浙江 2009 · 数学 q13

冷启动：先把三条不等式围出的那块地钉死，尤其是「它有没有边」

三条约束

$$x+y\geqslant 2,\qquad 2x-y\leqslant 4,\qquad x-y\geqslant 0$$

各自是一条直线的一侧。它们的公共部分长什么样，先算清楚再说。

一、它是有界的。 这一步最容易跳过，但它是后面两条路的地基：

• 由 $x-y\geqslant 0$ 得 $y\leqslant x$；由 $2x-y\leqslant 4$ 得 $y\geqslant 2x-4$。两句合起来 $2x-4\leqslant x$，即

$$x\leqslant 4 .$$

• 由 $x+y\geqslant 2$ 与 $y\leqslant x$ 得 $2x\geqslant x+y\geqslant 2$，即

$$x\geqslant 1 .$$

• $x$ 被夹在 $[1,4]$ 里之后，$y$ 也被夹住了：$2-x\leqslant y\leqslant x$。

所以这块地是有界的闭区域。为什么非验不可：「最值一定在顶点取到」这句话的前提正是有界；区域一旦有一头没拦住，目标函数可能往那头一路跑到 $\pm\infty$。（反过来也别过度解读——无界不等于没有最值，另一头照样可能被某个顶点卡死，那时最大值没有、最小值仍在。）

二、它的顶点只有三个。 三条边界两两联立：

三个解全都过关——但这只是本题的运气。两条边界的交点落在第三条约束外面是常事，那种点不是顶点，必须当场扔掉。每算出一个交点就回代验一遍，别攒到最后。

于是可行域就是以 $(1,1)$、$(2,0)$、$(4,4)$ 为顶点的那块三角区域。

解法一：把 $z$ 读成截距，让一族平行线从下往上推

① 改写。 记 $z=2x+3y$，解出 $y$：

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}.$$

这是一族斜率固定为 $-\dfrac23$ 的平行线，纵截距是 $\dfrac z3$。$z$ 越小，截距越小，直线越靠下——于是「求 $z$ 的最小值」变成了「这族线往下压，最后一次还碰得到可行域是在哪儿」。

② 先比一次斜率。 三条边界的斜率分别是

$$x+y=2:\ -1,\qquad 2x-y=4:\ 2,\qquad x-y=0:\ 1 .$$

目标线的 $-\dfrac23$ 与这三个数都不相等，所以等值线不与任何一条边平行，最优解落在某个顶点上、而且唯一。（若它恰好等于其中一个，最优解会是整条边，答案仍对，但「唯一」要收回。）

③ 往下推。 $-\dfrac23>-1$，说明目标线比左下那条边 $x+y=2$ 更平缓。把它从区域下方往上抬，第一个碰到的是区域最靠右下的那个角 $(2,0)$——过 $(1,1)$ 的那条同斜率线截距更高（$\dfrac53$ 比 $\dfrac43$ 大），所以 $(1,1)$ 不是最先碰到的。

④ 算。

$$z_{\min}=2\times 2+3\times 0=4 .$$

⑤ 顺手把最大值也拿走。 继续往上推，最后离开可行域的是 $(4,4)$：

$$z_{\max}=2\times 4+3\times 4=20 .$$

答案 $4$。 这正是官方解析写的那句「直线 $y=-\dfrac23x+Z$ 过点 $(2,0)$ 时，$(2x+3y)_{\min}=4$」。

这条路唯一的风险是方向搞反。 「截距小 $\Rightarrow$ $z$ 小」只在 $y$ 的系数为正时成立；目标若是 $2x-3y$，$z=2x-3y\Rightarrow y=\dfrac23x-\dfrac z3$，$z$ 越大截距越小，方向整个翻过来。动笔前把 $z$ 解成截距看一眼符号，比凭印象记「往左下走变小」可靠得多。

解法二：三条边界两两联立，三个顶点各代一次

不想判断平移方向，就把顶点全算出来比大小——这条路只做算术。

① 凭什么只看顶点。 可行域是有界闭凸多边形，区域里任一点 $P$ 都能写成三个顶点的凸组合：

$$P=\lambda_1A+\lambda_2B+\lambda_3C,\qquad \lambda_i\geqslant 0,\ \ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 .$$

目标 $z=2x+3y$ 是线性的，于是

$$z(P)=\lambda_1z(A)+\lambda_2z(B)+\lambda_3z(C)\ \geqslant\ \min\{z(A),z(B),z(C)\}\cdot\sum\lambda_i=\min\{z(A),z(B),z(C)\} .$$

区域上的最小值就是三个顶点上那三个数里最小的那个——这是个恒等式级别的结论，不是经验。

② 顶点已在冷启动里算好：$(1,1)$、$(2,0)$、$(4,4)$。

③ 逐个代。

$$z(1,1)=2+3=5,\qquad z(2,0)=4+0=4,\qquad z(4,4)=8+12=20 .$$

④ 比大小。 最小 $4$，最大 $20$。答案 $4$。

这条路的代价是「顶点一个都不能漏、区域外的交点一个都不能留」——所以 ① 里那张回代验证的表是必做功课，不是排版。顶点多的时候（五六条约束）它会比平移法慢，但它不依赖任何方向感，稳。

解法三：一张图都不画——把 $2x+3y-4$ 配成三条约束的非负组合

前两条路都得先把区域画出来（或至少在脑子里摆出来）。这一条不用。

① 把三条约束统一成「某个式子 $\geqslant 0$」。

$$A=x+y-2\geqslant 0,\qquad B=4-2x+y\geqslant 0,\qquad C=x-y\geqslant 0 .$$

（第二条是把 $2x-y\leqslant 4$ 移项得来的。）

② 设待定系数，比系数。 猜最小值是 $m$，找非负数 $a,b,c$ 使

$$2x+3y-m=aA+bB+cC$$

对所有 $x,y$ 成立（是恒等式，不是在某点成立）。右边展开是

$$(a-2b+c)\,x+(a+b-c)\,y+(-2a+4b),$$

对应系数相等：

$$\begin{cases} a-2b+c=2,\\ a+b-c=3,\\ -2a+4b=-m . \end{cases}$$

③ 解。 前两式相加消去 $c$：$2a-b=5$，即 $b=2a-5$。代回第一式：$a-2(2a-5)+c=2\Rightarrow c=3a-8$。于是三个系数都被 $a$ 一个字母管着，三条非负条件各给一个下限：

$$a\geqslant 0,\qquad b=2a-5\geqslant 0\ \Rightarrow\ a\geqslant\frac52,\qquad c=3a-8\geqslant 0\ \Rightarrow\ a\geqslant\frac83 ,$$

三个里最紧的是 $a\geqslant\dfrac83$。而第三式给 $m=2a-4b=2a-4(2a-5)=20-6a$，$a$ 越大 $m$ 越小，下界越松。所以取能取到的最小的 $a$：

$$a=\frac83,\qquad b=\frac13,\qquad c=0,\qquad m=20-6\cdot\frac83=4 .$$

三个系数都 $\geqslant 0$ ✓。

④ 放缩。 代回去：

$$2x+3y-4=\frac83\underbrace{(x+y-2)}_{\geqslant 0}+\frac13\underbrace{(4-2x+y)}_{\geqslant 0}\ \geqslant\ 0 ,$$

即对可行域里每一个点都有 $2x+3y\geqslant 4$。到这一步只证明了 $4$ 是个下界。

⑤ 验等号够得着——这一步不能省。 等号要求系数为正的那两项同时为 $0$：

$$\begin{cases}x+y-2=0\\ 4-2x+y=0\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(2,0).$$

再验它满足第三条约束：$C=2-0=2\geqslant 0$ ✓。所以 $(2,0)$ 确实在可行域里，$4$ 够得着。

下界 $+$ 取到 $=$ 最小值。答案 $4$。 只写到 ④ 就收笔，得到的是「$2x+3y$ 不小于 $4$」，这句话对 $3$、对 $0$ 也一样成立——没验等号的下界不是最小值。

⑥ 为什么 $c$ 偏偏是 $0$。 这不是凑巧：在最优点 $(2,0)$ 处，$A$ 与 $B$ 都恰好为 $0$（两条约束卡死），而 $C=2>0$（松着）。松着的那条若在组合里配了正系数，等号处就会多出一项 $cC>0$，$4$ 就取不到了。所以「松的约束配 $0$、紧的约束配正数」是必然的——③ 里那个「$a$ 越大 $m$ 越小、但 $c\geqslant 0$ 拦着」的推导，走的正是这条必然性。

⑦ 它比画图多给了什么。 三个变量以上画不出可行域，这套配系数照跑；而且写出来的是一串恒等式加一次放缩，每一步都可复核——等于顺手给出了一份证明，而不只是一个答案。