不等式的基本性质

教材原文

性质1 如果 $a > b$ ，那么 $b < a$ ；如果 $b < a$ ，那么 $a > b$ .即

性质 2 如果 a > b, b > c，那么 a > c。即

性质3如果 $a > b$ ，那么 $a + c > b + c$

这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

性质 4 如果 a > b, c > 0，那么 ac > bc；如果 a > b, c < 0，那么 ac < bc.

这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.

性质 5 如果 a > b, c > d，那么 $a + c > b + d$ .

性质 6 如果 a > b > 0, c > d > 0, 那么 ac > bd.

性质 7 如果 a > b > 0，那么 $a^{n} > b^{n}$ ( $n \in N, n \geqslant 2$ ).

七条一览

后三条（5、6、7）不必死记——教材就是用性质 2、3、4 现场推出来的。

性质 4 是全章的方向标

不等式与等式最本质的差别就在这一条：等号没有方向，不等号有。两边同乘一个数，先问「这个数是正是负」，再决定不等号翻不翻。

由此还派生出两条常用推论：

• 同乘正数不变向是「放缩」与「配系数」的唯一合法依据：要拿 $\lambda\cdot f$ 去参与相加，$\lambda$ 必须 $\ge 0$，否则 $f\ge 0$ 推不出 $\lambda f\ge 0$。
• 取倒数要看正负：$a>b>0 \Rightarrow \dfrac1a<\dfrac1b$（两边乘正数 $\dfrac1{ab}$）；但 $a<b<0$ 时 $\dfrac1a>\dfrac1b$。

性质 3 与性质 5：加法的两种用法

• 性质 3 是「同一个数加到两边」——它给出的是移项：$a+b>c \Rightarrow a>c-b$。
• 性质 5 是「两个同向不等式相加」——它给出的是合并：手上有 $f_1\ge 0$ 与 $f_2\ge 0$，就有 $f_1+f_2\ge 0$。

性质 4 与性质 5 合起来，正好是「若干个已知不等式各乘一个非负数再相加，方向不变」这一整套动作的全部依据。凡是把目标式凑成约束的非负线性组合来求最值的做法，用的就是这两条，此外什么也没用。

常见失手

• 同乘负数忘记反向（性质 4 的后半句）。这是本节最高频的失分点。
• 把同向相减当成合法：性质 5 只说同向可加。$a>b$、$c>d$ 推不出 $a-c>b-d$（取 $a=3,b=1,c=100,d=0$ 即反例）。
• 性质 6、7 漏掉正数前提：$a>b$ 但 $a^2>b^2$ 未必成立（$a=1,b=-2$）。