浙江 2017 · 数学 q15

冷启动：题目只给了两个长度，却问两个空

题面短得不能再短：$|\vec a|=1$、$|\vec b|=2$，求

$$z=\left|\vec a+\vec b\right|+\left|\vec a-\vec b\right|$$

的最小值与最大值。

两个向量的长度定死了，唯一还能动的是它们之间的夹角。夹角一定，$\vec a+\vec b$ 与 $\vec a-\vec b$ 就都定了。所以尽管式子里出现两个模，整道题只有一个自由度。

这一句话就是全部机关。为了看清它，先给两个模各起个名字：

$$x=\left|\vec a+\vec b\right|,\qquad y=\left|\vec a-\vec b\right|,\qquad z=x+y$$

先看一个必错的走法

$\vec a+\vec b$ 的长度不会超过 $|\vec a|+|\vec b|=3$，也不会小于 $\bigl|\,|\vec b|-|\vec a|\,\bigr|=1$； $\vec a-\vec b$ 同理。于是

$$1\le x\le 3,\qquad 1\le y\le 3$$

到这里如果直接两头一凑——「$x$、$y$ 都取 $1$ 得最小 $2$，都取 $3$ 得最大 $6$」——答案就废了。 $x=1$ 与 $y=1$ 根本不可能同时发生：真到了 $x=1$，$\vec a$ 与 $\vec b$ 已经反向，$y$ 只能是 $3$。 两个量被同一个夹角牵着，不是各自随便走的。

下面两条路，就是把这条「牵着」的关系写出来的两种写法：一条写成等式（代数），一条画成图形（几何）。

解法一：平方和是定值，把两个模的乘积写成一个参数的函数

第一步：把「模」换成「模的平方」

模里带根号，不好算；模的平方是数量积，好算。展开：

$$x^{2}=\left|\vec a+\vec b\right|^{2}=\left|\vec a\right|^{2}+2\,\vec a\cdot\vec b+\left|\vec b\right|^{2}=5+2\,\vec a\cdot\vec b$$ $$y^{2}=\left|\vec a-\vec b\right|^{2}=\left|\vec a\right|^{2}-2\,\vec a\cdot\vec b+\left|\vec b\right|^{2}=5-2\,\vec a\cdot\vec b$$

（原卷用的是余弦定理：在以 $\vec a$、$\vec b$ 为邻边的平行四边形里，对角线是三角形的第三边， $x^2=1^2+2^2-2\times1\times2\times\cos\left(\pi-\alpha\right)$。展开数量积与用余弦定理算的是同一件事， 写法不同而已。）

整道题的那个唯一自由度，现在有了名字。 记

$$t=\vec a\cdot\vec b$$

它的范围是现成的：$\left|\vec a\cdot\vec b\right|=\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\left|\cos\alpha\right|\le 2$，即

$$-2\le t\le 2$$

而且两端都能取到——$\vec a$ 与 $\vec b$ 同向时 $t=2$，反向时 $t=-2$。

第二步：和是定值，这是本题最值钱的一句

两式相加，$t$ 直接消掉：

$$x^{2}+y^{2}=\left(5+2t\right)+\left(5-2t\right)=10$$

不管夹角怎么变，两个模的平方和永远是 $10$。 这就是平行四边形恒等式： 平行四边形两条对角线的平方和，等于四条边的平方和（$2\times1^{2}+2\times2^{2}=10$）。

一个变大，另一个必然变小——这正是刚才那个「必错走法」错在哪儿。

第三步：把 $z$ 也平方，剩下的只有乘积

要求的是 $z=x+y$，$x,y>0$ 所以 $z>0$，平方不丢信息：

$$z^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=10+2xy$$

$z$ 完全由乘积 $xy$ 决定。 而乘积也只依赖 $t$：

$$xy=\sqrt{x^{2}y^{2}}=\sqrt{\left(5+2t\right)\left(5-2t\right)}=\sqrt{25-4t^{2}}$$

于是

$$z^{2}=10+2\sqrt{25-4t^{2}},\qquad t\in\left[-2,\,2\right]$$

换元到这一步，一定要把新变量的范围一并搬过来。 少写那句 $t\in[-2,2]$， 下面的最值就无处可依——$25-4t^2$ 在实数上能一路跌到负数，根号都开不出来。

第四步：一个开口向下的二次式，最值在顶点与端点

$25-4t^{2}$ 是关于 $t$ 的二次式，开口向下，顶点在 $t=0$：

$t^{2}$ 在 $[-2,2]$ 上取遍 $[0,4]$，所以 $25-4t^{2}$ 取遍 $[9,25]$，$xy$ 取遍 $[3,5]$，

$$z^{2}\in\left[16,\,20\right]\ \Longrightarrow\ z\in\left[4,\,2\sqrt5\right]$$

端点回代验一遍

• $t=2$：$\vec a$ 与 $\vec b$ 同向，$x=\left|\vec a+\vec b\right|=1+2=3$，$y=\left|\vec a-\vec b\right|=2-1=1$， $z=4$。✔︎
• $t=0$：$\vec a\perp\vec b$，两条对角线一样长，$x=y=\sqrt5$，$z=2\sqrt5\approx4.47$。✔︎

最小值 $4$，最大值 $2\sqrt5$。

解法二：化到坐标平面上的一段圆弧，平移那族斜率负一的直线

第一步：给两个模各起个名字，把约束一条不落地写出来

记

$$x=\left|\vec a+\vec b\right|,\qquad y=\left|\vec a-\vec b\right|,\qquad z=x+y$$

所求就是 $z$ 的最小值与最大值。$x$、$y$ 都是模，故非负；又因为 $\left|\vec a\right|\neq\left|\vec b\right|$， $\vec a+\vec b$ 与 $\vec a-\vec b$ 都不可能是零向量，所以

$$x>0,\qquad y>0$$

这两个量不是各走各的，它们被两条约束绑着。

第一条是等式：平方和是定值。 把两个模平方（用数量积展开）：

$$x^{2}=\left|\vec a\right|^{2}+2\,\vec a\cdot\vec b+\left|\vec b\right|^{2},\qquad y^{2}=\left|\vec a\right|^{2}-2\,\vec a\cdot\vec b+\left|\vec b\right|^{2}$$

相加，$\vec a\cdot\vec b$ 消掉：

$$x^{2}+y^{2}=2\left(\left|\vec a\right|^{2}+\left|\vec b\right|^{2}\right)=2\times\left(1^{2}+2^{2}\right)=10$$

第二条是不等式：各自的范围。 $\left|\vec a+\vec b\right|$ 不会超过 $\left|\vec a\right|+\left|\vec b\right|=3$， 也不会小于 $\bigl|\,\left|\vec b\right|-\left|\vec a\right|\,\bigr|=1$；$\left|\vec a-\vec b\right|$ 同理。于是

$$1\le x\le 3$$

有了它，$y$ 的范围就不必另证：$y^{2}=10-x^{2}\in\left[1,9\right]$，再配上 $y>0$，即得 $1\le y\le 3$。

第二步：可行的点排成一段弧，不是一块面积

把上一步的两条约束摆到 $\left(x,y\right)$ 平面上。等式 $x^{2}+y^{2}=10$ 把点钉在圆上， 半径 $\sqrt{10}$，圆心在原点；不等式 $1\le x\le 3$ 把圆截成一段。于是可行的点恰是圆 $x^{2}+y^{2}=10$ 在第一象限里、从

$$M\left(1,3\right)\quad\text{到}\quad N\left(3,1\right)$$

的那一段弧——一条曲线，不是一块区域（对照图②）。这一条正是这道题与普通线性规划题的区别： 那里的可行域是有面积的多边形，这里被一条等式压成了一条曲线。

弧上每个点都真取得到。 设 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角为 $\alpha$，则 $\vec a\cdot\vec b=2\cos\alpha$， $x=\sqrt{5+4\cos\alpha}$。$\alpha$ 从 $0$ 连续变到 $\pi$ 时，$x$ 从 $3$ 连续减到 $1$， 弧上的点被扫了个遍。所以下面找到的最值都是取得到的值，不是够不着的边界。

第三步：目标是一族斜率为 $-1$ 的平行线

令 $z=x+y$，改写成

$$y=-x+z$$

$z$ 就是这条直线的纵截距。$z$ 变大，直线整体往右上平移；$z$ 变小，往左下平移。 所求的最值，就是「这族线里还与那段弧有公共点的，截距最大能到多少、最小能到多少」。

方向别推反：这里的 $z$ 是截距本身（系数是 $+1$），越往右上越大。 如果目标写成 $z=-x-y$，往右上推反而是变小的，那时候就要反着读。

第四步：最小值——推到擦不着为止，落在两个端点上

把这族线从左下往右上推。弧的两个端点 $M(1,3)$ 与 $N(3,1)$ 都满足

$$x+y=1+3=3+1=4$$

——这两个端点恰好在同一条目标直线上（它们关于 $y=x$ 对称，而目标线垂直于 $y=x$）。 再往左下推一点点，直线就从弧的两端滑出去了。而弧上其余的点呢？用参数写一下便知： $x=\sqrt{10}\cos\theta$、$y=\sqrt{10}\sin\theta$ 时

$$z=\sqrt{10}\left(\cos\theta+\sin\theta\right)=\sqrt{20}\,\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$$

在这段弧对应的 $\theta$ 区间上，$\theta+\dfrac{\pi}{4}$ 落在 $\dfrac{\pi}{2}$ 两侧对称的一段里， 故 $z$ 在两端最小、在中间最大。两端的值就是刚算的 $4$：

$$z_{\min}=4$$

第五步：最大值——推到相切为止

继续往右上推，直线与弧的两个交点越靠越近，直到只剩一个公共点——相切。 相切的判据是圆心到直线的距离等于半径。直线 $x+y-z=0$ 到原点的距离是 $\dfrac{z}{\sqrt2}$（$z>0$），令它等于半径：

$$\frac{z}{\sqrt2}=\sqrt{10}\ \Longrightarrow\ z=\sqrt2\times\sqrt{10}=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

切点在过原点且垂直于该直线的方向上，即 $x=y$ 处，代回 $x^{2}+y^{2}=10$ 得 $T\left(\sqrt5,\sqrt5\right)$。 它落在 $1\le x\le 3$ 里（$\sqrt5\approx2.24$），确实在弧上，不是在弧的延长部分上——这一步必须验， 否则切点可能压根不可行。

$$z_{\max}=2\sqrt5$$

最小值 $4$，最大值 $2\sqrt5$，与解法一一致。

回头看：两条路各自强在哪儿

两条路共用的地基只有一句：$x^{2}+y^{2}=10$。 先把这个「和是定值」找出来，剩下的无非是选个顺手的工具去啃它。

一处原卷笔误（不影响答案）

原解答记 $\angle AOB=\alpha$ 后写

$$\left|\vec a+\vec b\right|=\sqrt{5-4\cos\alpha},\qquad \left|\vec a-\vec b\right|=\sqrt{5+4\cos\alpha}$$

两式的符号写反了：$\alpha$ 是 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角时，应当是 $\left|\vec a+\vec b\right|=\sqrt{5+4\cos\alpha}$。

好在 $\alpha\mapsto\pi-\alpha$ 恰好把这两式互换，而本题问的是 $x+y$——一个对称的式子， $x^{2}+y^{2}=10$ 与两个最值都不受影响。照原样算也能得到 $4$ 与 $2\sqrt5$。