浙江 2019 · 数学 q03

冷启动：三条不等式围出的是一个三角形

题面给的是三条二元一次不等式：

$$\begin{cases} x-3y+4\ge 0\\ 3x-y-4\le 0\\ x+y\ge 0 \end{cases}$$

每一条都是一条直线的一侧（半个平面），三条同时成立就是三个半平面的公共部分——本题交出来的是一个三角形（包含三条边）。要在这块地里把 $z=3x+2y$ 顶到最大。

先确认「最大值存在」。 这不是废话：可行域若朝 $z$ 变大的方向伸到无穷远，最大值就不存在（那种题的答案是「无最大值」）。本题的可行域是三角形，有界，闭且有界的区域上连续函数必取到最大值，所以问「最大值是多少」是问得通的。

本题真正的陷阱在选项里。 三角形的三个顶点算出来是 $(-1,1)$、$(1,-1)$、$(2,2)$， 对应的 $z$ 值恰好是 $-1$、$1$、$10$——四个选项里有三个是顶点的 $z$ 值。 于是「算出一个顶点就填」的人有三分之二的概率填错，而且填的还是个「看起来对得上」的数。 这道题考的不是会不会算交点，是算完之后有没有把三个都比一遍。

⚠️ 这一节不在现行教材里。 承载它的「二元一次不等式（组）与平面区域」不在现行人教A版 5 册内。浙江自主命题时代它是固定考点，按现行教材备考的读者要先知道这一点（真题页顶部挂着同样的提示）。

解法一：画可行域，把目标直线推到停不动

怎么想到的。 $z=3x+2y$ 里 $z$ 一给定，$3x+2y=z$ 就是一条直线；$z$ 变，这条直线只是平行地挪（斜率恒为 $-\dfrac32$）。所以「求 $z$ 的最大值」就变成了：这一族平行线里，还能碰到可行域的那条，最远能推到哪里。

① 三条边界直线，各定一侧。 把不等号换成等号得三条直线：

$$x-3y+4=0,\qquad 3x-y-4=0,\qquad x+y=0 .$$

哪一侧？拿一个不在线上的点代进去看符号最省事。取 $(1,1)$：

三条都过了，所以 $(1,1)$ 在可行域内——它可以当「区域在哪边」的路标。

② 三条边界两两联立，得三个顶点。

$$\begin{cases}x-3y+4=0\\ 3x-y-4=0\end{cases}\Rightarrow(2,2),\qquad \begin{cases}x-3y+4=0\\ x+y=0\end{cases}\Rightarrow(-1,1),\qquad \begin{cases}3x-y-4=0\\ x+y=0\end{cases}\Rightarrow(1,-1).$$

三个点都要回代验一遍是否满足另一条约束（本题三个全都满足，故三角形的顶点就是这三个）。

③ 把目标直线写成斜截式，看清「推哪边 $z$ 变大」。

$$3x+2y=z\ \Longleftrightarrow\ y=-\frac32x+\frac z2 .$$

$\dfrac z2$ 是这条直线的纵截距，而 $z$ 与纵截距同增同减。所以：直线往上（往右上）平移，$z$ 变大。 （这一步别背方向，要现推：把 $z$ 解成截距，看截距前面的系数是正是负。本题 $y$ 的系数 $2>0$，所以「往上 = 变大」；若目标是 $z=3x-2y$，同样的平移反而让 $z$ 变小。）

④ 推到停不动的那一刻。 从三角形内部开始把这条斜率 $-\dfrac32$ 的直线往右上推，最后离开区域前碰到的是顶点 $(2,2)$（三条边界的斜率是 $\dfrac13$、$3$、$-1$，都不等于 $-\dfrac32$，所以目标直线不会与任何一条边重合，最后接触的只会是一个顶点，不会是一整条边）。代入：

$$z_{\max}=3\times2+2\times2=10 .$$

与选项 C 相同。

解法二：解出三个顶点，全代一遍

怎么想到的。 上一条路的最后一步「推到停不动」其实只用到一件事：答案落在某个顶点上。既然可行域只有三个顶点，那就别推了——把三个顶点的 $z$ 全算出来，取最大的。选择题里这条路更机械、更不容易看错图。

① 三个顶点。 与解法一第 ② 步同，得 $(-1,1)$、$(1,-1)$、$(2,2)$。

② 逐个代进 $z=3x+2y$。

三个数里最大的是 $10$，故 $z_{\max}=10$，选 C。

③ 为什么只看顶点就够（这才是要带走的东西）。 三角形里任何一点 $P$ 都能写成三个顶点 $V_1,V_2,V_3$ 的凸组合：

$$P=\lambda_1V_1+\lambda_2V_2+\lambda_3V_3,\qquad \lambda_i\ge 0,\ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 .$$

而 $z=3x+2y$ 是一次的，代进去就把系数原样带过去：

$$z(P)=\lambda_1z(V_1)+\lambda_2z(V_2)+\lambda_3z(V_3)\le(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\max_i z(V_i)=\max_i z(V_i) .$$

所以整块区域上的 $z$ 都不超过顶点上的最大值——一个顶点都不用画图就能比。这条推理对任何有界凸多边形、任何线性目标都成立，这就是「线性目标的最值在顶点取到」的全部理由。

④ 一个不画图的封顶（自检用）。 把 $10-z$ 配成两条约束的非负组合：

$$10-(3x+2y)=\frac98\,(x-3y+4)+\frac{11}{8}\,(4-3x+y) .$$

（展开验一遍：$x$ 的系数 $\dfrac98-\dfrac{33}8=-3$ ✓，$y$ 的系数 $-\dfrac{27}8+\dfrac{11}8=-2$ ✓，常数项 $\dfrac{36}8+\dfrac{44}8=10$ ✓。这两个系数不是猜的——把它们设成未知数 $\lambda_1,\lambda_2$，让 $x$、$y$、常数三处的系数各自对上，解一个二元一次方程组就出来了。）

题面给的是 $x-3y+4\ge 0$ 与 $3x-y-4\le 0$，即右边两个括号都 $\ge 0$，于是

$$10-z\ge 0\ \Longrightarrow\ z\le 10 ,$$

且等号成立当且仅当两个括号同时为零，即 $(x,y)=(2,2)$。这一行既证了上界、又证了最优点唯一，还一根线都没画。

这两条路差在哪。 解法一是看图：优点是「$z$ 往哪边变大」看得见，可行域一旦不是三角形（四条五条约束、或者无界）也照样能推；代价是要把图画准，作图歪一点就会停错顶点——原卷的【点睛】提醒的正是这件事。 解法二是算数：把无穷多个点压成三个数，选择题里最省心；代价是它依赖「顶点已经全找齐」——四条以上约束时，两两联立会得到一堆不在可行域里的假交点，必须逐个回代筛掉（本题三条边界两两只交出三个点，且三个都可行，所以格外便宜）。

记一句话版本：线性目标只在顶点上分出胜负；顶点少就直接代，顶点多就画图推。

🕳️ 避坑

本题四个选项恰好是四种停错位置的产物：

选项	它是什么	错在哪
A $-1$	顶点 $(-1,1)$ 的 $z$ 值	那是最小值——平移方向推反了（或者把「最大」看成了「最小」）
B $1$	顶点 $(1,-1)$ 的 $z$ 值	停错了顶点：算出一个交点就填，没把三个比一遍
C $10$	顶点 $(2,2)$ 的 $z$ 值	正确
D $12$	任何顶点都取不到	既然 $z\le 10$，$12$ 在可行域上根本取不到——多半是把 $(2,2)$ 代成了 $3\times2+2\times3$，或把目标函数的系数抄成了 $3$ 与 $3$

• 平移方向要现推，不要背。 把 $z$ 解成纵截距（本题 $y=-\dfrac32x+\dfrac z2$）再看符号：$y$ 的系数为正时「往上推 $z$ 变大」，为负时正好相反。这是本题最容易丢分的一步，A 就是它的产物。
• 顶点必须回代验。 两两联立得到的交点只是候选：它满足联立的那两条，第三条不一定满足。约束一多，假交点就冒出来了；把假交点当顶点，可能算出一个比真最大值还大的数（比如本题的 $12$ 那种「像答案的数」）。
• 别把「有界」当理所当然——但要问清是哪一条在封口。 本题封口的不是 $x+y\ge 0$： 只留 $x-3y+4\ge 0$ 与 $3x-y-4\le 0$ 时，两条一起要求 $3x-4\le\dfrac{x+4}{3}$，即 $x\le 2$， 区域是以 $(2,2)$ 为顶点、朝左张开的楔形——上界 $z\le 10$ 照旧成立（解法二第 ④ 步那个恒等式 压根没用到 $x+y\ge 0$），最大值还是 $10$。真正会变成「无最大值」的删法是删掉 $3x-y-4\le 0$： 那时区域朝右无界，沿边界 $y=-x$ 走有 $z=3x+2y=x\to+\infty$。 所以看到「求最大值」，该问的不是「约束够不够多」，而是**「$z$ 变大的那个方向，被哪条约束挡住了」**。
• 选项互相印证。 三个选项都是顶点值这件事本身就是提示：它说明命题人料到了「只算一个顶点」这种错。反过来用——若你算出的数与另外两个选项都不同，那大概是算错了坐标。

对照选项 A. $-1$、B. $1$、C. $10$、D. $12$，故选 C。