浙江 2020 · 数学 q03

冷启动：这道题和「求最大值」的线性规划不一样

题面给的是

$$\begin{cases} x-3y+1\le 0\\ x+y-3\ge 0 \end{cases} \qquad z=x+2y$$

问的不是「$z$ 的最大值是多少」，而是「$z$ 的取值范围是什么」，选项也全是区间。这一字之差把题目变成了两问：

1. $z$ 能小到多少？（有没有一个够得着的下端）
2. $z$ 能大到多少？（上面有没有拦住）

而且只有两条约束。两条直线在平面上最多围出一个角，围不出封闭的多边形——所以这块可行域几乎注定是无界的。这正是本题与常见「三条约束围出一块封闭区域、求最大值」那类题的分水岭。

⚠️ 这一节不在现行教材里。 承载它的「二元一次不等式（组）与平面区域」不在现行人教A版 5 册内。浙江 2008–2013 自主命题理科卷时代它是固定考点，按现行教材备考的读者要先知道这一点（真题页顶部挂着同样的提示）。

解法一：画可行域，把目标直线往上推

怎么想到的。 $z$ 每取一个值，$x+2y=z$ 就是一条直线；$z$ 变，直线平移但斜率不变（恒为 $-\dfrac12$）。于是「$z$ 的取值范围」= 「这族平行线里，哪些还碰得到可行域」。碰得到的那些 $z$ 组成答案，碰不到的排除。

① 画可行域，逐条定侧。 拿原点 $(0,0)$ 代进去试（它不在任何一条边界上，最省事）：

两条都把原点排除在外，公共部分是一块从两线交点向上张开的角形区域。它没有第三条边把口封住，所以向上没有尽头。

② 角点由两条边界联立解出（不许目测）。

$$\begin{cases}x-3y+1=0\\ x+y-3=0\end{cases} \;\Longrightarrow\; x=3y-1,\quad (3y-1)+y=3 \;\Longrightarrow\; 4y=4,\ y=1,\ x=2$$

角点 $A(2,1)$。代进目标函数：

$$z_A=2+2\times 1=4$$

③ 定平移方向。 把 $z=x+2y$ 解出 $y$：

$$y=-\frac12x+\frac{z}{2}$$

纵截距是 $\dfrac z2$，而 $2>0$，所以截距越大 $z$ 越大，往上推是 $z$ 变大的方向。（官方解析写的是 $-\frac12x+\frac z2=y$，同一条式子。）

④ 往下推，最低停在哪？——比斜率。 目标直线的斜率是 $-\dfrac12$；两条边界的斜率分别是 $\dfrac13$（$y=\frac{x+1}{3}$）与 $-1$（$y=3-x$）。$-\dfrac12$ 恰好夹在这两个数中间：

$$-1\;<\;-\frac12\;<\;\frac13$$

「夹在中间」在图上就是：从 $A$ 出发沿两条边各走一步，都爬到了目标直线的上方。

• 往右（沿 $x-3y+1=0$）：边界以 $\dfrac13$ 的斜率上爬，而目标直线以 $-\dfrac12$ 的斜率下降，一升一降，边界立刻跑到目标直线上方。
• 往左（沿 $x+y-3=0$）：$x$ 减小时，边界每退一格升 $1$（斜率 $-1$），目标直线每退一格只升 $\dfrac12$（斜率 $-\dfrac12$），边界升得更快，同样跑到上方。

于是整块可行域都在这条线的上方，只有 $A$ 这一个点落在线上。再往下推一点点，这条线就整条脱离了可行域。

所以 $z$ 的最小值是 $z_A=4$，而且取得到（$A$ 本身就在可行域里，两条约束都取等号）。

为什么不直接引「最优解在顶点」。 定理最优解在可行域顶点的前提是可行域有界闭，本题的可行域无界，前提不成立，不能照搬。能救回来的是它证明里的那一半：线性函数沿一条射线是均匀变化的，所以只要从角点沿两条边各走一步看 $z$ 是涨是跌就够了。

两条边的方向向量分别是 $\vec{d_1}=(3,1)$（沿 $x-3y+1=0$）与 $\vec{d_2}=(-1,1)$（沿 $x+y-3=0$）。方向朝哪一头要验，不能看图定：$A+a\vec{d_1}=(2+3a,\,1+a)$ 代进另一条约束得 $x+y-3=4a\ge 0$ ✓，所以 $a\ge 0$ 那一头才是区域内部（反向就出界了）；同理 $A+b\vec{d_2}=(2-b,\,1+b)$ 代进第一条得 $x-3y+1=-4b\le 0$ ✓。

再看这两条射线把整块区域张满了没有：可行域是两个半平面的交，是一个以 $A$ 为顶点的凸角，而 $\vec{d_1},\vec{d_2}$ 正是它的两条边，所以区域恰好是 $\{A+a\vec{d_1}+b\vec{d_2}:a,b\ge 0\}$。于是对区域里的任何点，

$$z=4+a(3+2\cdot 1)+b(-1+2\cdot 1)=4+5a+b\ \ge\ 4$$

两个系数 $5$、$1$ 都是正的（这就是「沿两条边走 $z$ 都涨」），故 $A$ 给最小值，且只有 $a=b=0$ 时取到。

⑤ 往上推有没有拦住？——没有，而且中间不跳值。 沿左边那条边界 $x+y=3$ 从 $A$ 往左上走：

$$(x,y)=(2-t,\;1+t),\qquad t\ge 0$$

先验它确实在可行域里：$x-3y+1=(2-t)-3(1+t)+1=-4t\le 0$ ✓（另一条本来就取等号）。再算 $z$：

$$z=(2-t)+2(1+t)=4+t$$

$t$ 取遍 $[0,+\infty)$，$z$ 就取遍 $[4,+\infty)$——不只是「上面没拦住」，而是这个区间里每一个值都够得着。

⑥ 合起来。 下端封在 $4$ 且取得到，上面没有拦住且每个值都取得到：

$$z\in[4,+\infty)$$

对照选项，故选 B。

解法二：把 z 配成两条约束的非负组合

怎么想到的。 上一条路要动笔画图、还要比三个斜率的大小。但「$z\ge 4$」这句话本身就是一个不等式，而手上正好有两条现成的不等式。能不能把它们直接加起来，凑出 $x+2y\ge 4$？ 能的话，一根线都不用画。

先把两条约束统一写成「$\ge 0$」的模样（第一条两边乘 $-1$，不等号跟着翻）：

$$\underbrace{-x+3y-1}_{f_1}\ \ge 0,\qquad \underbrace{x+y-3}_{f_2}\ \ge 0$$

要用的性质只有两条：非负数乘一个 $\ge 0$ 的量仍 $\ge 0$；若干个 $\ge 0$ 的量相加仍 $\ge 0$。这两条不是临时约定，就是必修第一册 §2.1 不等式的基本性质里的性质 4（两边同乘正数不变向）与性质 5（同向不等式可以相加）——整条路用到的课本知识，到此为止。

① 设待定系数，写成恒等式。 找 $\lambda_1,\lambda_2\ge 0$ 与常数 $c$，使

$$x+2y=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+c$$

对所有 $x,y$ 成立（是恒等式，不是在某个点上凑巧相等）。一旦配成，右边前两项各自 $\ge 0$，立刻得 $x+2y\ge c$。

② 比系数。 右边展开：

$$\lambda_1(-x+3y-1)+\lambda_2(x+y-3)+c =(-\lambda_1+\lambda_2)x+(3\lambda_1+\lambda_2)y+(-\lambda_1-3\lambda_2+c)$$

与左边 $x+2y+0$ 逐项相等：

$$\begin{cases} -\lambda_1+\lambda_2=1 &\text{（$x$ 的系数）}\\ 3\lambda_1+\lambda_2=2 &\text{（$y$ 的系数）}\\ -\lambda_1-3\lambda_2+c=0 &\text{（常数项）} \end{cases}$$

前两式相减得 $4\lambda_1=1$，即 $\lambda_1=\dfrac14$，回代 $\lambda_2=1+\dfrac14=\dfrac54$；第三式给

$$c=\lambda_1+3\lambda_2=\frac14+\frac{15}{4}=4$$

③ 验非负——这一步不能省。 $\lambda_1=\dfrac14\ge 0$、$\lambda_2=\dfrac54\ge 0$，两个都合格。（解出负数就作废：负系数会把不等号方向掰反。）

④ 代回验恒等式，再放缩。

$$\frac14(-x+3y-1)+\frac54(x+y-3)+4 =\left(-\frac x4+\frac{3y}{4}-\frac14\right)+\left(\frac{5x}{4}+\frac{5y}{4}-\frac{15}{4}\right)+4 =x+2y$$

（常数项：$-\frac14-\frac{15}{4}+4=-4+4=0$ ✓。）于是对可行域里的任何点，

$$x+2y=\underbrace{\frac14(-x+3y-1)}_{\ge 0}+\underbrace{\frac54(x+y-3)}_{\ge 0}+4\ \ge\ 4$$

⑤ 找取等点。 两个系数都是正的，所以等号要求两项同时为 $0$：

$$\begin{cases}-x+3y-1=0\\ x+y-3=0\end{cases}\;\Longrightarrow\;(x,y)=(2,1)$$

正是 $A$，它两条约束都取等号，当然在可行域里 ✓。所以 $4$ 是能取到的下界，即最小值。

⑥ 上界不存在，且区间连成一片。 这一步代数解法也要补：只证到 $z\ge 4$ 还不够，选项 C 的 $[5,+\infty)$ 同样满足「$z\ge 4$」这句话的字面意思（它是更强的断言，但只凭下界排不掉，要靠 $z=4$ 取得到才排掉），选项 A、D 则要靠上界那一头。仍取 $f_2=0$ 上那条射线

$$(x,y)=(2-t,\;1+t),\qquad t\ge 0$$

代进 $f_1$ 得 $f_1=-(2-t)+3(1+t)-1=4t\ge 0$，说明这条射线整条都在可行域里；再把它代进上面那个恒等式：

$$z=\frac14\cdot 4t+\frac54\cdot 0+4=t+4$$

$t$ 跑遍 $[0,+\infty)$，$z$ 就跑遍 $[4,+\infty)$。下界取得到、上面无拦、中间不漏——三件事齐了，取值范围就是 $[4,+\infty)$，选 B。

这两条路差在哪

• 解法一是几何的：第一个动作是画坐标系、定半平面。它的长处是「无界」这件事一眼就看见——区域上面没有边，目标直线往上推永远推不出去；短处是要比斜率（$-\frac12$ 与 $\frac13$、$-1$ 的大小关系），画得不准就可能停错位置。
• 解法二是代数的：第一个动作是设 $\lambda_1,\lambda_2$ 比系数，一根线都不画。它的长处是给出一份可逐字复核的证明（恒等式 + 两次放缩），且变量多到画不出图时照样能跑；短处是「上面有没有拦住」它不会自动告诉你——那一头得另外找一条射线走一遍。

两条路在拿到题面后的第一个实质动作上就分岔了（画区域 vs 凑系数），依赖的知识也不同（半平面与斜率比较 vs 不等式的两条基本性质），所以是两条路，不是同一条路的两种写法。

有意思的是它们其实互为表里：解法一里「从 $A$ 沿两条边走，变化率是 $5$ 和 $1$」这两个正数，和解法二里配出来的 $\lambda_1=\frac14,\lambda_2=\frac54$ 是同一件事的两副面孔——都在说「$z$ 从 $A$ 出发，往区域内部的任何方向都只增不减」。图上看出哪几条约束卡住了最优点，就先配那几条，这也是解法一能给解法二的提示。

🕳️ 避坑

• 平移方向别弄反。 $z=x+2y$ 里 $y$ 的系数 $2>0$，往上推 $z$ 才变大。反过来以为「往下推 $z$ 变大」，就会把 $A$ 读成最大值处，答成 $(-\infty,4]$——正是选项 A。动笔之前先把「$b=2>0$ ⇒ 向上」写在草稿上。
• 区域无界 ≠ $z$ 两头都没拦住。 这是选项 D 的来路。可行域确实向上没有尽头，但 $z$ 沿两条边的变化率都是正的（$5$ 与 $1$），下面被角点 $A$ 死死卡住。判法是算这两个数，不是看区域的形状。
• 别把目标函数的系数记反。 把 $x+2y$ 记成 $2x+y$，代进 $A(2,1)$ 得 $2\times 2+1=5$，正好是选项 C 的左端点。（顺带一提：原卷解析的最后一行也把它写成了 $z=2x+y$，前文与题面写的都是 $x+2y$，那是原卷的笔误；本站的转写照原样保留，只在逐题校订里记了一笔。）
• 端点的开闭要交代。 $z=4$ 在 $A$ 处取得到，所以左端是闭的：$[4,+\infty)$，不是 $(4,+\infty)$。选择题里这两个常常一起出现。