浙江 2008 · 数学 q18

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矩形 $ABCD$ $\perp$ 直角梯形 $BEFC$（$AD = \sqrt{3}$，$EF = 2$ ⟹ $BE = 3$，$CF = 4$）· (Ⅰ) $AE \parallel$ 平面 $DCF$ · (Ⅱ) $AB = \frac{9}{2}$ 时二面角 $A\text{-}EF\text{-}C = 60^\circ$

机位1题图角度2正对 DCF3沿 DCF 看4俯视自由视角

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冷启动：两块图形，一块被钉死，一块只剩一条自由边

题面给的东西看着零散，其实是分给两块的：

把这张表读一遍就知道该按什么次序动手：

• 梯形那一块一个待定量都没有。 $BC=\sqrt{3}$ 由矩形带过来，再加两个直角与 $EF=2$， 四个条件足以把 $BE$、$CF$ 全解出来。它是已经钉死的一块。
• 矩形那一块只剩 $AB$ 一条自由边。 它对梯形那一块的形状毫无影响——$AB$ 取多长， 底面还是同一个梯形。$AB$ 唯一能改变的是竖起来有多高，也就是那个二面角有多大。

所以次序是死的：先把梯形解干净，再回头用 $60^{\circ}$ 解 $AB$。 反过来做（先盯着 $AB$） 会发现每一步都要用到还没求出来的 $BE$、$CF$，卡住是必然的。

第（Ⅰ）问与长度完全无关——它只用到两组平行，$AB$ 取多长都成立。这一点值得先记住： 第（Ⅰ）问不需要第（Ⅱ）问的任何结果，第（Ⅱ）问也用不上第（Ⅰ）问的结论，两问互不依赖。

下面三条解法各走各的，每条都从头把梯形解一遍（三次用的是三个不同的工具，正好互相印证）。

解法一：过 $E$ 作 $EG\perp CF$：一个平行四边形答第（Ⅰ）问，一次三垂线答第（Ⅱ）问

这条辅助线一举两得：作 $EG\perp CF$ 于 $G$，第（Ⅰ）问要的平行四边形与第（Ⅱ）问要的梯形尺寸， 都从它身上掉下来。

① 先把这条辅助线的性质写清楚。

$BE\parallel CF$，$\angle BCF=90^{\circ}$ 即 $BC\perp CF$，又 $EG\perp CF$，故 $EG\parallel BC$； 于是四边形 $BCGE$ 四个角都是直角，是矩形。由此

$$EG=BC=AD=\sqrt{3},\qquad CG=BE .$$

②（Ⅰ）$AE\parallel$ 平面 $DCF$。

$ABCD$ 是矩形，故 $AD\parallel BC$ 且 $AD=BC$；上面刚得到 $EG\parallel BC$ 且 $EG=BC$。 两者一比：$AD\parallel EG$ 且 $AD=EG$，所以四边形 $ADGE$ 是平行四边形，从而

$$AE\parallel DG .$$

而 $DG\subset$ 平面 $DCF$（$D$、$G$ 都在这个平面上：$G$ 在直线 $CF$ 上），$AE\not\subset$ 平面 $DCF$ （若 $AE$ 在这个平面内，则 $A$ 也在，但 $A$ 到平面 $DCF$ 的距离就是 $BC=\sqrt{3}\neq0$）。 由线面平行的判定定理，

$$AE\parallel\text{平面 }DCF .$$

③ 把梯形的两条腰解出来。 在 $\mathrm{Rt}\triangle EGF$（直角在 $G$）里，$EG=\sqrt{3}$、$EF=2$，故

$$FG=\sqrt{EF^{2}-EG^{2}}=\sqrt{4-3}=1,\qquad \tan\angle EFG=\frac{EG}{FG}=\sqrt{3},\quad \angle EFG=60^{\circ} .$$

$\angle EFG$ 就是 $\angle CFE$（$G$ 在线段 $CF$ 上）。再在 $\mathrm{Rt}\triangle CEF$（$\angle CEF=90^{\circ}$）里， $EF$ 是 $\angle CFE$ 的邻边、$CF$ 是斜边：

$$CF=\frac{EF}{\cos\angle CFE}=\frac{2}{\cos 60^{\circ}}=4,\qquad BE=CG=CF-FG=4-1=3 .$$

④（Ⅱ）把二面角的平面角作出来。 先立起那条竖线：平面 $ABCD\perp$ 平面 $BEFC$， 两平面的交线是 $BC$；$AB\subset$ 平面 $ABCD$，且 $AB\perp BC$（矩形的邻边）。由面面垂直的性质定理，

$$AB\perp\text{平面 }BEFC .$$

在底面内过 $B$ 作 $BH\perp EF$，垂足 $H$。由 $AB\perp$ 平面 $BEFC$ 得 $AB\perp EF$， 又 $BH\perp EF$，故 $EF\perp$ 平面 $ABH$，从而 $EF\perp AH$。两条边 $HA$、$HB$ 都垂直于棱 $EF$—— 按定义，$\angle AHB$ 就是二面角 $A\text{-}EF\text{-}C$ 的平面角，即 $\angle AHB=60^{\circ}$。

⑤ 量出 $BH$，解那个直角三角形。 $BCGE$ 是矩形，故 $\angle GEB=90^{\circ}$； 又 $\angle GEF=90^{\circ}-\angle EFG=30^{\circ}$，所以

$$\angle BEF=\angle GEB+\angle GEF=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}>90^{\circ} .$$

这说明垂足 $H$ 落在 $FE$ 的延长线上，而 $\angle BEH=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，于是

$$BH=BE\sin\angle BEH=3\sin 60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2} .$$

$AB\perp$ 平面 $BEFC\supseteq BH$，故 $\triangle ABH$ 在 $B$ 处是直角，

$$AB=BH\tan\angle AHB=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\tan 60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{9}{2} .$$

避坑：「两个平面垂直」推不出「$AB\perp$ 底面」，中间少一句话。 面面垂直只保证「一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面」。这里非写不可的是两句： $AB$ 在平面 $ABCD$ 里，且 $AB\perp BC$，而 $BC$ 恰好是两平面的交线。 少了「$\perp$ 交线」这一句，结论就是假的——同一个平面 $ABCD$ 里的对角线 $AC$ 也在这个平面内， 但 $AC$ 显然不垂直于底面。

还有一处画图就会错的地方：$\angle BEF=120^{\circ}$ 是钝角，垂足 $H$ 在 $FE$ 的延长线上、 不在线段 $EF$ 内。随手把 $H$ 画进线段里，$\angle BEH$ 就会被当成 $120^{\circ}$， 于是 $BH$ 算成 $3\sin 120^{\circ}$——数值恰好还是 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$（正弦对补角相等）， 这次侥幸不影响答案，但图是错的，换一个梯形就要出事。

解法二：以 $C$ 为原点建系——两条方程先把梯形钉死，再让两个法向量去碰

建系的合法性要先说清楚。 平面 $ABCD\perp$ 平面 $BEFC$，交线是 $BC$，而 $DC\subset$ 平面 $ABCD$ 且 $DC\perp BC$（矩形的邻边），故 $DC\perp$ 平面 $BEFC$。又底面内 $CB\perp CF$（即 $\angle BCF=90^{\circ}$）。 于是 $CB$、$CF$、$CD$ 三条两两垂直，可以以 $C$ 为原点、它们为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系。

设 $AB=a$、$BE=b$、$CF=c$，公共边 $CB=AD=\sqrt{3}$，则

$$C(0,0,0),\quad B(\sqrt{3},0,0),\quad E(\sqrt{3},b,0),\quad F(0,c,0),\quad A(\sqrt{3},0,a),\quad D(0,0,a).$$

（$E$ 的坐标里第一个分量是 $\sqrt{3}$，正因为 $BE\parallel CF$ 即 $BE$ 沿 $y$ 轴方向。）

① 两条方程定下 $b$、$c$。 $\overrightarrow{CE}=(\sqrt{3},b,0)$，$\overrightarrow{EF}=(-\sqrt{3},c-b,0)$。 题给 $\angle CEF=90^{\circ}$ 与 $EF=2$，就是

$$\begin{cases} \overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{EF}=-3+b(c-b)=0,\\[2pt] \left|\overrightarrow{EF}\right|=\sqrt{3+(c-b)^{2}}=2 . \end{cases}$$

第二式给 $(c-b)^{2}=1$；$c>b$（$CF$ 是梯形较长的那条底，也可由 $b(c-b)=3>0$ 与 $b>0$ 直接断定）， 故 $c-b=1$，代进第一式得 $b=3$，于是 $c=4$。坐标全部落地：

$$E(\sqrt{3},3,0),\qquad F(0,4,0).$$

②（Ⅰ）$AE\parallel$ 平面 $DCF$。 平面 $DCF$ 就是坐标系的 $yOz$ 平面（$D$、$C$、$F$ 的 $x$ 坐标都是 $0$）， 它的一个法向量是 $\boldsymbol{n}_{1}=(1,0,0)$。而

$$\overrightarrow{AE}=(\sqrt{3},3,0)-(\sqrt{3},0,a)=(0,3,-a),\qquad \boldsymbol{n}_{1}\cdot\overrightarrow{AE}=0 .$$

数量积为零只说明 $AE$ 与该平面平行或落在其中，还要排除后者：$A$ 的 $x$ 坐标是 $\sqrt{3}\neq0$， 所以 $A\notin$ 平面 $DCF$。两句合起来得 $AE\parallel$ 平面 $DCF$。

③（Ⅱ）两个法向量。 平面 $CEF$ 就是底面 $z=0$，法向量取 $\boldsymbol{m}=(0,0,1)$。 平面 $AEF$ 的法向量设为 $\boldsymbol{n}=(1,y,z)$。

第一个分量取 $1$ 得先说明可以取。 反设某个法向量的 $x$ 分量为 $0$，记它为 $(0,y,z)$。 由 $\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EF}=-\sqrt{3}\cdot 0+y=y=0$ 得 $y=0$； 再由 $\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=3y-az=-az=0$ 与 $a>0$ 得 $z=0$。 于是这个「法向量」是零向量，不成其为法向量。所以法向量的 $x$ 分量必不为零， 除以它就把第一个分量归一成了 $1$。（注意这里非用上 $\overrightarrow{AE}$ 不可： 只看 $\overrightarrow{EF}$ 是排除不掉的——底面 $z=0$ 的法向量 $(0,0,1)$ 就既有零的 $x$ 分量、 又垂直于 $\overrightarrow{EF}$。）

回到正题，由

$$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EF}=-\sqrt{3}+y=0,\qquad \boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=3y-az=0,$$

得 $y=\sqrt{3}$、$z=\dfrac{3y}{a}=\dfrac{3\sqrt{3}}{a}$，即 $\boldsymbol{n}=\left(1,\sqrt{3},\dfrac{3\sqrt{3}}{a}\right)$。

④ 碰出方程。

$$\left|\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle\right| =\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}\right|}{\left|\boldsymbol{n}\right|\left|\boldsymbol{m}\right|} =\frac{\dfrac{3\sqrt{3}}{a}}{\sqrt{1+3+\dfrac{27}{a^{2}}}} =\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4a^{2}+27}} .$$

题给二面角 $A\text{-}EF\text{-}C=60^{\circ}$ 是锐角，而上式给的正是两平面夹角的余弦（也在 $[0^{\circ},90^{\circ}]$ 内）， 两者相等：

$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4a^{2}+27}}=\cos 60^{\circ}=\frac12 \;\Longrightarrow\;\sqrt{4a^{2}+27}=6\sqrt{3} \;\Longrightarrow\;4a^{2}+27=108,$$

故 $a^{2}=\dfrac{81}{4}$，$a>0$ 取 $a=\dfrac{9}{2}$，即 $AB=\dfrac{9}{2}$。

避坑：法向量的夹角与二面角，只在「同为锐角」时才能直接划等号。 $\left|\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle\right|$ 算出来的永远是两个平面的夹角， 范围 $[0^{\circ},90^{\circ}]$；而二面角的范围是 $[0^{\circ},180^{\circ}]$，它可能是这个夹角、 也可能是它的补角。本题之所以能直接写等号，是因为题目已经把二面角写成 $60^{\circ}$（锐角）。 若题目给的是 $120^{\circ}$，上式右边就要换成 $\left|\cos 120^{\circ}\right|=\frac12$—— 数值一样，但那时解出的 $a$ 是同一个，说明法向量法根本分不出这两种情形，必须另外看图判断。 顺手去掉绝对值、照抄 $\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle=\cos 60^{\circ}$ 更危险： 法向量的方向是自己挑的，挑反一个号就全反了。

解法三：全程不作角：$\triangle BEF$ 正是 $\triangle AEF$ 的正射影，比一次面积就够

这条路一个角都不用作，也一个坐标都不用设。

①（Ⅰ）两个平面平行，比找平行线更省。 $ABCD$ 是矩形，故 $AB\parallel DC$；题给 $BE\parallel CF$。 $AB$ 与 $BE$ 相交于 $B$，$DC$ 与 $CF$ 相交于 $C$，两组相交直线分别平行，由面面平行的判定定理

$$\text{平面 }ABE\parallel\text{平面 }DCF .$$

$AE\subset$ 平面 $ABE$，由面面平行的性质定理（两平面平行，则一个平面内的任意直线平行于另一平面），

$$AE\parallel\text{平面 }DCF .$$

（两个平面确实不重合：$A$ 到平面 $DCF$ 的距离是 $BC=\sqrt{3}\neq0$。）

② 把梯形解出来——这次用射影定理。 设 $EG\perp CF$ 于 $G$，则 $BCGE$ 是矩形，$EG=BC=\sqrt{3}$。 $\triangle CEF$ 在 $E$ 处是直角，$EG$ 正是斜边 $CF$ 上的高，于是由直角三角形的射影定理

$$EF^{2}=FG\cdot FC .$$

而 $FG=\sqrt{EF^{2}-EG^{2}}=\sqrt{4-3}=1$，代入得 $4=1\cdot FC$，即 $CF=4$，$BE=CG=4-1=3$。

③ 竖线立起来，射影就是现成的。 平面 $ABCD\perp$ 平面 $BEFC$，交线 $BC$，$AB\subset$ 平面 $ABCD$ 且 $AB\perp BC$，故 $AB\perp$ 平面 $BEFC$。这句话的含义正是：$B$ 就是 $A$ 在底面上的正射影。 于是 $\triangle AEF$ 在底面上的正射影恰好是 $\triangle BEF$（$E$、$F$ 本来就在底面上，射影是自己），

$$S_{\triangle BEF}=S_{\triangle AEF}\cdot\cos 60^{\circ} .$$

④ 算两个面积，$AB$ 就出来了。 $BE\parallel CF$，两条平行线之间的距离就是 $BC=\sqrt{3}$， 故以 $BE$ 为底、$F$ 为顶的三角形的高是 $\sqrt{3}$：

$$S_{\triangle BEF}=\frac12\cdot BE\cdot BC=\frac12\cdot 3\cdot\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \;\Longrightarrow\; S_{\triangle AEF}=\frac{S_{\triangle BEF}}{\cos 60^{\circ}}=3\sqrt{3} .$$

两个三角形以同一条边 $EF=2$ 为底，各自的高就是 $B$、$A$ 到直线 $EF$ 的距离 $BH$、$AH$：

$$BH=\frac{2S_{\triangle BEF}}{EF}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad AH=\frac{2S_{\triangle AEF}}{EF}=3\sqrt{3} .$$

最后用一次勾股定理：$AB\perp$ 平面 $BEFC\supseteq BH$，故 $\triangle ABH$ 在 $B$ 处是直角，

$$AB=\sqrt{AH^{2}-BH^{2}}=\sqrt{27-\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2} .$$

避坑：射影面积公式好用，前提却很硬——「射影是现成的」这句话必须有出处。 $S'=S\cos\theta$ 里的 $S'$ 必须是 $S$ 在二面角的另一个面上的正射影。 本题能用，全靠第 ③ 步那句 $AB\perp$ 平面 $BEFC$：它把 $A$ 的射影钉在 $B$ 上， 于是 $\triangle AEF$ 的射影自动是 $\triangle BEF$。 若换成一道「顶点的射影不在任何已知点上」的题，这条路就要先花力气把垂足找出来， 反而比作平面角更绕——它省的不是思考，是作图。

三条路各自省在哪里

三条路都必须先解梯形——它们真正的分歧只在第（Ⅱ）问怎么把 $60^{\circ}$ 用掉。 顺带一提，第 ③ 步那个梯形被三次不同的工具解出同样的 $BE=3$、$CF=4$ （解直角三角形 / 两条向量方程 / 射影定理），这本身就是一次很好的自查。

最后：这道题最容易丢分的三处

1. $\angle AHB$ 是不是平面角，必须证。 判据是两条边都垂直于棱 $EF$。 常见的错法是随手用 $\angle AEB$——但 $\angle BEF=120^{\circ}\neq90^{\circ}$，$BE$ 根本不垂直于 $EF$。 若照着 $\angle AEB=60^{\circ}$ 算，会得到 $AB=BE\tan 60^{\circ}=3\sqrt{3}\approx5.196$， 与正确答案 $\frac92=4.5$ 不同——错得不算离谱，正因如此更难在检查时发现。
2. 交线是 $BC$，不是别的。 「面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直」必须点名交线； 题面里两个平面的交线是两块图形共用的那条边 $BC$，不是 $EF$，也不是 $CD$。
3. 第（Ⅰ）问不要去算长度。 它与 $AB$、$BE$、$CF$ 的具体值全都无关， 两组平行就够了。在这一问里代数字，既浪费时间，又会让阅卷看不出你用的是哪条判定定理。