配成已知不等式的线性组合

解题套路

设已知 $f_1\le 0,\ f_2\le 0,\ \dots,\ f_n\le 0$，要给目标式 $g$ 找上界。

1. 设待定系数：找非负数 $\lambda_1,\dots,\lambda_n\ge 0$ 与常数 $c$，使

   $$g=\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2+\cdots+\lambda_n f_n+c$$

   成为恒等式（对所有 $x,y$ 都成立，不只是在某些点上）。

2. 比系数解 $\lambda$：两边同类项系数对应相等，得到关于 $\lambda_i$ 的线性方程组。未知量比方程多时，先把一部分 $\lambda$ 设为 $0$ 试。

3. 验非负：解出的每个 $\lambda_i$ 都要 $\ge 0$。有一个是负的，这组配法就作废——负系数会把不等号方向掰反。换一组（把别的 $\lambda$ 设为 $0$）重来。

4. 放缩：每个 $\lambda_i f_i\le 0$，故 $g\le c$。

5. 取等条件：等号成立当且仅当所有 $\lambda_i>0$ 的那几条 $f_i$ 同时取到 $0$。解出这几个方程，再验它确实满足其余约束——不验就可能报一个够不着的上界。

它比几何法多给了什么

• 不必画图，也不受维数限制：三个变量以上画不出来，这一套照样能跑。
• 结果是一个恒等式加一串放缩，每一步都可复核，等于给出了一份证明，而不只是一个答案。
• 上界与取等点是一起得到的：$c$ 从常数项读出，取等点从「哪几条约束卡死」读出。

常见失手

• 漏了验非负：$\lambda$ 取到负数还继续往下写，得到的「上界」可能比真值小，也可能根本不是界。
• 只配了系数没验取等：算出 $g\le c$ 却没找到能取到 $c$ 的点，那 $c$ 只是一个上界、未必是最大值。
• 把恒等式当成方程解：这一步要对所有 $x,y$ 成立，所以是比系数，不是代某个点。