浙江 2017 · 数学 q04

冷启动：先把区域摸清楚——它不收口，而且原点不在里面

约束与目标是

$$\begin{cases} x\geqslant 0,\\[2pt] x+y-3\geqslant 0,\\[2pt] x-2y\leqslant 0, \end{cases} \qquad z=x+2y .$$

三条边界线 $x=0$、$x+y=3$、$x=2y$ 两两求交，得三个候选点；交点未必可行，必须逐个回代：

第二行那个 ✗ 是这道题的全部麻烦所在：原点 $(0,0)$ 不是可行点。 代原点定半平面方向是习惯动作，但原点本身进不了这片区域， 所以「把原点代进 $z$ 得到最小值 $0$」这条路从第一步就是断的。

留下的两个可行交点是 $(0,3)$ 与 $(2,1)$，它们之间的那条线段躺在 $x+y=3$ 上。 区域的另外两条边从这两个点出发向上延伸：$(0,3)$ 沿 $x=0$ 往上，$(2,1)$ 沿 $x=2y$ 往右上。 两条射线越走越开，中间那一片就是可行域——一块由两个角点 $(0,3)$、$(2,1)$ 与三条边围成、朝上张开、永远不收口的区域（它不是一块有界的三角区域，也不含原点）。

不收口这件事可以一句话钉死：取 $(0,100)$，三条约束是 $0\geqslant 0$、$0+100-3\geqslant 0$、$0-200\leqslant 0$， 全都成立，而

$$z=0+2\times 100=200 .$$

$200$ 既不在 $[0,6]$ 里也不在 $[0,4]$ 里，所以 A、B 当场出局—— 剩下的只是问「下头卡在哪」。

下面三条路：一条老老实实画图推等值线，一条一张图都不画、直接把不等式配出来， 一条只管四个选项、代两个点了事。

解法一：画可行域，把 $z$ 的等值线推过去

第一步：三个半平面各定一侧

• $x\geqslant 0$：直线 $x=0$ 的右侧（含边界）。
• $x+y-3\geqslant 0$：代 $(0,0)$ 得 $-3<0$ 不合，所以取直线 $x+y=3$ 不含原点的那一侧，即右上侧。
• $x-2y\leqslant 0$，即 $y\geqslant\dfrac{x}{2}$：代 $(1,0)$ 得 $1>0$ 不合，所以取直线 $x=2y$ 不含 $(1,0)$ 的那一侧，即左上侧。

第二步：把三条边界两两求交，逐个回代，定出形状

• $x=0$ 与 $x+y=3$：得 $(0,3)$。回代第三条：$0-2\times3=-6\leqslant 0$ ✓，可行。
• $x=0$ 与 $x=2y$：得 $(0,0)$。回代第二条：$0+0-3=-3\geqslant 0$ ✗，不可行——原点被挡在外面。
• $x+y=3$ 与 $x=2y$：由 $x=2y$ 代入得 $3y=3$，$y=1$、$x=2$，即 $(2,1)$。回代第一条：$2\geqslant 0$ ✓，可行。

于是可行域有两个角点 $(0,3)$ 与 $(2,1)$，三条边：

• $(0,3)$ 与 $(2,1)$ 之间的线段，躺在 $x+y=3$ 上；
• 从 $(0,3)$ 沿 $x=0$ 向上的射线；
• 从 $(2,1)$ 沿 $x=2y$ 向右上的射线。

两条射线都跑到无穷远，所以这是一片无界的区域。它不是一块有界的三角区域，也不含原点。

第三步：把 $z$ 读成截距，定出「往哪推变大」

把 $z=x+2y$ 解成

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2},$$

这是一族斜率固定为 $-\dfrac12$ 的平行线，纵截距是 $\dfrac{z}{2}$。 $y$ 的系数 $2>0$，所以截距越大 $z$ 越大——直线往上（往右上）平移，$z$ 增大；往下平移，$z$ 减小。

这一步就是本题唯一容易把答案做反的地方：若把方向记反，推到底会报出一个「最大值 $4$」来。 判据只有一条——看 $y$ 的系数的正负，别看图上的感觉。

第四步：往上推——推不到头

区域朝上不收口：沿 $x=0$ 那条射线取 $(0,t)$，$t$ 要多大有多大，三条约束全成立， 而 $z=2t$ 跟着任意大。所以等值线一直往上推都还碰得到区域，$z$ 没有最大值，也没有上界。

第五步：往下推——两个角点比一比

往下推，等值线最后离开区域的地方只可能是角点。两个角点各代一次：

$$z(0,3)=0+2\times 3=6,\qquad z(2,1)=2+2\times 1=4 .$$

$4<6$，所以候选的最小值是 $(2,1)$ 处的 $4$。（图上 $z=6$ 那条等值线确实比 $z=4$ 那条靠上。）

第六步：无界的那一头必须验——从角点沿两条边各走一步

「最后离开的角点给出最值」这句话是对有界区域说的。区域无界时得补一句： 从角点往区域里走，$z$ 会不会反而掉下去？

角点 $(2,1)$ 处夹出区域的两条边，方向向量（都指向区域内部）是

$$\vec{d_1}=(-1,1)\ (\text{沿 } x+y=3 \text{ 指向 } (0,3)),\qquad \vec{d_2}=(2,1)\ (\text{沿 } x=2y \text{ 往右上}).$$

先确认整片区域都被这个角罩住。设 $(x,y)$ 可行，把它写成

$$(x,y)=(2,1)+s\,\vec{d_1}+t\,\vec{d_2},$$

即 $x=2-s+2t$、$y=1+s+t$。两式相加得 $x+y=3+3t$，两倍第二式减第一式得 $2y-x=3s$，于是

$$t=\frac{x+y-3}{3}\geqslant 0,\qquad s=\frac{2y-x}{3}\geqslant 0,$$

——两个系数非负，正是第二、第三条约束本身。所以每个可行点都在这个角里。

$z=x+2y$ 沿方向 $(d_x,d_y)$ 每走单位参数的变化量是 $d_x+2d_y$：

$$\vec{d_1}:\ -1+2\times 1=1>0,\qquad \vec{d_2}:\ 2+2\times 1=4>0 .$$

两条边上 $z$ 都在涨，而整片区域就装在这个角里，所以从角点往区域里走，$z$ 只会变大—— $(2,1)$ 处的 $4$ 是真正的最小值，而且它自己就是可行点，取得到。

（顺带看另一个角点 $(0,3)$：它的两条边方向是 $(1,-1)$（回到 $(2,1)$）与 $(0,1)$（沿 $x=0$ 往上）， $z$ 的变化率是 $1-2=-1<0$ 与 $0+2=2>0$，一正一负——所以 $(0,3)$ 既不给最大也不给最小， 只是折线上的一个拐点。这也说明「角点」本身不等于「最值点」，得看方向。）

第七步：$[4,+\infty)$ 里的每个数都够得着

到这里只证到「$z\geqslant 4$、且 $4$ 取得到、上面没有界」。还差一句：中间的数会不会有漏？ 沿 $\vec{d_2}$ 从角点往外走，

$$(2,1)+t(2,1)=(2+2t,\ 1+t)\quad(t\geqslant 0)$$

全在区域里（$x=2+2t\geqslant 0$；$x+y-3=3t\geqslant 0$；$x-2y=(2+2t)-2(1+t)=0\leqslant 0$）， 而 $z=(2+2t)+2(1+t)=4+4t$ 随 $t$ 连续地从 $4$ 跑到 $+\infty$。单这一条射线就把 $[4,+\infty)$ 走遍了。

所以

$$z\in[4,+\infty),$$

选 D。

解法二：一张图都不画——把 $z-4$ 配成两条约束的非负组合

画图费时间，也容易把半平面的方向定反。这条路把三条约束当成三个非负的量直接凑。

第一步：把约束写成「某个式子 $\geqslant 0$」

$$u_1=x\geqslant 0,\qquad u_2=x+y-3\geqslant 0,\qquad u_3=2y-x\geqslant 0 .$$

（第三条就是 $x-2y\leqslant 0$ 两边乘 $-1$。）

第二步：待定系数，把 $z-m$ 凑成它们的非负系数组合

设

$$x+2y-m=\lambda_1 u_2+\lambda_2 u_3=\lambda_1(x+y-3)+\lambda_2(2y-x),$$

两边比系数：

$$x:\ \lambda_1-\lambda_2=1,\qquad y:\ \lambda_1+2\lambda_2=2,\qquad \text{常数}:\ -3\lambda_1=-m .$$

前两式相减得 $3\lambda_2=1$，于是

$$\lambda_2=\frac{1}{3},\qquad \lambda_1=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3},\qquad m=3\lambda_1=4 .$$

两个系数都是正的——这正是这套凑法能用的前提：非负系数乘非负量再相加，结果还是非负。 于是得到一个在可行域上处处成立的恒等式

$$x+2y-4=\frac{4}{3}(x+y-3)+\frac{1}{3}(2y-x)\geqslant 0 .$$

（这条恒等式对平面上任何一点都成立，展开两边核一下即可： 右边 $=\frac43 x+\frac43 y-4-\frac13 x+\frac23 y=x+2y-4$。不等号那一步才用到可行域。）

第三步：等号什么时候成立

右边两项都非负，和为零当且仅当两项都为零：

$$x+y-3=0\ \text{且}\ 2y-x=0 \iff x=2y\ \text{且}\ 3y=3 \iff (x,y)=(2,1).$$

$(2,1)$ 还满足第一条约束 $x=2\geqslant 0$，是真可行点，所以下界 $4$ 不只是界，是取得到的最小值。

（注意第一条约束 $x\geqslant 0$ 在这条恒等式里没用上——这不是漏了， 而是说明在 $u_2\geqslant 0$、$u_3\geqslant 0$ 这两条之下 $z\geqslant 4$ 已经成立； $x\geqslant 0$ 只影响区域长什么样，不影响这个下界。而等号点 $(2,1)$ 恰好也满足它，所以下界确实够得着。）

第四步：上头没有界

沿 $x=0$ 这条边取点 $(0,t)$，$t\geqslant 3$ 时三条约束全成立，而 $z=2t$ 可以任意大。 再加上 $z$ 在连通的可行域上连续、下端 $4$ 取到，取值范围就是

$$z\in[4,+\infty),$$

选 D。

解法三：选择题的最短路——代两个点，三个选项当场出局

四个选项摆在那儿：$[0,6]$、$[0,4]$、$[6,+\infty)$、$[4,+\infty)$。 正确的那个必须装得下每一个可行点算出的 $z$。找两个好算的可行点就够了。

第一步：找一个让 $z$ 很大的可行点，砍掉两个有界选项

取 $(0,100)$：

$$x=0\geqslant 0\ \checkmark,\qquad 0+100-3=97\geqslant 0\ \checkmark,\qquad 0-200=-200\leqslant 0\ \checkmark .$$

真可行，且 $z=0+200=200$。$200\notin[0,6]$、$200\notin[0,4]$，A、B 出局。

（这个点是这么挑的：让 $x=0$ 省掉一条约束，$y$ 取得足够大，另外两条就自动成立。 用特殊值排选项之前一定先验它真的满足全部条件——不可行的点算出来的 $z$ 说明不了任何事。）

第二步：找一个让 $z$ 很小的可行点，砍掉剩下那个

取角点 $(2,1)$：三条约束是 $2\geqslant 0$、$2+1-3=0\geqslant 0$、$2-2=0\leqslant 0$，全成立，而

$$z=2+2=4 .$$

$4\notin[6,+\infty)$，C 出局。四个选项只剩 D。

第三步：这条路的边界在哪儿

排除法只在「四个选项恰有一个对」这个前提下才闭合：它证明了 A、B、C 都不对， 没有独立地证明 $z\geqslant 4$。真要放心，把解法二第二步那一行恒等式补上即可—— 一行字就把下界证死了，两条路合起来才是完整的解答。

顺带一提：很多人第一反应是代原点 $(0,0)$ 得 $z=0$，于是在 A、B 之间挑。 但原点 $0+0-3=-3<0$，根本不在可行域里，这个 $0$ 是凭空来的。 排除法的第一道工序是验可行，不是算值。

回头看：这道题真正在考什么

三条路殊途同归，考的都是同一件事：「区域无界」和「$z$ 没有最值」不是一回事。

• 区域往哪儿伸得没有尽头，是几何；
• $z$ 沿那个方向是涨是跌，由目标式的系数说了算。

本题在角点 $(2,1)$ 处，两条边上 $z$ 都在涨（解法一第六步算的那两个 $1$ 和 $4$）， 所以上头确实没有拦住、下头却被角点牢牢卡死。 把「无界」直接读成「取值范围是 $(-\infty,+\infty)$」或「无最值」，就会连 D 也选不出来。

一句话记住这道题：先验原点在不在区域里，再看两条边上 $z$ 往哪边走； 角点给下界、张开的方向给无穷，答案就是 $[4,+\infty)$。

原卷错在哪

这道题的原卷【答案】栏印的是 A，本站校订层（q04-fix.md）把它改成了 D。 改结论是很重的动作，所以把原卷的每一步错在哪儿摊开来说：

1. 原卷解答的第一句就用了一个不可行的点。 它写「目标函数 $z=x+2y$ 经过坐标原点时，函数取得最小值」， 可原点代进第二条约束是 $0+0-3=-3<0$——原点不在可行域里，谈不上在它那里取最小值。
2. 原卷配的那张图画的是另一个区域。 图上是一片含原点的有界区域，角在 $(0,0)$、$(0,3)$、$(2,1)$ 附近， 那是把 $x+y-3\geqslant 0$ 当成 $x+y-3\leqslant 0$ 画出来的。题面两处印的都是 $\geqslant$。
3. 顺着那张错图，$z$ 的范围自然成了 $[0,6]$（在 $(0,0)$ 取 $0$、在 $(0,3)$ 取 $6$）， 于是选了 A。四个选项里恰好备着 $[0,6]$，错得很顺手。
4. 按题面印的 $\geqslant$ 算，答案只能是 D：$(0,100)$ 可行而 $z=200$，$[0,6]$ 与 $[0,4]$ 都装不下（上面解法三第一步）； $(2,1)$ 可行而 $z=4$，$[6,+\infty)$ 也装不下（第二步）；而 $z\geqslant 4$ 有解法二那一行恒等式撑着。

换句话说，原卷是题面按 $\geqslant$ 印、图与解答按 $\leqslant$ 做，两边自相矛盾。 题面是第一手的，所以以题面为准。原卷解答里「目标函数的直线为：$0$，最大值为：$36$」那句残句， 以及整段按 $\leqslant$ 展开的推导，都照原样留在校订层的【解析】段里，只作证据，不作依据。