8.5.2 直线与平面平行

人教 A 版 · 本节 4 页原书扫描（原文）+ 本站重写的讲解与习题详解考过 10 题 ↓

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本节的知识树

1 定理 · 最深 1 层。根是引本节作教材出处的实体，长链由 `prereqs` 构建期派生——源里只有最小一步。

考过本节的真题

共 10 道

讲解

本站对这一节的重写（不是原书转写）：顺序可重组、推导可补全，目标是易读易学 + 与真题关联。原文以上方扫描图为准。

本节讲直线与平面平行的两个定理：判定定理回答”怎么知道一条直线与一个平面平行”，性质定理回答”既然平行了，能拿回什么”。

先说这一节最要紧的姿势：把线面问题翻译成线线问题。直线与平面的关系在空间里难直接看，直线与直线的关系在平面上好办得多——两个定理干的都是这个翻译，只是一来一回：

线线平行→判定定理线面平行→性质定理线线平行\text{线线平行} \xrightarrow{\text{判定定理}} \text{线面平行} \xrightarrow{\text{性质定理}} \text{线线平行}

上承 §8.5.1 的线线平行，下启 §8.5.3 的面面平行（判定面面平行时，先在面内找两条相交直线，再分别证它们与另一面平行——又用回本节）。

一、判定定理：把”没有公共点”变成能验的条件

定义说直线与平面平行就是它们没有公共点。但定义没法直接用：直线无限延伸、平面无限延展，怎么证明”永远没有公共点”？课本于是给了判定定理：

定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

符号表示：

a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.a \not\subset \alpha, \quad b \subset \alpha, \quad a \parallel b \quad \Rightarrow \quad a \parallel \alpha .

三个前提，一个都不能少：

  1. b⊂αb \subset \alpha——平面内得先有一条直线 bb；
  2. a∥ba \parallel b——要证的直线 aa 与 bb 平行；
  3. a⊄αa \not\subset \alpha——aa 必须在平面外。

第 3 条最容易丢，也最致命：如果 a⊂αa \subset \alpha，那么 aa 与 α\alpha 有无数公共点（整条 aa 都在平面里），aa 与 α\alpha 内某条直线平行是家常便饭，但”直线在平面内”与”直线与平面平行”是两回事。前两条保证”平行于面内一条线”，第三条保证”这条线不在面内”——三者合起来，aa 与 α\alpha 才确实没有公共点。

为什么这个判定是可靠的（课本的观察）：门扇的两边平行，绕固定的一边转动时，另一边始终与固定边平行、于是始终与墙面无公共点；硬纸板绕边 DCDC 转动时，ABAB 与 DCDC 平行，DCDC 紧贴桌面，ABAB 就碰不到桌面。直觉背后的道理正是：面内那条平行线像”轨道”，面外的直线顺着轨道延伸，永远不落地。实际应用也有——装矩形镜子时，只要让镜子上边框平行于”天花板与墙面的交线”（这条交线在天花板内），上边框就平行于天花板。

二、例 2：判定定理的一次完整出场

空间四边形 ABCDABCD 中，EE，FF 分别是 ABAB，ADAD 的中点。求证：EF∥EF \parallel 平面 BCDBCD。

标准证法三步，每一步都有名有姓：

  1. 中位线（平面几何）：在 △ABD\triangle ABD 中，EE，FF 分别是 ABAB，ADAD 的中点，所以 EFEF 是 △ABD\triangle ABD 的中位线， EF∥BD.EF \parallel BD .
  2. 面内找线：BD⊂BD \subset 平面 BCDBCD——判定定理需要的”面内一条直线”找到了，就是 BDBD；
  3. 验平面外：EF⊄EF \not\subset 平面 BCDBCD。为什么？AA 不在平面 BCDBCD 内（空间四边形 AA、BB、CC、DD 不共面），而 E∈ABE \in AB 且 E≠BE \neq B，所以 EE 不在平面 BCDBCD 内，直线 EFEF 更不可能在平面 BCDBCD 内。

于是由判定定理，EF∥EF \parallel 平面 BCDBCD。

第三步最容易被吞掉——很多同学写”EF∥BDEF \parallel BD，BD⊂BD \subset 平面 BCDBCD，所以 EF∥EF \parallel 平面 BCDBCD“，漏了 EF⊄EF \not\subset 平面 BCDBCD。判卷和推理都一样：判定定理是”三段论”，缺第三段就只是线线平行。

这一例教会你的动作：证线面平行，就是在平面内找一条与面外直线平行的直线——平面几何里的中位线、平行四边形对边、比例线段，都是候选。找得到，就只剩”验平面外”这一步了。

三、性质定理：从线面平行能拿回一条线线平行

判定定理是充分条件：由线线平行推线面平行。反过来，已知 a∥αa \parallel \alpha，能推出什么？

先看面内的直线与 aa 的关系：aa 与 α\alpha 无公共点，所以 aa 与 α\alpha 内任何直线都无公共点——面内的直线与 aa 要么异面、要么平行。平行的那个分支什么时候出现？两条直线平行，当且仅当它们共面（同在某个平面内且无公共点）。于是构造的办法来了：过 aa 任取一个平面 β\beta，若 β\beta 与 α\alpha 相交于直线 bb，则 bb 与 aa 同在 β\beta 内、又无公共点（b⊂αb \subset \alpha，而 a∥αa \parallel \alpha），所以 a∥ba \parallel b。

定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

符号表示：

a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.a \parallel \alpha, \quad a \subset \beta, \quad \alpha \cap \beta = b \quad \Rightarrow \quad a \parallel b .

“过该直线的平面”这个条件不能省：并不是 α\alpha 内随便哪条直线都与 aa 平行。α\alpha 内与 aa 平行的直线，恰好是”过 aa 的平面与 α\alpha 的交线”这一族——反过来，过 aa 与这条直线作平面（基本事实的推论 3 保证存在且唯一），它与 α\alpha 的交线正是这条直线；其余的面内直线与 aa 无公共点、但方向不同，是异面关系。所以性质定理给的是”已知线面平行，去找那条与 aa 共面的面内直线”：过 aa 作平面（通常借助题目里现成的平面），与 α\alpha 的交线即为所求。它同时给出了一种作平行线的方法。

四、例 3：两个定理合起来用——木料画线

一块木料中，棱 BCBC 平行于面 A′C′A'C'（上底面）。要在面 A′C′A'C' 内过一点 PP 和棱 BCBC 将木料锯开，问（1）怎么画线，（2）所画的线与平面 ACAC（前面）是什么位置关系。

（1）画线的思路：锯开的面是”过直线 BCBC 和它外一点 PP“的平面——这样的平面由基本事实的推论 1（过一条直线和直线外一点有且只有一个平面）确定。这个截面与上底面 A′C′A'C' 相交于一条过 PP 的直线，而 BC∥BC \parallel 面 A′C′A'C'，由性质定理，BCBC 平行于这条交线。所以：

  1. 在平面 A′C′A'C' 内过 PP 作直线 EFEF，使 EF∥B′C′EF \parallel B'C'（B′C′∥BCB'C' \parallel BC——侧面 BC′BC' 与上底面的交线就是 B′C′B'C'，由性质定理 BC∥B′C′BC \parallel B'C'）；
  2. 连接 BEBE，CFCF（在两侧面上）。

EFEF，BEBE，CFCF 就是应画的线。这里性质定理两次出场：先用它把”BC∥BC \parallel 面 A′C′A'C'“翻译成"BC∥B′C′BC \parallel B'C'"，再用它保证截面与上底面的交线过 PP 且平行于 BCBC。

（2）位置关系：EF∥B′C′∥BCEF \parallel B'C' \parallel BC，而 BC⊂BC \subset 平面 ACAC、EF⊄EF \not\subset 平面 ACAC，由判定定理，EF∥EF \parallel 平面 ACAC；BEBE，CFCF 都穿过前面（分别过 BB，CC），与平面 ACAC 相交。

这道例题的价值：画截面问题里，交线往往不能直接画出，得靠”线面平行 → 交线平行”来定方向，再靠判定定理来验位置——两个定理一前一后，配合基本事实 4 和推论 1 把线接上。

五、易错清单

按失分频率排：

  1. 判定定理漏验”直线在平面外”（a⊄αa \not\subset \alpha）。最常见的写法是”EF∥BDEF \parallel BD，BD⊂BD \subset 平面 BCDBCD，所以 EF∥EF \parallel 平面 BCDBCD“——缺第三段。验法：找一个 EFEF 上的点（如 EE），说明它不在目标平面内即可。
  2. 由 a∥αa \parallel \alpha 推出 aa 与 α\alpha 内所有直线平行。aa 与 α\alpha 内任何直线都无公共点，但”无公共点”既可能是平行、也可能是异面——只有”过 aa 的平面与 α\alpha 的交线”这类面内直线才与 aa 平行，其余全是异面。
  3. 由 a∥αa \parallel \alpha 且 b∥αb \parallel \alpha 推出 a∥ba \parallel b。线面平行对”两条面外直线互相平行”没有任何承诺——它们可以相交、可以异面。§8.5.2 练习第 3 题（3）问的正是这个陷阱。
  4. 由 a∥ba \parallel b、b⊂αb \subset \alpha 推出 a∥αa \parallel \alpha。差一个 a⊄αa \not\subset \alpha：若 aa 本身就在平面内，命题不成立（练习第 3 题（4））。
  5. 性质定理拿错方向：它是”已知线面平行”才可用，不能反过来拿”线线平行”当交线结论；找平行线时过 aa 的平面必须是题目里真实存在的面，凭空作面再自设交线，逻辑就断了。
  6. 中位线条件记不牢：例 2 里 EE、FF 必须是中点才有 EF∥BDEF \parallel BD；换成”三等分点”之类，EFEF 仍与 BDBD 平行（由比例），但”中位线”三个字就说不出口，证法要换成平行线分线段成比例。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单。这一节的两道门是立体几何解答题的常客，下面几道按这个顺序读：

  • 先做 2025 新课标Ⅰ卷第 9 题（正三棱柱，DD 为 BCBC 中点，判断四个选项）：C 项”CC1∥CC_1 \parallel 平面 AA1DAA_1D“就是判定定理的最小用法——面内找一条平行线（AA1AA_1），再验 CC1CC_1 在面外；D 项"AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1"则是送分反例（ADAD 与 ABAB 相交，而 A1B1∥ABA_1B_1 \parallel AB）。一题把”找得到线”和”别乱找线”都练了。
  • 再做 2024 新课标Ⅰ卷第 17 题第（1）问（四棱锥里证 AD∥AD \parallel 平面 PBCPBC）：判定定理在证明题里的标准出场——先在底面里绕一圈垂直（AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2 得 AB⊥BCAB \perp BC，AD⊥PBAD \perp PB 加 PA⊥PA \perp 底面推出 AD⊥ABAD \perp AB），凑出 AD∥BCAD \parallel BC，再用判定定理收尾。练的是”证明线面平行的前面往往藏着一串线线关系”。
  • 最后是 2021 浙江卷第 6 题（正方体，MM，NN 分别是 A1DA_1D，D1BD_1B 的中点）：这一节的上限。关键动作是认出 MM，NN 分别是 △A1DB1\triangle A_1DB_1 两条边的中点——中位线 MN∥A1B1MN \parallel A_1B_1，于是 MN∥MN \parallel 平面 ABCDABCD；同时还得处理 A1DA_1D 与 D1BD_1B 的异面垂直。它要求”中位线 + 判定定理”在立体图形里一次找齐，是本节知识在选择题里的最典型考法。

习题详解（本站解答，无官方答案可核）

人教 A 版学生用书不含答案，教师用书与全解不在本站语料里——因此本节习题的解答无官方答案可核，它们是本站写的。每一道都过了独立 verifier 的 refute 优先复核（默认它有问题，找不出问题才放行），但那不等于官方标准答案：拿它对思路，别拿它对分。

本节页面（第 142–145 页）上共有 5 道课本习题：第 142 页「练习」4 道、第 145 页「练习」第 1 题。这里 5 道全做。

两点说明：

  • 第 142 页的「练习」印在本节目录的第 142 页上，但它在课本里排在第 8.5.1 节（直线与直线平行）末尾——考的是平行公理（基本事实 4）与等角定理，正是本节的直接前置。§8.5.1 不在本票的节清单里，这份详解把它一并做了。
  • 第 145 页「练习」的第 2–4 题（正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中判断 BD1BD_1 与平面 AECAEC 的位置关系、判断命题真假、求证 a∥b∥ca\parallel b\parallel c）的题干文字接排在第 146 页开头，而第 146 页属于 §8.5.3 的目录；本节转写（第 142–145 页）里只有第 2 题的图。题面引文必须逐字引本节转写、不许补字，所以这三道无法在这里逐字引全，本节不收；完整题面可以在第 145、146 页的扫描图上读到。

练习（第 142 页）第 1 题

  1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？

(第1题)

互相平行。

理由是每一次对折的折痕方向都相同。具体说：把矩形纸片对折时，纸片的两条长边（或两条短边）完全重合，折痕是这两条边的对称轴——夹在它们中间的中线，平行于重合的这一对边；按同一方向继续叠折（每次都让同一对边重合），新的折痕与第一条折痕平行。于是所有折痕都平行于矩形纸片的同一条边（同一条直线），由基本事实 4（平行于同一条直线的两条直线互相平行），它们彼此平行。

自检：把纸片展开后，折痕是一条条等距的平行线——图上画的就是这个形状；若有一条折痕方向不同（比如横折一下），它就与其余的垂直了，题目说的”对折几次”是按同一方向叠折，不会出现这种情况。

这道题的关键动作：把”折痕互相平行”翻译成”所有折痕都平行于同一条直线”，再用基本事实 4 收口——它练的就是平行公理（传递性）本身。

练习（第 142 页）第 2 题

  1. 如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，与棱 AA′AA' 平行的棱共有几条？分别是什么？

(第2题)

共有 3 条：BB′BB'，CC′CC'，DD′DD'。

长方体有 12 条棱：下底面 4 条（ABAB，BCBC，CDCD，DADA）、上底面 4 条（A′B′A'B'，B′C′B'C'，C′D′C'D'，D′A′D'A'）、侧棱 4 条（AA′AA'，BB′BB'，CC′CC'，DD′DD'）。逐类看：

  • 侧棱：在面 ABB′A′ABB'A' 中 AA′∥BB′AA' \parallel BB'，在面 BCC′B′BCC'B' 中 BB′∥CC′BB' \parallel CC'，在面 ADD′A′ADD'A' 中 AA′∥DD′AA' \parallel DD'。由基本事实 4（传递性），四条侧棱互相平行，所以 BB′BB'，CC′CC'，DD′DD' 都与 AA′AA' 平行。
  • 底面四条：ABAB，ADAD 与 AA′AA' 交于点 AA，BCBC，CDCD 与 AA′AA' 异面，且底面四条棱都在底面内，方向与侧棱不同，都与 AA′AA' 不平行。
  • 顶面四条：A′B′A'B'，A′D′A'D' 与 AA′AA' 交于点 A′A'，B′C′B'C'，C′D′C'D' 与 AA′AA' 异面，也都不平行。

所以与 AA′AA' 平行的棱只有其余 3 条侧棱。

自检：把长方体转个方向看——四条侧棱像四根竖直的柱子，方向全一致，任意一条都与其他三条平行；水平方向的 8 条棱方向都不同，不可能平行。

这道题的关键动作：把棱按”方向”分类——侧棱一个方向、底面（顶面）两条边各一个方向；平行只可能发生在同一类里。

练习（第 142 页）第 3 题

  1. 如图， AA′AA' ， BB′BB' ， CC′CC' 不共面，且 AA′⊥⊥BB′AA'\perp\perp BB' ， BB′⊥⊥CC′BB'\perp\perp CC' ．求证： △ABC≅△A′B′C′\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'

(第3题)

先说一处转写噪声：题面引文里的"⊥⊥\perp\perp"是转写引擎把课本的记号拆坏的产物——原书印的是”平行且相等”号（平行号 ∥\parallel 下方带等号），第 3 题图里三条线段 AA′AA'，BB′BB'，CC′CC' 也画成互相平行、等长。所以本题条件读作：

AA′∥BB′∥CC′,AA′=BB′=CC′.AA' \parallel BB' \parallel CC', \qquad AA' = BB' = CC'.

（三线”不共面”保证它们是三条互不重合的空间平行线，图形是一个斜置的三棱柱形。）

证明：

  1. 由 AA′∥BB′AA' \parallel BB' 且 AA′=BB′AA' = BB'：四边形 ABB′A′ABB'A' 的一组对边平行且相等，故 ABB′A′ABB'A' 是平行四边形，于是

    AB∥A′B′,AB=A′B′.AB \parallel A'B' , \qquad AB = A'B'.

  2. 由 BB′∥CC′BB' \parallel CC' 且 BB′=CC′BB' = CC'：同理，四边形 BCC′B′BCC'B' 是平行四边形，

    BC∥B′C′,BC=B′C′.BC \parallel B'C' , \qquad BC = B'C'.

  3. 由基本事实 4，AA′∥CC′AA' \parallel CC'；又 AA′=BB′=CC′AA' = BB' = CC'，故 AA′=CC′AA' = CC'。于是四边形 ACC′A′ACC'A' 的一组对边平行且相等，也是平行四边形，

    AC∥A′C′,AC=A′C′.AC \parallel A'C' , \qquad AC = A'C'.

  4. 三对对应边分别相等：

AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,AB = A'B', \qquad BC = B'C', \qquad AC = A'C',

由三边（SSS）判定定理，△ABC≅△A′B′C′\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'。证毕。

自检：图中 A′B′A'B'，B′C′B'C' 画成虚线（被几何体遮挡），正是”对应边分别平行”的样子；三对对应边等长对上了 SSS，结论与图一致。

这道题的关键动作：把”平行且相等”翻译成平行四边形——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而平行四边形又给出另一组对边平行且相等，三组对应边就全等号了。

练习（第 142 页）第 4 题

  1. 如图，在四面体 A−BCDA-BCD 中，E,F,GE, F, G 分别为 AB,AC,ADAB, AC, AD 上的点。若 EF∥BC,FG∥CDEF \parallel BC, FG \parallel CD，则 △EFG\triangle EFG 和 △BCD\triangle BCD 有什么关系？为什么？

(第4题)

△EFG\triangle EFG 与 △BCD\triangle BCD 相似（对应边分别平行，相似比为 AEAB\dfrac{AE}{AB}）。

分三步推：

第一步，把两条已知平行翻译成比例。 在 △ABC\triangle ABC 中，E∈ABE \in AB，F∈ACF \in AC，EF∥BCEF \parallel BC，由平行线分线段成比例得

AEAB=AFAC.\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}.

在 △ACD\triangle ACD 中，F∈ACF \in AC，G∈ADG \in AD，FG∥CDFG \parallel CD，同理

AFAC=AGAD.\frac{AF}{AC} = \frac{AG}{AD}.

合起来：

AEAB=AFAC=AGAD.\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{AG}{AD}.

第二步，用比例推出第三条平行。 在 △ABD\triangle ABD 中，E∈ABE \in AB，G∈ADG \in AD，且 AEAB=AGAD\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AG}{AD}，由平行线分线段成比例的逆定理，EG∥BDEG \parallel BD。

第三步，用等角定理收口。 三个角逐对看：

  • ∠EFG\angle EFG 的两边 FEFE，FGFG 分别平行于 ∠BCD\angle BCD 的两边 CBCB，CDCD；
  • ∠FEG\angle FEG 的两边 FEFE，EGEG 分别平行于 ∠CBD\angle CBD 的两边 CBCB，BDBD；
  • ∠EGF\angle EGF 的两边 GFGF，GEGE 分别平行于 ∠BDC\angle BDC 的两边 DCDC，DBDB。

由等角定理（两边分别对应平行，且对应方向一致，取”相等”那一支），三对对应角分别相等：

∠EFG=∠BCD,∠FEG=∠CBD,∠EGF=∠BDC.\angle EFG = \angle BCD, \quad \angle FEG = \angle CBD, \quad \angle EGF = \angle BDC .

三对角分别相等，故 △EFG∼△BCD\triangle EFG \sim \triangle BCD。

（由第一步的比例还可得对应边成比例 EF:BC=FG:CD=EG:BD=AE:ABEF : BC = FG : CD = EG : BD = AE : AB，相似比就是 AEAB\dfrac{AE}{AB}；当 EE，FF，GG 分别取在各棱中点时，相似比是 12\dfrac{1}{2}，两三角形不全等。）

自检：把四面体沿 AA 点”缩小”来看——EE，FF，GG 分别是 ABAB，ACAC，ADAD 上的点，三角形 EFGEFG 就是三角形 BCDBCD 在四面体内部的缩小版，对应边平行，正对应”相似”这个结论。

这道题的关键动作：两条已知平行只够推比例，比例再推第三条平行（EG∥BDEG \parallel BD），最后用等角定理把三对角对应起来——“平行 → 比例 → 平行”这个链条是这类题的固定动作。

练习（第 145 页）第 1 题

  1. 如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' 中，

(1) 与 AB 平行的平面是 ____;

(2) 与 AA′AA' 平行的平面是 ____ ;

(3) 与 AD 平行的平面是 ____ .

(第1题)

（1）平面 A′B′C′D′A'B'C'D'，平面 DCC′D′DCC'D'。

下底面 ABCDABCD 与前面 ABB′A′ABB'A' 都含有棱 ABAB 本身，与 ABAB 不平行（相交、甚至包含）。不含 ABAB 的四个面里：

  • 上底面 A′B′C′D′A'B'C'D' 含棱 A′B′A'B'，A′B′∥ABA'B' \parallel AB，且 ABAB 不在上底面内——由判定定理，AB∥AB \parallel 平面 A′B′C′D′A'B'C'D'；
  • 后面 DCC′D′DCC'D' 含棱 DCDC，DC∥ABDC \parallel AB，且 ABAB 不在后面内——AB∥AB \parallel 平面 DCC′D′DCC'D'；
  • 左面 ADD′A′ADD'A' 与右面 BCC′B′BCC'B' 分别含有与 ABAB 相交的棱 ADAD，BCBC（都过 ABAB 的一个端点），都与 ABAB 相交，不平行。

所以是上底面 A′B′C′D′A'B'C'D' 和后面 DCC′D′DCC'D'。

（2）平面 BCC′B′BCC'B'，平面 DCC′D′DCC'D'。

AA′AA' 是左前侧棱。不含 AA′AA' 的四个面里，右面 BCC′B′BCC'B' 含 BB′∥AA′BB' \parallel AA'、后面 DCC′D′DCC'D' 含 CC′∥AA′CC' \parallel AA'；上底面、下底面分别过 A′A'、AA，与 AA′AA' 相交，不平行。所以是右面 BCC′B′BCC'B' 和后面 DCC′D′DCC'D'。

（3）平面 A′B′C′D′A'B'C'D'，平面 BCC′B′BCC'B'。

ADAD 是左前底棱。不含 ADAD 的四个面里，上底面 A′B′C′D′A'B'C'D' 含 A′D′∥ADA'D' \parallel AD、右面 BCC′B′BCC'B' 含 BC∥ADBC \parallel AD；前面 ABB′A′ABB'A' 与 ADAD 交于点 AA，后面 DCC′D′DCC'D' 与 ADAD 交于点 DD，都不平行。而左面 ADD′A′ADD'A' 与底面 ABCDABCD 都含有 ADAD 本身，排除。所以是上底面 A′B′C′D′A'B'C'D' 和右面 BCC′B′BCC'B'。

一处补全：上面数的是长方体的六个面（课本填空的意图）。若把对角面也算上，每个答案还各多一个——例如过 A′B′A'B' 与 CDCD 的平面（面 A′B′CDA'B'CD）也由判定定理与 ABAB 平行（它含 A′B′∥ABA'B' \parallel AB，而 ABAB 不在其内）。这类对角面不是本题的考点，写进答案只会让填空变乱。

自检：三条答案各含两个面，两两都与对应棱”方向一致”——ABAB（左右方向）配的是含 A′B′A'B' 或 DCDC 的面（与 ABAB 平行的棱还有 D′C′D'C'，也在上底面内），AA′AA'（竖直方向）配的是含 BB′BB' 或 CC′CC' 的面（与 AA′AA' 平行的还有 DD′DD'，它在含 AA′AA' 的左面内，排除），ADAD（前后方向）配的是含 A′D′A'D' 或 BCBC 的面（与 ADAD 平行的还有 B′C′B'C'，也在上底面内）；每个方向恰好两个面。

这道题的关键动作：在长方体里找”方向相同”的棱——与棱 ABAB 平行的棱有 A′B′A'B'，DCDC，D′C′D'C' 三条（D′C′D'C' 与 A′B′A'B' 同在上底面内），含这三条棱的面（上底面与后面，共两个）就是答案；顺带把”判定定理要验直线在平面外”这一条练了一遍（每题都要排除含该棱本身的两个面）。

原书转写（OCR，供核对）

共 4 页· 默认折起

机器转写，如有出入以上方扫描图为准。它是原文可搜索、可复制公式、读屏器读得出的形态， 也是教材原文引文的逐字比对靶。

∴ 四边形 ADD′A′ADD'A' 是平行四边形.

∴AA′∥‾DD′.\therefore A A ^ {\prime} \underline {{\parallel}} D D ^ {\prime}.

同理可证 AA′∥EE′AA' \parallel EE' .

∴DD′∥‾EE′.\therefore \quad D D ^ {\prime} \underline {{\parallel}} E E ^ {\prime}.

∴ 四边形 DD′E′EDD'E'E 是平行四边形.

∴DE=D′E′.\therefore \quad D E = D ^ {\prime} E ^ {\prime}.

∴△ADE≅△A′D′E′.\therefore \quad \triangle A D E \cong \triangle A ^ {\prime} D ^ {\prime} E ^ {\prime}.

图8.5-5

∴∠BAC=∠B′A′C′.\therefore \quad \angle B A C = \angle B ^ {\prime} A ^ {\prime} C ^ {\prime}.

对于图 8.5-4(2) 的情形，请同学们自己给出证明.

这样，我们就得到了下面的定理：

定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

练习

  1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？

(第1题)

(第2题)

  1. 如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，与棱 AA′AA' 平行的棱共有几条？分别是什么？

  2. 如图， AA′AA' ， BB′BB' ， CC′CC' 不共面，且 AA′⊥⊥BB′AA'\perp\perp BB' ， BB′⊥⊥CC′BB'\perp\perp CC' ．求证： △ABC≅△A′B′C′\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'

(第3题)

(第4题)

  1. 如图，在四面体 A−BCDA-BCD 中，E,F,GE, F, G 分别为 AB,AC,ADAB, AC, AD 上的点。若 EF∥BC,FG∥CDEF \parallel BC, FG \parallel CD，则 △EFG\triangle EFG 和 △BCD\triangle BCD 有什么关系？为什么？

8.5.2 直线与平面平行

在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系。它不仅应用广泛，而且是

学习平面与平面平行的基础.

怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢？

观察

如图8.5-6(1)，门扇的两边是平行的。当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？

(1)

(2)图8.5-6

如图8.5-6(2)，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动．在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？

可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边 ABAB 与 DCDC 平行，只要边 DCDC 紧贴着桌面，边 ABAB 转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行.

一般地，我们有直线与平面平行的判定定理：

定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

它可以用符号表示：

a⊄α,b⊂α, 且a//b⇒a//α.a \not \subset \alpha , b \subset \alpha \text {, 且} a / / b \Rightarrow a / / \alpha .

这一定理在现实生活中有许多应用。例如，安装矩形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理。你还能举出其他一些应用实例吗？

● ●

定理告诉我们，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行。这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）。

例 2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

已知：如图8.5-7，空间四边形ABCD中， EE ， FF 分别是ABAB ， ADAD 的中点.

图8.5-7

求证： EF∥EF \parallel 平面 BCD.

证明：连接 BD.

又 EF⊂EF\subset 平面 BCDBCD ， BD⊂BD\subset 平面 BCDBCD

今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.

前面，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件。反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件。

下面我们研究在直线 a 平行于平面 α\alpha 的条件下，直线 a 与平面 α\alpha 内的直线的位置关系.

如图8.5-8，由定义，如果直线 a//平面αa / / \text{平面}\alpha ，那么 aa 与 α\alpha 无公共点，即 aa 与 α\alpha 内的任何直线都无公共点．这样，平面α\alpha 内的直线与平面 α\alpha 外的直线 aa 只能是异面或者平行的关系.那么，在什么条件下，平面 α\alpha 内的直线与直线 aa 平行呢？下面我们来分析一下：

图8.5-8

假设 aa 与 α\alpha 内的直线 bb 平行，那么由基本事实的推论3，过直线 aa ， bb 有唯一的平面 β\beta 。这样，我们可以把直线 bb 看作过直线 aa 的平面 β\beta 与平面 α\alpha 的交线。于是可得如下结论：过直线 aa 的平面 β\beta 与平面 α\alpha 相交于 bb ，则 a//ba / / b 。

下面，我们来证明这一结论.

如图 8.5-9，已知 a∥α,a⊂β,α∩β=ba \parallel \alpha, a \subset \beta, \alpha \cap \beta = b .

求证： a∥ba \parallel b .

证明：∵ α∩β=b\alpha \cap \beta = b ，

∴ b⊂α.b \subset \alpha.

又 a∥αa \parallel \alpha ,

图8.5-9

∴ a 与 b 无公共点.

又 a⊂β,b⊂β,a \subset \beta, b \subset \beta,

∴ a∥b.a \parallel b.

这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理：

定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法.

例 3 如图 8.5-10（1）所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 A′C′A^{\prime}C^{\prime} .

（1）要经过面 A′C′A^{\prime}C^{\prime} 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

(2) 所画的线与平面 AC 是什么位置关系?

分析：要经过面 A′C′A^{\prime}C^{\prime} 内的一点 PP 和棱 BCBC 将木料锯开，实际上是经过 BCBC 及 BCBC 外一点 PP 作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线。我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段。

(1)

(2)图8.5-10

解：（1）如图8.5-10(2)，在平面 A′C′A^{\prime}C^{\prime} 内，过点 PP 作直线 EFEF ，使 EF//B′C′EF / / B^{\prime}C^{\prime} ，并分别交棱 A′B′A'B' ， D′C′D'C' 于点 EE ， FF 。连接 BEBE ， CFCF ，则 EFEF ， BEBE ， CFCF 就是应画的线。

（2）因为棱 BCBC 平行于平面 A′C′A'C'，平面 BC′BC' 与平面 A′C′A'C' 相交于 B′C′B'C'，所以 BC∥B′C′BC \parallel B'C'。由（1）知，EF∥B′C′EF \parallel B'C'，所以 EF∥BCEF \parallel BC。而 BCBC 在平面 ACAC 内，EFEF 在平面 ACAC 外，所以 EF∥EF \parallel 平面 ACAC。

显然，BE，CF 都与平面 AC 相交.

练习

  1. 如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' 中，

(1) 与 AB 平行的平面是 ____;

(2) 与 AA′AA' 平行的平面是 ____ ;

(3) 与 AD 平行的平面是 ____ .

(第1题)

(第2题)