来那一趟是在判必要。把这两句说反，四个选项里 (A) 与 (B) 就会互换，而它们恰好都印在卷子上等着。

解法一：按定义两头各推一次

怎么想到的。 定义怎么写，就怎么验——这是唯一不需要任何技巧的路，也是考场上最稳的路。两个方向各走一趟，一趟顺、一趟需要一点点讨论。

① 正推 $p\Rightarrow q$（判充分）。 设 $a>0$ 且 $b>0$。

• $a+b>0$：两个同向不等式可以相加（不等式的基本性质），由 $a>0$、$b>0$ 得 $a+b>0+0=0$。
• $ab>0$：两个正数相乘仍为正。

两条结论合起来正是 $q$。所以 $p\Rightarrow q$，充分性成立。

② 逆推 $q\Rightarrow p$（判必要）。 设 $a+b>0$ 且 $ab>0$。

先看 $ab>0$ 这一条能读出什么：乘积为正，说明 $a$、$b$ 都不为零且同号（只要有一个是 $0$，乘积就是 $0$；一正一负，乘积为负）。于是余下的可能只剩两种，把它们切开逐个看：

两种情形互不重叠、且已穷尽（$ab>0$ 已经把「有一个为 $0$」和「一正一负」挡在门外），所以只剩下 $a>0$ 且 $b>0$，正是 $p$。故 $q\Rightarrow p$，必要性成立。

两支箭头都通，$p$ 与 $q$ 互相推得出，即 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件——答案 C。

提醒一句： ② 里那句「乘积为正 $\Rightarrow$ 同号」是整条路的转轴，它把一个连着两个未知数的条件，变成了「只有两种情形」的枚举。这类「积的符号透露出因子的符号」的读法，在解不等式、判根的分布里还会反复出现。

解法二：画到 $aOb$ 平面上——两个条件圈出的是同一块

怎么想到的。 解法一要分两趟走，是因为「$\Rightarrow$」本身是单向的。但如果把两个条件各自画成平面上的一块区域，两块是不是同一块一眼就能看完——「互相推得出」在图上就是「两块重合」，一次比较代替两趟推理。

① 每个条件是平面上的哪一块。 把一对实数 $(a,b)$ 看成 $aOb$ 平面上的一个点，于是每个条件都对应一个点集：

$$A=\{(a,b)\mid a>0\ \text{且}\ b>0\}, \qquad B=\{(a,b)\mid a+b>0\ \text{且}\ ab>0\} .$$

$A$ 是第一象限的内部（两个坐标都为正，两条坐标轴都不算在内）。

$B$ 要分两步画。$ab>0$ 说的是两个坐标同号，画出来是第一象限与第三象限这两块（坐标轴同样不算）。再叠上 $a+b>0$ 这一条：

• 第三象限里，任一点都有 $a<0$、$b<0$，于是 $a+b<0$——整块都在直线 $a+b=0$ 的左下侧，一个点都留不下；
• 第一象限里，任一点都有 $a>0$、$b>0$，于是 $a+b>0$ 自动成立——整块原样保留。

所以 $B$ 也是第一象限的内部，即 $A=B$。

② 从包含关系读出结论。 把解集的关系对号入座：$A\subsetneq B$ 是充分不必要、$B\subsetneq A$ 是必要不充分、$A=B$ 就是充要、互不包含就是既不充分也不必要。这里两块完全重合，故 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，答案 C。

这条路真正省下的是什么。 它把「$ab>0$ 却 $a+b<0$」这种反例是否存在，变成一句看图的话：那样的点只会在第三象限，而第三象限整块被 $a+b>0$ 挡在外面，所以一个反例都没有。要是把题面的 $ab>0$ 换成 $ab\neq 0$，图上第二、第四象限就会露出一大片只满足右边、不满足左边的点，必要性当场垮掉——同一张图能直接回答「改一个字会怎样」。

解法三：把 $a$、$b$ 当成一元二次方程的两根，一次写出等价

怎么想到的。 注意 $q$ 里出现的两个量 $a+b$ 与 $ab$，恰好就是「和」与「积」——而以 $a$、$b$ 为两根的一元二次方程，系数正是由和与积写出来的。这一眼把题目翻译成一句更熟的话：和与积都为正，是不是等价于两根都为正？

① 换成两根的语言。 记

$$s=a+b,\qquad t=ab .$$

则 $a$、$b$ 是方程 $x^{2}-sx+t=0$ 的两个根（把 $(x-a)(x-b)$ 展开即得）。因为 $a$、$b$ 本来就是实数，这个方程的判别式自动非负——它根本不用另证，直接算出来就是一个平方：

$$\Delta=s^{2}-4t=(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}\geqslant 0 .$$

由和与差反解两根：两根之和是 $s$、两根之差的绝对值是 $\sqrt{\Delta}$，于是

$$\{a,b\}=\left\{\frac{s-\sqrt{s^{2}-4t}}{2},\ \frac{s+\sqrt{s^{2}-4t}}{2}\right\} ,$$

其中前一个是较小的那个根。

② 「两个都正」只需看小的那个。 两根都为正，等价于较小的那个为正：

$$\frac{s-\sqrt{s^{2}-4t}}{2}>0 \iff s>\sqrt{s^{2}-4t} .$$

右边是算术平方根、非负，所以这个不等式要成立，首先必须 $s>0$；在 $s>0$ 的前提下两边平方（两边都非负，平方保序），得

$$s^{2}>s^{2}-4t\iff 4t>0\iff t>0 .$$

反过来也通：若 $s>0$ 且 $t>0$，则 $s^{2}-4t<s^{2}$，开方得 $\sqrt{s^{2}-4t}<s$，小根为正。

③ 合起来。 于是

$$\underbrace{a>0\ \text{且}\ b>0}_{p} \iff \underbrace{s>0\ \text{且}\ t>0}_{a+b>0\ \text{且}\ ab>0\ \text{，即}\ q} ,$$

一行写完两个方向，$p$ 是 $q$ 的充分必要条件，答案 C。

这条路的价值与它的边界。 它给出的不是「这道题碰巧两头都通」，而是一条可以复用的判据：两个实数都为正 $\iff$ 和为正且积为正。同样的翻译还能回答「两个都为负」（$s<0$ 且 $t>0$）、「一正一负」（$t<0$，此时 $s$ 的正负只决定谁的绝对值大）。

但要看清它用掉了什么：全程依赖「$a$、$b$ 是实数」这一前提——正是它保证了 $\Delta\geqslant0$、$\sqrt{s^{2}-4t}$ 有意义。题面里那句「已知 $a$，$b$ 是实数」不是装饰。换成三个数就不成立了：$a+b+c>0$ 且 $abc>0$ 推不出三个数全正（取 $-1$、$-1$、$3$：和为 $1>0$、积为 $3>0$，却有两个负数）。