浙江 2017 · 数学 q15

题面

15．（6分）已知向量$\vec{a} ,$、满足$| \vec{a} | = 1 , | \vec{b} | = 2$，则$| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$的最小值是最大值是

答案

4、$2 {\sqrt{5}} .$

解析

分析

通过记$\angle A O B = \alpha \ ( 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi )$），利用余弦定理可可知| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{5 - 4 c o s a} .$$| \vec{\mathrm{{a}}} - \vec{\mathrm{b}} | = \sqrt{5 + 4 \cos \mathrm{{G}}}，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论

解答

解：记$\angle A O B = a$，则$0 {\leqslant} \mathfrak{a}{\leqslant} \pi$，如图，

由余弦定理可得：

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{5 - 4 \cos \alpha},$

$\left| \vec{a} - \vec{b} \right| = \sqrt{5 + 4 \cos \alpha},$

令$x = \sqrt{5 - 4 \cos \alpha} , \forall = \sqrt{5 + 4 \cos \alpha}$

则$x^{2} + y^{2}{=} 1 0 \left( x , y {\geq} 1 \right)$，其图象为一段圆弧 MN，如图，

令${z}{=} x^{+} y$，则$y = - x + z$

则直线$y = - x + 2$过M、N时z 最小为$z_{\mathrm{m i n}} = 1 + 3 = 3 + 1 = 4$

当直线$y = - x + 2$与圆弧MN相切时 z 最大，

由平面几何知识易知$z_{m a x}$即为原点到切线的距离的$\sqrt{2}$倍，

也就是圆弧 MN所在圆的半径的$\sqrt{2}$倍，

所以$z_{\mathrm{m a x}} = \sqrt{2} \times \sqrt{1 0} = 2 \sqrt{5} .$

综上所述，$| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$的最小值是4，最大值是$2 {\sqrt{5}} .$

故答案为：4、$2 {\sqrt{5}} .$