浙江 2025 · 数学 q09

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正三棱柱（底边 2，高 $h$ 任取）· 蓝面 = 平面 AA₁D，D 是 BC 的中点

机位1题图角度2正对 AA₁D3沿 AA₁D 看4俯视自由视角

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先把「正三棱柱」这个词拆开读（两条路共用）

假设你刚学到立体几何的线面关系。这道多选题不需要任何技巧，它的全部信息压在题面第一个词里——正三棱柱：

• 底面是正三角形；
• 侧棱垂直于底面（所以 $AA_1,BB_1,CC_1$ 互相平行、长度相等，且都垂直于两个底面）。

把这两句话展开，白送两件事实，下面两条路都要反复用：

事实①（竖直方向）：$AA_1\perp$ 平面 $ABC$，于是 $AA_1$ 垂直于底面里的每一条直线——特别地 $AA_1\perp AD$、$AA_1\perp BC$。又 $CC_1\parallel AA_1$。

事实②（底面里）：底面是正三角形、$D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $AD$ 既是中线也是高（等腰三角形三线合一，初中的东西），即 $\boxed{AD\perp BC}$。

四个选项在问什么。 B、C 问的是「一条线与平面 $AA_1D$」，A、D 问的是「两条线之间」。所以先把平面 $AA_1D$ 看清楚：它由竖直的 $AA_1$ 和底面里的 $AD$ 撑起来——想象一张纸片，沿着底面里的 $AD$ 那条线竖着立起来，它含 $A$、$A_1$、$D$ 三点。

• A：$AD\perp A_1C$；　B：$BC\perp$ 平面 $AA_1D$；
• C：$CC_1\parallel$ 平面 $AA_1D$；　D：$AD\parallel A_1B_1$。

下面两条路：第一条一个数字都不算，只把课本判定定理要的前提凑齐；第二条建坐标系，把四个判断全变成算术。

解法一：判定定理直接推

怎么想到的。 四个选项问的全是垂直 / 平行，而课本对线面垂直、线面平行各给了一条判定定理，它们要的前提恰好就是刚才白送的那两件事实——前提现成，就没必要先建系。顺序上先做要肯定的两条（B、C，判定定理正着用一次就完），再做要否定的两条（A、D）；否定一个命题没有正面工具，标准做法是反证法：先假设它成立，看能不能撞出矛盾。

B：$BC\perp$ 平面 $AA_1D$。 线面垂直的判定定理要的是「这条线垂直于平面内两条相交直线」。盯住 $BC$，在平面 $AA_1D$ 里找这两条：

• $AA_1\perp BC$（事实①）；
• $AD\perp BC$（事实②）。

而 $AA_1$、$AD$ 都在平面 $AA_1D$ 内，且交于点 $A$。相交这一句不能省——两条平行线撑不起一个平面的全部方向，垂直于它们推不出垂直于平面。前提齐了，定理直接给出 $BC\perp$ 平面 $AA_1D$——B 对。

C：$CC_1\parallel$ 平面 $AA_1D$。 线面平行的判定定理要两句：平面内有一条平行线，且这条线本身在平面外。

• 平面内的那条：$CC_1\parallel AA_1$（事实①），而 $AA_1\subset$ 平面 $AA_1D$；
• 在平面外：假设 $CC_1$ 落在平面 $AA_1D$ 里，那么 $C$ 也在这个平面里，于是这个平面含底面里不共线的三点 $A$、$D$、$C$——那它就是底面 $ABC$ 本身；可 $A_1$ 不在底面上，矛盾。所以 $CC_1\not\subset$ 平面 $AA_1D$。

两句都有，定理给出 $CC_1\parallel$ 平面 $AA_1D$——C 对。

A：$AD\perp A_1C$ 吗？ 反设 $AD\perp A_1C$。手上还有一条现成的 $AD\perp AA_1$（事实①）。$AA_1$ 与 $A_1C$ 相交于 $A_1$、且都在平面 $AA_1C$ 内——于是再用一次线面垂直的判定定理，这次得到的是一个更强的结论：

$$AD\perp\text{平面 }AA_1C$$

而一条直线垂直于一个平面，就垂直于这个平面内的每一条直线（这是「线面垂直」的定义本身）。$AC$ 就在平面 $AA_1C$ 内，故 $AD\perp AC$。可是 $AD$、$AC$ 都躺在底面里：$AD$ 是正三角形的中线，同时平分顶角 $\angle BAC=60^\circ$，所以

$$\angle DAC=30^\circ\neq 90^\circ$$

矛盾。反设不成立，$AD$ 与 $A_1C$ 不垂直（A 错）。

D：$AD\parallel A_1B_1$ 吗？ 反设 $AD\parallel A_1B_1$。棱柱的上下底面全等且对应边平行，故 $A_1B_1\parallel AB$；平行有传递性，于是 $AD\parallel AB$。但 $AD$ 与 $AB$ 都过点 $A$，两条过同一点的平行线只能是同一条线——而 $D$ 在 $BC$ 上、不在直线 $AB$ 上，$AD$ 与 $AB$ 不是同一条。矛盾（D 错）。

成立的是 B、C。

解法二：建系算坐标

怎么想到的。 解法一每一步都要现找：找平面内的两条相交直线、找平面内的一条平行线、给要否掉的两条各设计一个反设。找得到就极快，找不到就卡住，而且「$AD$ 到底垂不垂直 $A_1C$」这种看着很像的选项，靠肉眼是判不了的。空间向量法把判断换成算术：建一个坐标系，每个点写成三个数，然后

• 两线垂直 $\Leftrightarrow$ 两个方向向量的点积为 $0$；
• 两线平行 $\Leftrightarrow$ 两个方向向量成比例；
• 线面垂直 $\Leftrightarrow$ 直线的方向向量与平面的法向量共线（法向量 = 与这张平面垂直的向量）；
• 线面平行 $\Leftrightarrow$ 方向向量与法向量点积为 $0$，且直线不在平面内。

不需要灵感了，只需要别算错。

① 建系：原点选 $D$。 因为 $D$ 正好是两条互相垂直的线 $AD$ 与 $BC$ 的交点（事实②），再配上竖直方向，三根互相垂直的轴现成：$x$ 轴沿 $DA$、$y$ 轴沿 $DB$、$z$ 轴竖直向上。底边长题目没给，取 $2$ 最省事（正三角形边长 $2$ 时高 $AD=\sqrt3$）；侧棱长也没给，记作 $h$——下面会看到四个判断都与 $h$ 无关，这正说明题目不给它是合理的。于是

$$D(0,0,0),\ A(\sqrt3,0,0),\ A_1(\sqrt3,0,h),\ B(0,1,0),\ B_1(0,1,h),\ C(0,-1,0),\ C_1(0,-1,h)$$

② 平面 $AA_1D$ 是哪一张？ $D$、$A$、$A_1$ 三点的 $y$ 坐标都是 $0$，所以

$$\text{平面 }AA_1D:\ y=0$$

它的法向量一眼就能取：$\vec n=(0,1,0)$（官方解析在这里老老实实解了一遍方程组，结果一样——建系选得好，这一步可以白拿）。

③ 逐项算。（用到的只有向量的坐标运算两条：向量 = 终点坐标减起点坐标；点积 = 对应分量乘积之和。）

• A：$\vec{AD}=(-\sqrt3,0,0)$，$\vec{A_1C}=(-\sqrt3,-1,-h)$，点积 $=3+0+0=3\neq0$ → 不垂直，A 错。
• B：$\vec{BC}=(0,-2,0)=-2\,\vec n$，方向向量与法向量共线 → $BC\perp$ 平面 $AA_1D$，B 对。
• C：$\vec{CC_1}=(0,0,h)$，$\vec{CC_1}\cdot\vec n=0$；且 $C$ 的 $y$ 坐标是 $-1$，整条 $CC_1$ 都在 $y=-1$ 上、不在 $y=0$ 里 → $CC_1\parallel$ 平面 $AA_1D$，C 对。
• D：$\vec{AD}=(-\sqrt3,0,0)$，$\vec{A_1B_1}=(-\sqrt3,1,0)$。若平行则各分量成比例，可 $x$ 分量的比是 $1$、$y$ 分量的比是 $0$ → 不成比例，不平行，D 错。

A 项那个点积 $3$ 里没有 $h$：不论棱柱多高，$AD$ 与 $A_1C$ 都不垂直。C 项那句「整条在 $y=-1$ 上」就是「直线不在平面内」的坐标版说法。

成立的是 B、C，故选 BC。

两条路差在哪

解法一一个数字都不算，正着要肯定的两条（B、C）各套一次判定定理就完，快得很；代价是要否定的两条（A、D）每条都得单独设计一个反设，撞哪个矛盾全靠临场找。解法二把四个选项压成同一套动作（写坐标 → 算点积或比例），多算几步，但不用临场想任何东西，而且它顺手回答了解法一看不见的问题：A 项差多少——点积是 $3$，且与侧棱长 $h$ 无关。

多选题里最怕的就是「看着像」。坐标法的价值正在于把「像不像」换成「等不等于 $0$」。

🕳️ 避坑

• A 最迷惑：$AD$ 确实垂直于侧面 $BCC_1B_1$（它同时垂直 $BC$ 与 $CC_1$），但 $A_1C$ 不在那个侧面里，所以那份垂直帮不上 A——老老实实算，点积是 $3$。
• 用线面垂直的判定定理时，平面内那两条线必须相交（本题是 $AA_1\cap AD=A$）。只找到一条、或找到两条平行的，都推不出线面垂直。
• 线面平行别漏掉「直线不在平面内」那半句：若不要求它，$AA_1$ 自己也「平行于平面 $AA_1D$」了。本题这半句由 $CC_1$ 落在 $y=-1$ 上兑现。
• D 项别被「上下底面对应边平行」带跑：$A_1B_1\parallel AB$ 是对的，但 $AD$ 与 $AB$ 是过同一点 $A$ 的两条相交直线，所以 $AD$ 与 $A_1B_1$ 不可能平行。