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6.4.3 余弦定理、正弦定理

一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系。对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？

下面我们利用向量方法研究这个问题.

1. 余弦定理

我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？

探究

在 $\triangle ABC$ 中，三个角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$，怎样用 $a, b$ 和 $C$ 表示 $c$?

因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究.

如图6.4-8，设 $\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{a}$ ， $\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}$ ， $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{c}$ ，那么

c = a - b.\tag{①}

我们的研究目标是用 $|a|$，$|b|$ 和 $C$ 表示 $|c|$，联想到数量积的性质 $c \cdot c = |c|^2$，可以考虑用向量 $c$（即 $a - b$）与其自身作数量积运算.

由①得

$\begin{array}{r l} \mid c \mid^ {2} & = c \cdot c = (a - b) \cdot (a - b) \\ & = a \cdot a + b \cdot b - 2 a \cdot b \\ & = a ^ {2} + b ^ {2} - 2 \mid a \mid \mid b \mid \cos C. \end{array}$

所以

$c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - 2 a b \cos C.$

同理可得

$a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - 2 b c \cos A,$

$b ^ {2} = c ^ {2} + a ^ {2} - 2 c a \cos B.$

?

从这里的推导过程， 你感受到向量运算的力量了吗？

于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：

余弦定理（cosine theorem）三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即

$a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - 2 b c \cos A,$

$b ^ {2} = c ^ {2} + a ^ {2} - 2 c a \cos B,$

你能用其他方法证明余弦定理吗？

$c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - 2 a b \cos C.$

利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.

思考

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系. 应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？

由余弦定理，可以得到如下推论：

$\cos A = \frac {b ^ {2} + c ^ {2} - a ^ {2}}{2 b c},$

$\cos B = \frac {c ^ {2} + a ^ {2} - b ^ {2}}{2 c a},$

$\cos C = \frac {a ^ {2} + b ^ {2} - c ^ {2}}{2 a b}.$

• •

余弦定理及其推论把用 “SAS” 和 “SSS” 判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.

利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.

从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.

思考

勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？

如果 $\triangle ABC$ 中有一个角是直角，例如，$C = 90^{\circ}$，这时 $\cos C = 0$。由余弦定理可得 $c^2 = a^2 + b^2$，这就是勾股定理。由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。

一般地，三角形的三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 和它们的对边 $a$ ， $b$ ， $c$ 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形（solving a triangle).

例 5 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $b=60\ cm$，$c=34\ cm$，$A=41^{\circ}$，解这个三角形（角度精确到 $1^{\circ}$，边长精确到 $1\ cm$）。

解：由余弦定理，得

$\begin{array}{r l} a ^ {2} & = b ^ {2} + c ^ {2} - 2 b c \cos A \\ & = 6 0 ^ {2} + 3 4 ^ {2} - 2 \times 6 0 \times 3 4 \times \cos 4 1 ^ {\circ} \\ & \approx 1 6 7 6. 7 8, \end{array}$

所以

$a \approx 4 1 (\mathrm{cm}).$

由余弦定理的推论，得

$\cos B = \frac {c ^ {2} + a ^ {2} - b ^ {2}}{2 c a} = \frac {3 4 ^ {2} + 4 1 ^ {2} - 6 0 ^ {2}}{2 \times 3 4 \times 4 1} = - \frac {7 6 3}{2 7 8 8},$

利用计算器，可得 $B \approx 106^{\circ}$ .

所以 $C=180^{\circ}-(A+B)\approx180^{\circ}-(41^{\circ}+106^{\circ})=33^{\circ}.$

例 6 在 $\triangle ABC$ 中，a=7，b=8，锐角 C 满足 $\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ ，求 B（精确到 $1^{\circ}$ ）. 分析：由条件可求 $\cos C$ ，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.

解：因为 $\sin C = \frac{3\sqrt{3}}{14}$，且 $C$ 为锐角，

所以 $\cos C=\sqrt{1-\sin^{2}C}=\sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)^{2}}=\frac{13}{14}.$

由余弦定理，得

$c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - 2 a b \cos C = 4 9 + 6 4 - 2 \times 7 \times 8 \times \frac {1 3}{1 4} = 9,$

所以 c=3.

进而 $\cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}=\frac{9+49-64}{2\times3\times7}=-\frac{1}{7}.$

利用计算器，可得

$B \approx 9 8 ^ {\circ}.$

练习

1. （1）在$\triangle ABC$中，已知$b=12.9\ cm$，$c=15.4\ cm$，$A=42.3^{\circ}$，解这个三角形（角度精确到$0.1^{\circ}$，边长精确到$0.1\ cm$）；

(2) 在 $\triangle ABC$ 中，已知 a=5, b=2, $C=\frac{\pi}{3}$ ，求 c.

2. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a=2,\ b=\sqrt{2},\ c=\sqrt{3}+1$ ，解这个三角形.

3. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $b = 5$ ， $c = 2$ ，锐角 $A$ 满足 $\sin A = \frac{\sqrt{231}}{20}$ ，求 $C$ （精确到 $1^{\circ}$ ）.

2. 正弦定理

探究

余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论. 实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系. 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：

在 $\triangle ABC$ 中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.

如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在 $\triangle ABC$ 中，已知 $A, B, a$，求 $b$”的问题.

我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手. 根据锐角三角函数，在 Rt△ABC 中（如图 6.4-9），有

$\sin A = \frac {a}{c},$

$\sin B = \frac {b}{c},$

显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立。观察发现，它们有一个共同元素 $c$ ，利用它把两个式子联系起来，可得

图6.4-9

$\frac {a}{\sin A} = \frac {b}{\sin B} = c.$

又因为 $\sin C = \sin 90^{\circ} = 1$ ，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即

$\frac {a}{\sin A} = \frac {b}{\sin B} = \frac {c}{\sin C}.$

对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？

因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.

我们希望获得 $\triangle ABC$ 中的边 $a, b, c$ 与它们所对角 $A, B, C$ 的正弦之间的关系式。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究。

思考

向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？

由诱导公式 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$ 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.

下面先研究锐角三角形的情形.

如图 6.4-10，在锐角 $\triangle ABC$ 中，过点 A 作与 $\overrightarrow{AC}$ 垂直的单位向量 j，则 j 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-A$，j 与 $\overrightarrow{CB}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-C$。 因为 $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$，所以

$j \cdot (\overrightarrow {A C} + \overrightarrow {C B}) = j \cdot \overrightarrow {A B}.$

图6.4-10

由分配律，得

$j \cdot \overrightarrow {A C} + j \cdot \overrightarrow {C B} = j \cdot \overrightarrow {A B},$

即

$\mid \boldsymbol {j} \mid \mid \overrightarrow {A C} \mid \cos \frac {\pi}{2} + \mid \boldsymbol {j} \mid \mid \overrightarrow {C B} \mid \cos \left(\frac {\pi}{2} - C\right) = \mid \boldsymbol {j} \mid \mid \overrightarrow {A B} \mid \cos \left(\frac {\pi}{2} - A\right),$

也即

$a \sin C = c \sin A.$

所以

$\frac {a}{\sin A} = \frac {c}{\sin C}.$

同理，过点 C 作与 $\overrightarrow{CB}$ 垂直的单位向量 m，可得

$\frac {b}{\sin B} = \frac {c}{\sin C}.$

因此

$\frac {a}{\sin A} = \frac {b}{\sin B} = \frac {c}{\sin C}.$

当$\triangle ABC$是钝角三角形时，不妨设$A$为钝角（如图6.4-11）.过点$A$作与$\overrightarrow{AC}$垂直的单位向量$j$，则$j$与$\overrightarrow{AB}$的夹角为$A-\frac{\pi}{2}$，$j$与$\overrightarrow{CB}$的夹角为$\frac{\pi}{2}-C$．仿照上述方法，同样可得

$\frac {a}{\sin A} = \frac {b}{\sin B} = \frac {c}{\sin C}.$

综上，我们得到下面的定理：

正弦定理（sine theorem）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

● ●

$\frac {a}{\sin A} = \frac {b}{\sin B} = \frac {c}{\sin C}.$

正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系. 利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已

这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质.

知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.

以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理. 事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁. 你还能想到其他方法吗？

例 7 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $A=15^{\circ}$ ， $B=45^{\circ}$ ， $c=3+\sqrt{3}$ ，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得

$C = 1 8 0 ^ {\circ} - (A + B) = 1 8 0 ^ {\circ} - (1 5 ^ {\circ} + 4 5 ^ {\circ}) = 1 2 0 ^ {\circ}.$

由正弦定理，得

$\begin{array}{l} a = \frac {c \sin A}{\sin C} = \frac {(3 + \sqrt {3}) \sin 1 5 ^ {\circ}}{\sin 1 2 0 ^ {\circ}} = \frac {(3 + \sqrt {3}) \sin (4 5 ^ {\circ} - 3 0 ^ {\circ})}{\sin 1 2 0 ^ {\circ}} \\ = \frac {(3 + \sqrt {3}) (\sin 4 5 ^ {\circ} \cos 3 0 ^ {\circ} - \cos 4 5 ^ {\circ} \sin 3 0 ^ {\circ})}{\sin 1 2 0 ^ {\circ}} \\ = \frac {(3 + \sqrt {3}) (\frac {\sqrt {2}}{2} \times \frac {\sqrt {3}}{2} - \frac {\sqrt {2}}{2} \times \frac {1}{2})}{\frac {\sqrt {3}}{2}} = \sqrt {2}, \\ b = \frac {c \sin B}{\sin C} = \frac {(3 + \sqrt {3}) \sin 4 5 ^ {\circ}}{\sin 1 2 0 ^ {\circ}} \\ = \frac {(3 + \sqrt {3}) \times \frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}} = \sqrt {6} + \sqrt {2}. \end{array}$

例 8 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $B=30^{\circ}$，$b=\sqrt{2}$，c=2，解这个三角形.

分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.解：由正弦定理，得

$\sin C = \frac {c \sin B}{b} = \frac {2 \sin 3 0 ^ {\circ}}{\sqrt {2}} = \frac {\sqrt {2}}{2}.$

因为 $c > b$ ， $B = 30^{\circ}$

所以 $30^{\circ} < C < 180^{\circ}$.

为什么角 C 有两个值?

于是 $C = 45^{\circ}$ ，或 $C = 135^{\circ}$

(1) 当 $C=45^{\circ}$ 时， $A=105^{\circ}$ .

此时

$\begin{array}{r l} a & = \frac {b \sin A}{\sin B} = \frac {\sqrt {2} \sin 1 0 5 ^ {\circ}}{\sin 3 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {2} \sin (6 0 ^ {\circ} + 4 5 ^ {\circ})}{\sin 3 0 ^ {\circ}} \\ & = \frac {\sqrt {2} (\sin 6 0 ^ {\circ} \cos 4 5 ^ {\circ} + \cos 6 0 ^ {\circ} \sin 4 5 ^ {\circ})}{\sin 3 0 ^ {\circ}} \end{array}$

$= \frac {\sqrt {2} \left(\frac {\sqrt {3}}{2} \times \frac {\sqrt {2}}{2} + \frac {1}{2} \times \frac {\sqrt {2}}{2}\right)}{\frac {1}{2}} = \sqrt {3} + 1.$

(2) 当 $C=135^{\circ}$ 时， $A=15^{\circ}$ .

此时

$\begin{array}{r l} a & = \frac {b \sin A}{\sin B} = \frac {\sqrt {2} \sin 1 5 ^ {\circ}}{\sin 3 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {2} \sin (4 5 ^ {\circ} - 3 0 ^ {\circ})}{\sin 3 0 ^ {\circ}} \\ & = \frac {\sqrt {2} (\sin 4 5 ^ {\circ} \cos 3 0 ^ {\circ} - \cos 4 5 ^ {\circ} \sin 3 0 ^ {\circ})}{\sin 3 0 ^ {\circ}} \\ & = \frac {\sqrt {2} \times \left(\frac {\sqrt {2}}{2} \times \frac {\sqrt {3}}{2} - \frac {\sqrt {2}}{2} \times \frac {1}{2}\right)}{\frac {1}{2}} = \sqrt {3} - 1. \end{array}$

由三角函数的性质可知，在区间 $(0,\pi)$ 内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内单调递增，在区间 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.

练习

1. 完成下列解三角形问题（角度精确到 $1^{\circ}$ ，边长精确到 1 cm）：

(1) 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $A=60^{\circ}$ ， $B=45^{\circ}$ ，c=20 cm；

(2) 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a=20\ cm,\ b=11\ cm,\ B=30^{\circ}$ .

2.（1）在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a = 2$ ， $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ， $A = 120^{\circ}$ ，求 $b$ 和 $C$

(2) 在 $\triangle ABC$ 中，已知 b=2， $A=45^{\circ}$ ， $C=75^{\circ}$ ，求 c.

3. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\cos A = \frac{4}{5}$，$B = \frac{\pi}{3}$，$b = \sqrt{3}$，求 $a, c$.

3. 余弦定理、正弦定理应用举例

在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.

具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件. 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.

例 9 如图 6.4-12, A, B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A, B 两点间距离的方法，并求出 A, B 间的距离.

分析：若测量者在 A，B 两点的对岸取定一点 C（称作测量基点），则在点 C 处只能测出 $\angle ACB$ 的大小，因而无法解决问题。为此，可以再取一点 D，测出线段 CD 的长，以及 $\angle ACD$ ， $\angle CDB$ ， $\angle BDA$ ，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了。

解：如图6.4-13，在 $A$ ， $B$ 两点的对岸选定两点 $C$ ， $D$ 测得 $CD = a$ ，并且在 $C$ ， $D$ 两点分别测得 \angle BCA = \alpha$$\angle ACD = \beta ， $\angle CDB = \gamma$ ， $\angle BDA = \delta$

在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle BDC$ 中，由正弦定理，得

$A C = \frac {a \sin (\gamma + \delta)}{\sin [ 1 8 0 ^ {\circ} - (\beta + \gamma + \delta) ]} = \frac {a \sin (\gamma + \delta)}{\sin (\beta + \gamma + \delta)},$

$B C = \frac {a \sin \gamma}{\sin [ 1 8 0 ^ {\circ} - (\alpha + \beta + \gamma) ]} = \frac {a \sin \gamma}{\sin (\alpha + \beta + \gamma)}.$

于是，在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理可得A，B两点间的距离

$A B = \sqrt {A C ^ {2} + B C ^ {2} - 2 A C \times B C \cos \alpha}$

$= \sqrt {\frac {a ^ {2} \sin^ {2} (\gamma + \delta)}{\sin^ {2} (\beta + \gamma + \delta)} + \frac {a ^ {2} \sin^ {2} \gamma}{\sin^ {2} (\alpha + \beta + \gamma)} - \frac {2 a ^ {2} \sin (\gamma + \delta) \sin \gamma \cos \alpha}{\sin (\beta + \gamma + \delta) \sin (\alpha + \beta + \gamma)}}.$

思考

在上述测量方案下，还有其他计算 A，B 两点间距离的方法吗？

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的 $CD$。为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。如图6.4-14，早在1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点 $A$）与好望角（点 $B$）为基点，测量出 $\alpha$，$\beta$ 的大小，并计算出两地之间的距离 $AB$，进而算出了地球与月球之间的距离约为 $385400\mathrm{km}$。我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴. 当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更加先进的测量距离的方法.

例 10 如图 6.4-15, AB 是底部 B 不可到达的一座建筑物, A 为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度 AB 的方法, 并求出建筑物的高度.

分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点 $C$ （点 $C$ 到地面的距离可求）到建筑物的顶部 $A$ 的距离 $CA$ ，并测出由点 $C$ 观察 $A$ 的仰角，

就可以计算出建筑物的高度. 为此，应再选取一点 $D$ ，构造另一个含有 $CA$ 的 $\triangle ACD$ ，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出 $CA$.

解：如图6.4-15，选择一条水平基线 $HG$ ，使 $H, G, B$ 三点在同一条直线上. 在 $G, H$ 两点用测角仪器测得 $A$ 的仰角分别是 $\alpha, \beta, CD = a$ ，测角仪器的高是 $h$. 那么，在 $\triangle ACD$ 中，由正弦定理，得

$A C = \frac {a \sin \beta}{\sin (\alpha - \beta)}.$

在实际操作时，使 $H, G, B$ 三点共线不是一件容易的事情。你有什么替代方案吗？

所以，这座建筑物的高度为

$\begin{array}{r l} A B & = A E + h \\ & = A C \sin \alpha + h \\ & = \frac {a \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha - \beta)} + h. \end{array}$

下面再来看一个测量角度的问题.

例 11 位于某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西 $30^{\circ}$ ，且与甲船相距 7 n mile 的 C 处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 $1^{\circ}$ ）？需要航行的距离是多少海里（精确到 1 n mile）？

分析：首先应根据“正东方向”“南偏西 $30^{\circ}$”“目标方向线”等信息，画出示意图.解：根据题意，画出示意图（图6.4-16).由余弦定理，得

由于题目中没有给出图形，因此正确理解题意、画出示意图，是解决问题的重要环节.

$\begin{array}{r l} B C ^ {2} & = A B ^ {2} + A C ^ {2} - 2 A B \cdot A C \cdot \cos 1 2 0 ^ {\circ} \\ & = 2 0 ^ {2} + 7 ^ {2} - 2 \times 2 0 \times 7 \times \left(- \frac {1}{2}\right) = 5 8 9. \end{array}$

于是

$B C \approx 2 4 \text {(n mile)}.$

由正弦定理，得

$\frac {\sin C}{2 0} = \frac {\sin 1 2 0 ^ {\circ}}{2 4},$

于是

$\sin C = \frac {2 0 \times \frac {\sqrt {3}}{2}}{2 4} = \frac {5 \sqrt {3}}{1 2}.$

由于 $0^{\circ} < C < 90^{\circ}$

所以 $C \approx 46^{\circ}$ .

因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 $46^{\circ} + 30^{\circ} = 76^{\circ}$，大约需要航行24 n mile.

练习

1. 如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为 $32.2 \mathrm{~n} \mathrm{mile} / \mathrm{h}$，在 $A$ 处看灯塔 $S$ 在船的北偏东 $20^{\circ}$ 的方向上。$30 \mathrm{~min}$ 后，船航行到 $B$ 处，在 $B$ 处看灯塔在船的北偏东 $65^{\circ}$ 的方向上。已知距离此灯塔 $6.5 \mathrm{~n} \mathrm{mile}$ 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

2. 如下页图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 $\alpha$ ，沿倾斜角为 $\beta$ 的斜坡向上走 a m 到达 B 处，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 $\gamma$ 。求证：山高 $h=\frac{a\sin\alpha\sin(\gamma-\beta)}{\sin(\gamma-\alpha)}$ 。

3. 如下页图，一艘海轮从 $A$ 出发，沿北偏东 $75^{\circ}$ 的方向航行 $67.5 \mathrm{~n}$ mile 后到达海岛 $B$ ，然后从 $B$ 出发，沿北偏东 $32^{\circ}$ 的方向航行 $54 \mathrm{~n}$ mile 后到达海岛 $C$ 。如果下

(第1题)

次航行直接从 A 出发到达 C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到 $0.1^{\circ}$ ，距离精确到 0.01 n mile）

习题6.4

复习巩固

1. 若非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right) \cdot \overrightarrow{BC} = 0$，且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{1}{2}$，则 $\triangle ABC$ 为（）.

(A) 三边均不相等的三角形 (B) 直角三角形

(C) 底边和腰不相等的等腰三角形 (D) 等边三角形

2. 已知 $O, N, P$ 在 $\triangle ABC$ 所在平面内，满足 $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$，$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \mathbf{0}$，且 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}$，则点 $O, N, P$ 依次是 $\triangle ABC$ 的（）.

(A) 重心，外心，垂心 (B) 重心，外心，内心 (C) 外心，重心，垂心 (D) 外心，重心，内心

垂心是三角形三条高所在直线的交点.

3. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.

4. 两个粒子 A, B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 $s_{A} = (4, 3)$ ， $s_{B} = (2, 10)$ . (1) 写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s； (2) 计算 s 在 $s_{A}$ 上的投影向量.

5. 一个人在静水中游泳时，速度的大小为 $2\sqrt{3} \mathrm{~km/h}$. 当他在水流速度的大小为 $2 \mathrm{~km/h}$ 的河中游泳时，

(1) 如果他垂直游向河对岸, 那么他实际沿什么方向前进 (角度精确到 $1^{\circ}$)? 实际前进速度的大小为多少?

（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到 $1^{\circ}$ ）？实际前进速度的大小为多少？

6. 在 $\triangle ABC$ 中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到 $1^{\circ}$ ，边长精确到1 cm）： (1) $a=49\ cm,\ b=26\ cm,\ C=107^{\circ}$ ; (2) $a=9\ cm,\ b=10\ cm,\ c=15\ cm.$

7. 在$\triangle ABC$中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到$1^{\circ}$，边长精确到$1\ \text{cm}$）： (1) $A=70^{\circ}$, $C=30^{\circ}$, $c=20\ \text{cm}$; (2) $b=26\ \text{cm}$, $c=15\ \text{cm}$, $C=23^{\circ}$.

8. 如图，测量河对岸的塔高 $AB$ 时，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$. 现测得 $\angle BCD = \alpha$，$\angle BDC = \beta$，$CD = s$，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\theta$，求塔高 $AB$.

9. 在气象台 A 的正西方向 300 km 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为 40 km/h，距台风中心 250 km 以内的地区都将受到影响。若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到 1 min）？

10. 你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？

综合运用

11. 已知对任意平面向量 $\overrightarrow{AB} = (x, y)$，把 $\overrightarrow{AB}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到向量 $\overrightarrow{AP} = (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到点 $P$。已知平面内点 $A(1, 2)$，点 $B(1 + \sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2})$，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{\pi}{4}$ 后得到点 $P$，求点 $P$ 的坐标。

12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 2$ ， $AC = 5$ ， $\angle BAC = 60^{\circ}$ ， $BC$ ， $AC$ 边上的两条中线 $AM$ ， $BN$ 相交于点 $P$ ，求 $\angle MPN$ 的余弦值.

13. 一条河的两岸平行，河的宽度 $d = 500 \mathrm{~m}$，一艘船从河岸边的 $A$ 处出发到河对岸。已知船在静水中的速度 $\nu_{1}$ 的大小为 $|\nu_{1}| = 10 \mathrm{~km/h}$，水流速度 $\nu_{2}$ 的大小为 $|\nu_{2}| = 2 \mathrm{~km/h}$。如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小。此时我们分三种情况讨论： (1) 当船逆流行驶，与水流成钝角时； (2) 当船顺流行驶，与水流成锐角时； (3) 当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时。 请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶时所用时间最短。

(第 12 题)

14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽 $250 \mathrm{~m}$，河水的速度为向东 $2 \sqrt{3} \mathrm{~km/h}$. 一艘小货船准备从河的这一边的码头 $A$ 处出发，航行到位于河对岸 $B$（$AB$ 与河的方向垂直）的正西方向并且与 $B$ 相距 $250 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ 的码头 $C$ 处卸货. 若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 $6 \mathrm{~km/h}$，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.

15. $\triangle ABC$ 的三边分别为 $a, b, c$，边 $BC, CA, AB$ 上的中线分别记为 $m_a, m_b, m_c$，利用余弦定理证明

$m _ {a} = \frac {1}{2} \sqrt {2 (b ^ {2} + c ^ {2}) - a ^ {2}},$

$m _ {b} = \frac {1}{2} \sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - b ^ {2}},$

$m _ {c} = \frac {1}{2} \sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}.$

16. 在 $\triangle ABC$ 中，求证：$c(a \cos B - b \cos A) = a^2 - b^2$.

17. 证明：设三角形的外接圆的半径是 $R$，则 $a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$.

18. 利用第10题的结论，证明三角形的面积公式

$S = \frac {1}{2} a ^ {2} \frac {\sin B \sin C}{\sin A}.$

拓广探索

19. 如图，在 $\square ABCD$ 中，点 $E, F$ 分别是 $AD, DC$ 边的中点，$BE, BF$ 分别与 $AC$ 交于 $R, T$ 两点，你能发现 $AR, RT, TC$ 之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.

20. 已知 $\triangle ABC$ 的三个角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$，求证：

(1) 三角形的面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ;

(2) 若 $r$ 为三角形的内切圆半径，则

$r = \sqrt {\frac {(p - a) (p - b) (p - c)}{p}};$

（3）把边 $BC$ ， $AC$ ， $AB$ 上的高分别记为 $h_a$ ， $h_b$ ， $h_c$ ，则

$h _ {a} = \frac {2}{a} \sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)},$

$h _ {b} = \frac {2}{b} \sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)},$

$h _ {c} = \frac {2}{c} \sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)}.$

21. 如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ，$M$ ， $N$ 在同一个铅垂平面内. 请设计一个测量方案，包括：（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；（2）用文字和公式写出计算 $M$ ， $N$ 间的距离的步骤。

(2) 用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤.

22. 已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$. (1) 求 $A$; (2) 若 $a = 2$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，求 $b, c$.

23. 根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写出实习报告（包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论）.

? 阅读与思考

海伦和秦九韶

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展。三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。

在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 $a, b, c$ 直接求出三角形的面积。据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式

$S = \sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)},$

这里 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ .

但现在人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron，约1世纪）的名字命名这个公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到。海伦公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美，大家很容易记住它。

海伦是古希腊的数学家，他还是一位优秀的测绘工程师。他的代表作是《度量术》，此书讨论平面图形的面积、立体图形的体积，以及把图形分成几部分，使所分成的各部分的面积或体积的比等于给定的比。《测量仪器》是他的另一本代表作，其中描述的一种仪器，功能相当于现代的经纬仪。在此书中他还讨论了许多测量问题，如怎样挖隧道，从山的两侧开始，找准方向，使隧道准确会合；确定两点间高度的差；测量可望不可即的两点之间的距离；还有各种高度和距离的测量问题。

我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”。在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何。”这道题实际上就是已知三角形的三边长，求三角形的面积。《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式，就是

$S = \sqrt {\frac {1}{4} \left[ c ^ {2} a ^ {2} - \left(\frac {c ^ {2} + a ^ {2} - b ^ {2}}{2}\right) ^ {2} \right]}.$

秦九韶独立推出了“三斜求积”公式. 它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者完全等价，从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数学水平.

秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，对数学发展产生了广泛的影响。秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家，他被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

一、本章知识结构

二、回顾与思考

向量是刻画现实世界中“既有大小又有方向的量”的数学工具。本章我们类比数及其运算，学习了向量及其运算，以及向量运算的几何意义，并用向量方法解决了一些几何问题、物理问题，特别是用向量方法研究了任意三角形的边角关系，得到了正弦定理、余弦定理。其研究的内容、过程是：向量现实背景、几何背景—向量的概念—向量的运算和运算律—相关知识的联系—实际应用。

我们通过分析位移、力、速度等了解了向量的实际背景，引入了向量概念。其中，位移是向量的最佳现实模型。定义向量概念时，我们首先明确了向量的内涵（大小、方向），并用有向线段表示向量，然后认识了单位向量、零向量等“特殊”向量，明确了两个向量的平行、相等、共线等“特殊关系”。这里，明确数学对象的内涵及表示是定义一个数学对象的基本要求。

向量的运算，是“带方向的量的运算”。这里，如何对方向进行运算是核心问题。“位移的合成”很好地解释了“两个方向之和”，以此为背景我们定义了向量加法的三角形法则；而以“力的合成”为背景定义了向量加法的平行四边形法则。“定义了一种运算就要研究运算律”，向量加法满足交换律、结合律，而交换律就是“平行四边形的两组对边分别平行且相等”的向量表达式。

类比数 $a$ 的整数倍 $na$ 是 $n$ 个 $a$ 相加的总和，可以把 $n$ 个向量 $\pmb{a}$ 相加的总和写为 $na$。一般地，实数 $\lambda$ 与向量 $\pmb{a}$ 的乘积 $\lambda \pmb{a}$ 是一个向量，它所满足的运算律（1）$\lambda \pmb{a} + \mu \pmb{a} = (\lambda + \mu) \pmb{a}$，（2）$\lambda (\mu \pmb{a}) = (\lambda \mu) \pmb{a}$，（3）$\lambda (\pmb{a} + \pmb{b}) = \lambda \pmb{a} + \lambda \pmb{b}$ 与实数乘法的运算律有所差异。这里有两个特别有用的结论：一是 $k(a + b) = ka + kb$ 是“相似三角形对应边的比等于相似比”的代数化形式；二是 $\lambda \pmb{a}$ 与 $\pmb{a}$ 共线，由此，两个非零向量 $\pmb{a}$，$\pmb{b}$ 共线（平行）的充要条件是 $\pmb{a} = \lambda \pmb{b}$。其实，联系数轴概念，如果设 $\pmb{e}$ 是与数轴 $Ox$ 的方向相同的单位向量，数轴上任意一点 $P$ 的坐标为 $x$，那么 $\overrightarrow{OP} = xe$；反之也对。

以物理中力做功为背景，我们定义了两个向量的数量积，并研究了它的运算律，其中分配律是非常重要的。向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，不是向量。向量数量积与距离、夹角等紧密相联，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题。

为了彻底实现几何的代数化，需要进一步研究平面上点的向量表示问题。对于平面 $\alpha$ 上任意一点 $P$ ，可以利用向量的加法和数乘向量，把平面 $\alpha$ 上的向量 $\overrightarrow{OP}$ 表示为 $k_{1}a + k_{2}b$ （其中向量 $a$ ， $b$ 不共线），从而使它成为可运算的对象。在解决几何问题时，这种表示发挥了基础性作用，因此我们把它叫做平面向量基本定理。特别地，我们以 $\{i,j\}$ 为基底，建立了平面直角坐标系 $Oxy$ 中的向量 $\overrightarrow{OA}$ 与点 $A$ 的坐标间的一一对应。

通过本章的学习我们发现，与集合是一种特殊的运算对象类似，向量也是一种不同于实数的运算对象，而向量运算与实数运算既有差别又有共性。在定义向量的运算法则，探索其相应的运算律时，我们总是类比数及其运算来发现和提出问题。因此，本章的学习对于提高我们对数学运算的认识水平，理解数学运算和逻辑推理的关系等，都有很大的帮助。

用向量方法解决平面几何问题，其特色是仅用向量加法法则（称为“向量回路”）、向量数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为0），以及平面向量基本定理等4条基本法则、定理。与平面几何有大量基本事实、定理比较，向量法在解决某些几何问题时简捷得多。例如，利用“三角形回路” $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ 和数量积，我们非常快捷地得到了余弦定理。

平面向量及其运算与空间向量及其运算紧密联系，与数及其运算也直接相关，在其他学科（特别是物理）中也有广泛应用。这种联系我们可以用下面的框图表示。

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！

1. 向量的概念是什么？用有向线段如何表示一个向量？

2. 你能说说向量的加法、减法、向量的数乘运算、向量的数量积是如何定义的吗？

3. 运算律是运算的灵魂. 你能通过实例, 说明向量的加法、向量的数乘运算、向量的数量积有哪些运算律吗? 这些运算律的几何意义是什么? 这些运算律与数的运算律的联系与区别是什么?

4. 平面向量基本定理是什么？这个定理的意义是什么？你能说说什么是向量的坐标表示吗？

5. 你能用向量的坐标表示描述向量共线的条件吗？你能用向量的坐标表示描述向量的长度及两个向量的夹角吗？

6. 用向量方法解决平面几何问题要经过哪些步骤？要注意哪些问题？你能通过实例说明如何选择基底吗？

7. 你能通过实例，说明向量在物理中的应用吗？

8. 回顾用向量方法推导正弦定理、余弦定理的过程，你能总结一下其中的思想方法吗？

复习参考题6

复习巩固

1. 判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.

(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 0.$ ( )

(2) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$ （ ）

(3) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$ （ ）

(4) $0\overrightarrow{AB} = 0.$ （ ）

2. 选择题

（1）如果 $a$ ， $b$ 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）.
(A) $a = b$ (B) $a\cdot b = 1$
(C) $a^2\neq b^2$ (D) $\mid a\mid^2 = \mid b\mid^2$

（2）对于任意两个向量 a 和 b，下列命题中正确的是（）. (A) 若 a, b 满足 $\left|a\right| > \left|b\right|$ ，且 a 与 b 同向，则 $a > b$ (B) $\left|a+b\right|\leqslant\left|a\right|+\left|b\right|$ (C) $\left|a\cdot b\right|\geqslant\left|a\right|\left|b\right|$ (D) $\left|a-b\right|\leqslant\left|a\right|-\left|b\right|$

(3) 在四边形 $ABCD$ 中, 若 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, 则 ( ). (A) 四边形 $ABCD$ 是矩形 (B) 四边形 $ABCD$ 是菱形 (C) 四边形 $ABCD$ 是正方形 (D) 四边形 $ABCD$ 是平行四边形

（4）设 a 是非零向量， $\lambda$ 是非零实数，下列结论中正确的是（）. (A) a 与 $-\lambda a$ 的方向相反 (B) $\left| -\lambda a \right| \geqslant |a|$ (C) a 与 $\lambda^{2}a$ 的方向相同 (D) $\left| -\lambda a \right| = \left| \lambda \right| a$

(5) 设 M 是 □ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\quad)$ . (A) $\overrightarrow{OM}$ (B) $2\overrightarrow{OM}$ (C) $3\overrightarrow{OM}$ (D) $4\overrightarrow{OM}$

(6) 在下列各组向量中，可以作为基底的是（）. (A) $\boldsymbol{e}_{1}=(0,0)$ , $\boldsymbol{e}_{2}=(1,-2)$ (B) $\boldsymbol{e}_{1}=(-1,2)$ , $\boldsymbol{e}_{2}=(5,7)$ (C) $e_{1}=(3,5)$ , $e_{2}=(6,10)$ (D) $e_{1}=(2,-3)$ , $e_{2}=\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$

3. 已知六边形 $ABCDEF$ 为正六边形，且 $\overrightarrow{AC} = a$，$\overrightarrow{BD} = b$，分别用 $a$，$b$ 表示 $\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$.

4. 已知平面直角坐标系中，点 O 为原点， $A(-3, -4)$ ， $B(5, -12)$ . (1) 求 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标及 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 的值； (2) 若 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ ，求 $\overrightarrow{OC}$ 与 $\overrightarrow{OD}$ 的坐标； (3) 求 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ 的值.

5. 已知点 $A(1, 1)$, $B(-1, 0)$, $C(0, 1)$. 若 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, 则点 $D$ 的坐标是什么?

6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,0)$ ， $\boldsymbol{b}=(1,1)$ ， $\boldsymbol{c}=(-1,0)$ ，求满足 $c=\lambda a+\mu b$ 的 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值.

7. 已知 $\triangle ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 5)$, 求 $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ 的值.

8. 已知向量 $a = (1, 0)$, $b = (1, 1)$. 当 $\lambda$ 为何值时, $a + \lambda b$ 与 $a$ 垂直?

9. 已知向量 a 与 b 的夹角为 $30^{\circ}$ ， $|a| = \sqrt{3}$ ， $|b| = 2$ ，求 $|a + b|$ ， $|a - b|$ 的值.

10. 如图，支座 A 受 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 两个力的作用，已知 $F_{1}$ 与水平线成 $\theta$ 角， $|F_{1}| = 40 \, N$ ， $F_{2}$ 沿水平方向， $|F_{2}| = 70 \, N$ ， $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的合力 F 的大小为 100 N，求 $\cos \theta$ 以及 F 与 $F_{2}$ 的夹角 $\beta$ 的余弦值.

11. 在$\triangle ABC$中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到$1'$，边长精确到$0.01\ \text{cm}$）： (1) $a=12\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $A=120^\circ$; (2) $a=6\ \text{cm}$, $b=8\ \text{cm}$, $A=30^\circ$; (3) $a=7\ \text{cm}$, $b=23\ \text{cm}$, $C=130^\circ$; (4) $a=2\ \text{cm}$, $b=3\ \text{cm}$, $c=4\ \text{cm}$.

12. 海中有一座小岛，周围 3 n mile 内有暗礁. 一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东 $75^{\circ}$ ; 海轮航行 8 n mile 以后，望见该岛在北偏东 $55^{\circ}$ . 如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？

综合运用

13. 选择题

(1) 已知 $a, b$ 是不共线的向量, 且 $\overrightarrow{AB} = a + 5b$, $\overrightarrow{BC} = -2a + 8b$, $\overrightarrow{CD} = 3(a - b)$, 则 ( ). (A) $A, B, D$ 三点共线 (B) $A, B, C$ 三点共线 (C) $B, C, D$ 三点共线 (D) $A, C, D$ 三点共线

(2) 已知正方形 ABCD 的边长为 1， $\overrightarrow{AB}=a$ ， $\overrightarrow{BC}=b$ ， $\overrightarrow{AC}=c$ ，则 $|a+b+c|=(\quad)$ . (A) 0 (B) 3 (C) $\sqrt{2}$ (D) $2\sqrt{2}$

(3) 已知 $\overrightarrow{OA} = a, \overrightarrow{OB} = b, \overrightarrow{OC} = c, \overrightarrow{OD} = d$，且四边形 $ABCD$ 为平行四边形，则（）.

(A) $a + b + c + d = 0$ (B) $a - b + c - d = 0$

(C) $a + b - c - d = 0$ (D) $a - b - c + d = 0$

(4) 若 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的两个单位向量，则 $a=2e_{1}+e_{2}$ 与 $b=-3e_{1}+2e_{2}$ 的夹角为（）. (A) $30^{\circ}$ (B) $60^{\circ}$ (C) $120^{\circ}$ (D) $150^{\circ}$

(5) 已知等边三角形 $ABC$ 的边长为 1, $\overrightarrow{BC} = a$, $\overrightarrow{CA} = b$, $\overrightarrow{AB} = c$, 那么 $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a =$ ( ). (A) 3 (B) -3 (C) $\frac{3}{2}$ (D) $-\frac{3}{2}$

(6) 若平面向量 $a, b, c$ 两两的夹角相等，且 $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 3$，则 $|a + b + c| = (\quad)$. (A) 2 (B) 5 (C) 2 或 5 (D) $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$

14. 已知 $a, b, c, d$ 为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义. (1) $a \perp b \Leftrightarrow |a + b| = |a - b|$; (2) 若 $a + b = c$, $a - b = d$, 则 $|a| = |b| \Leftrightarrow c \perp d$.

15. 已知 $\triangle P_{1}P_{2}P_{3}$, 向量 $\overrightarrow{OP_{1}}$, $\overrightarrow{OP_{2}}$, $\overrightarrow{OP_{3}}$ 满足条件 $\overrightarrow{OP_{1}} + \overrightarrow{OP_{2}} + \overrightarrow{OP_{3}} = \mathbf{0}$, $|\overrightarrow{OP_{1}}| = |\overrightarrow{OP_{2}}| = |\overrightarrow{OP_{3}}|$. 求证: $\triangle P_{1}P_{2}P_{3}$ 是等边三角形.

16. 如图，已知 $\overrightarrow{OA} = a$，$\overrightarrow{OB} = b$，任意点 $M$ 关于点 $A$ 的对称点为 $S$，点 $S$ 关于点 $B$ 的对称点为 $N$，用 $a$，$b$ 表示向量 $\overrightarrow{MN}$。（本题可以运用信息技术发现规律）

17. 一个人骑自行车由 A 地出发向东骑行了 9 km 到达 B 地，然后由 B 地向南偏东 $30^{\circ}$ 方向骑行了 6 km 到达 C 地，再从 C 地向北偏东 $30^{\circ}$ 骑行了 16 km 到达 D 地，求这个人由 A 地到 D 地的位移（角度精确到 $1^{\circ}$ ）.

拓广探索

18. 设计一种借助两个观察点 $C, D$ （其中 $C, D$ 之间的距离是 $d$）测量航船的航向与速度的方法.

19. 如图，直线 $l$ 与 $\triangle ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 分别相交于点 $D$，$E$。设 $AB = c$，$BC = a$，$CA = b$，$\angle ADE = \theta$，请用向量方法探究 $\theta$ 与 $\triangle ABC$ 的边和角之间的等量关系。

用向量法研究三角形的性质

我们知道，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义。例如，向量加法和三角形、平行四边形有密切联系，数乘向量和平行、图形的相似有密切联系，而向量的数量积与距离、夹角有密切联系。向量运算与几何图形性质的这种内在联系，使我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、简捷呢？

在前面的学习中我们看到，“有了运算，向量的力量无限”。实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质，比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了。例如，平面几何中证明勾股定理时，需要添加辅助线、构造正方形等，不仅复杂，而且不容易想到。但用向量法，我们有：

如图1，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^{\circ}$ .根据向量的加法法则，有

$\overrightarrow {A B} = \overrightarrow {A C} + \overrightarrow {C B}.$

所以 $\overrightarrow{AB^2} = \overrightarrow{AC^2} +\overrightarrow{CB^2} +2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}.$

因为 $\overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{AC}$ ,

所以 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = 0.$

因此 $\overrightarrow{AB^2} = \overrightarrow{AC^2} +\overrightarrow{CB^2}.$

这个证明仅仅用到了 “三角形回路（向量加法）” 和数量积运算，而且证明过程是程序化的，充分体现了向量运算的作用，确实简单多了.

下面请同学们以向量为工具，展开一次数学探究之旅吧.

一、探究的内容：用向量法研究三角形的性质

三角形是简单而重要的平面图形，它是平面几何研究的主角。初中我们对三角形进行了较深入的研究，获得了许多性质。在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度重新审视研究对象，加深对数学对象的认识，而且可以有所发现。因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的。

1. 回顾初中研究三角形的过程，从研究的思路、内容、方法等角度进行梳理，并列出已经得到的结论.

2. 用向量方法对已证的结论进行证明，总结用向量方法处理几何问题的基本程序，并与平面几何中的推理论证过程进行比较，阐述各自的特点.

3. 用向量方法证明以往未加证明或你自己新发现的结论.

例如，在八年级，我们曾经学过三角形的中线，知道“三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心”。而物理学知识告诉我们，重心是物体各部分所受重力的合力的作用点，形状规则且密度均匀的物体的重心就是它的几何中心。“重心”是几何学和物理学的共同研究对象，应该是很重要的，但我们对它知之甚少。那么，它到底有哪些神秘的性质呢？

其实，从严谨性的角度看，三角形的两条中线相交于一点是肯定的，但第三条中线是否经过这个交点是需要证明的。下面我们就用向量方法来探究它是否成立。

如图2，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $BC$ ，CA， $AB$ 的中点，设 $BE$ ， $CF$ 交于一点 $O$ ，连接 $AO$ ， $OD$

取 $\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{OC}$ 为基底，并设 $\overrightarrow{EO}=t_{1}\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{FO}=t_{2}\overrightarrow{OC}$ ，则

$\overrightarrow {E C} = \overrightarrow {E O} + \overrightarrow {O C} = t _ {1} \overrightarrow {O B} + \overrightarrow {O C};$

$\overrightarrow {F B} = \overrightarrow {F O} + \overrightarrow {O B} = t _ {2} \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {O B}.$

图 2

所以

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {B C} = \overrightarrow {A C} - \overrightarrow {A B} = 2 \overrightarrow {E C} - 2 \overrightarrow {F B} \\ & = 2 (t _ {1} \overrightarrow {O B} + \overrightarrow {O C}) - 2 (t _ {2} \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {O B}) \\ & = 2 (t _ {1} - 1) \overrightarrow {O B} - 2 (t _ {2} - 1) \overrightarrow {O C}. \end{array}$

又因为 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OB}$ ，所以由平面向量基本定理，得

● ●

基底可以有不同的选择，你可以选择其他基底试一试.

$\left\{ \begin{array}{l} 2 (t _ {1} - 1) = - 1, \\ 2 (t _ {2} - 1) = - 1. \end{array} \right.$

解得

$t _ {1} = \frac {1}{2}, t _ {2} = \frac {1}{2}.$

所以

$\overrightarrow {E O} = \frac {1}{2} \overrightarrow {O B}, \overrightarrow {F O} = \frac {1}{2} \overrightarrow {O C}.$

因此

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {A O} & = \overrightarrow {F O} - \overrightarrow {F A} = \overrightarrow {F O} + \overrightarrow {F B} \\ & = \overrightarrow {F O} + \overrightarrow {F O} + \overrightarrow {O B} = \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {O B}, \end{array}$

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {O D} & = \overrightarrow {B D} - \overrightarrow {B O} = \frac {1}{2} \overrightarrow {B C} + \overrightarrow {O B} \\ & = \frac {1}{2} (\overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O B}) + \overrightarrow {O B} = \frac {1}{2} (\overrightarrow {O C} + \overrightarrow {O B}). \end{array}$

于是

$\overrightarrow {A O} = 2 \overrightarrow {O D}.$

这样，$\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{OD}$ 共线，即 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的 $BC$ 边上的中线，且过 $BE$，$CF$ 的交点 $O$. 所以，“三角形的三条中线交于一点”成立.

另外，你有没有发现， $\overrightarrow{EO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{FO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$ ， $\overrightarrow{DO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$ 。这表明：三角形的重心分每条中线为1:2的两条线段，即三角形的重心是中线的三等分点。这样，我们在证明三角形的三条中线交于一点的过程中，“顺便”得到了三角形的一个重要性质。是不是很有趣？

如果把眼光聚焦在三角形的边、外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等，你还可以发现更多的性质.

二、对探究活动的要求

以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动.

建议按如下步骤完成：

1. 小组集体讨论探究方案，确定研究思路；

2. 小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告；

3. 小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告；

4. 全班进行成果交流、评价.

三、研究报告的参考形式

用向量法研究三角形的性质

____年级____班

完成时间：____

4. 结论的证明或否定

5. 用向量方法探索几何图形性质的一般步骤

6. 收获与体会

第七章复数

我们知道，对于实系数一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，当 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ 时没有实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决。事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避。到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决。在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等。

本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.