平移目标直线

解题套路

1. 画可行域：逐条把 $ax+by+c\ge 0$ 画成直线的一侧（代一个不在直线上的点，如原点，定哪一侧），取公共部分。

2. 把 $z$ 读成截距：$z=ax+by$ 改写成

   $$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}\qquad(b\neq 0)$$

   这是一族斜率恒为 $-\dfrac{a}{b}$ 的平行线，$z$ 只影响它的纵截距 $\dfrac{z}{b}$。于是「求 $z$ 的最值」变成「把这族线平移，看它最高／最低能停在哪」。

3. 定方向：$b>0$ 时截距越大 $z$ 越大，向上移是增大 $z$；$b<0$ 时反过来，向下移才是增大 $z$。这一步最容易做反，先把符号写出来再动手。

4. 平移到边界：让直线扫过可行域，最后还沾着可行域的那个位置就是最值处，通常是某个顶点。

5. 联立求点、代回算值：把那个顶点所在的两条边界直线联立解出坐标，代进 $z=ax+by$。

为什么要看斜率

平移能一眼定出是哪个顶点，靠的是目标直线的斜率与各条边界斜率的相对大小。斜率一比错，就会停在相邻的另一个顶点上——所以画图时斜率要画得像，别把 $-\dfrac{3}{4}$ 画成 $-1$。

与「顶点全算一遍」的关系

两者用的是同一块可行域、同一组顶点，区别只在最后一步：平移是看出来哪个顶点最优，全算是算出来再比大小。顶点不多时后者更稳（不必比斜率），顶点很多时前者更快。

常见失手

• 平移方向弄反，把最小值当成最大值报上去。
• 半平面取错一侧，可行域整块画错。
• 只画了图没联立求点，顶点坐标靠目测读出来。