8.5.3 平面与平面平行

文字转写

2. 如上页图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为 $DD_{1}$ 的中点，判断 $BD_{1}$ 与平面 $AEC$ 的位置关系，并说明理由.

3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画 “×”.

（1）如果直线 $a \parallel b$ ，那么 a 平行于经过 b 的任何平面。（）

（2）如果直线 $a$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a / / \alpha$ ，那么 $a$ 与 $\alpha$ 内的任何直线平行．（ ）

（3）如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a / / \alpha$ ， $b / / \alpha$ ，那么 $a / / b$ （ ）

（4）如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a / / b$ ， $a / / \alpha$ ， $b\not\subset \alpha$ ，那么 $b / / \alpha$ （ ）

4. 如图， $\alpha\cap\beta=a,\ b\subset\alpha,\ c\subset\beta,\ b\parallel c$ ，求证 $a\parallel b\parallel c$ .

(第4题)

8.5.3 平面与平面平行

我们首先讨论平面与平面平行的判定问题.

类似于研究直线与平面平行的判定，我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题。根据平面与平面平行的定义，可以发现，因为两个平行平面没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点。也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行。因为这个定义给出了两个平面平行的充要条件，所以可以想到，如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行。

如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？

探究

根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面。由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？

我们可以借助以下两个实例进行观察. 如图 8.5-11(1)，a 和 b 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图 8.5-11(2)，c 和 d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？

如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行。我们借助长方体模型来说明。如图8.5-12，在平面 $A^{\prime}ADD^{\prime}$ 内画一条与 $A^{\prime}A$ 平行的直线 $EF$，显然 $A^{\prime}A$ 与 $EF$ 都平行于平面 $D^{\prime}DCC^{\prime}$，但这两条平行直线所在的平面 $A^{\prime}ADD^{\prime}$ 与平面 $D^{\prime}DCC^{\prime}$ 相交。

两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面。为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的。如图8.5-13的长方体模型中，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 内两条相交直线 $A^{\prime}C^{\prime}$ ， $B^{\prime}D^{\prime}$ 平行。由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC，BD都与平面 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 平行。此时，平面ABCD平行于平面 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 。

一般地，我们有如下平面与平面平行的判定定理（图 8.5-14）：

定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 它可以用符号表示为

$a \subset \beta , b \subset \beta , a \cap b = P, a \parallel \alpha , b \parallel \alpha \Rightarrow \beta \parallel \alpha .$

这个定理告诉我们，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行。如图8.5-15，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，就是应用了这个判定定理。

例 4 已知正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ （图 8.5-16），求证：平面 $AB_{1}D_{1} \parallel$ 平面 $BC_{1}D$ .

证明：∵ $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 为正方体，

下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论.

根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.

如图 8.5-17，借助长方体模型，我们看到， $B^{\prime}D^{\prime}$ 所在的平面 $A^{\prime}C^{\prime}$ 与平面 AC 平行，所以 $B^{\prime}D^{\prime}$ 与平面 AC 没有公共点。也就是说， $B^{\prime}D^{\prime}$ 与平面 AC 内的所有直线没有公共点。因此，直线 $B^{\prime}D^{\prime}$ 与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线。

图8.5-17

分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？我们仍然依据基本事实的推论进行分析：如果 $\alpha \parallel \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$ ，且 $a \parallel b$ ，那么过 a, b 有且只有一个平面 $\gamma$ 。这样，我们可以把直线 a, b 看作平面 $\gamma$ 与平面 $\alpha, \beta$ 的交线。于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行。

下面，我们来证明这个结论.

如图 8.5-18，平面 $\alpha \parallel \beta$ ，平面 $\gamma$ 分别与平面 $\alpha$ ， $\beta$ 相交于直线 a，b.

$\because \quad \alpha \cap \gamma = a, \beta \cap \gamma = b,$

$\therefore \quad a \subset \alpha , b \subset \beta.$

又 $\alpha \parallel \beta,$

∴ a, b 没有公共点.

图8.5-18

又 a, b 同在平面 $\gamma$ 内，

∴ $a \parallel b$ .

我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理.

定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

这个定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.

如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交，以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？

例 5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

如图 8.5-19， $\alpha \parallel \beta$ ， $AB \parallel CD$ ，且 $A \in \alpha$ ， $C \in \alpha$ ， $B \in \beta$ ， $D \in \beta$ ，求证 AB = CD.

证明：过平行线 AB，CD 作平面 $\gamma$ ，与平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别相交于 AC 和 BD.

$\because \alpha // \beta,$

∴ BD // AC.

又 $AB \parallel CD$ ,

∴ 四边形 ABDC 是平行四边形.

∴ AB = CD.

从本节的讨论可以看到，由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行。这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法。

练习

1. 判断下列命题是否正确. 若正确, 则说明理由; 若错误, 则举出反例.

（1）已知平面 $\alpha$ ， $\beta$ 和直线 m，n，若 $m \subset \alpha$ ， $n \subset \alpha$ ， $m \parallel \beta$ ， $n \parallel \beta$ ，则 $\alpha \parallel \beta$ .

(2) 若一个平面 $\alpha$ 内两条不平行的直线都平行于另一平面 $\beta$ ，则 $\alpha \parallel \beta$ .

(3) 平行于同一条直线的两个平面平行.

(4) 平行于同一个平面的两个平面平行.

(5) 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.

2. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行的充分条件可以是（）.

(A) $\alpha$ 内有无穷多条直线都与 $\beta$ 平行

(B) 直线 $a \parallel \alpha, a \parallel \beta$，且直线 $a$ 不在 $\alpha$ 内，也不在 $\beta$ 内

(C) 直线 $a \subset \alpha$ ，直线 $b \subset \beta$ ，且 $a \parallel \beta$ ， $b \parallel \alpha$

(D) $\alpha$ 内的任何一条直线都与 $\beta$ 平行

3. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M, N, E, F$ 分别是棱 $A_1B_1, A_1D_1, B_1C_1, C_1D_1$ 的中点。求证：平面 $AMN \parallel$ 平面 $DBEF$.

4. 如图，平面 $\alpha // \beta$，$\gamma \cap \alpha = a$，$\gamma \cap \beta = b$，$c \subset \beta$，$c // b$。判断 $c$ 与 $a$，$c$ 与 $\alpha$ 的位置关系，并说明理由。

习题8.5

复习巩固

1. 选择题

(1) 若直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$，则下列结论成立的是（）. (A) $\alpha$ 内的所有直线都与 $a$ 异面 (B) $\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 (C) $\alpha$ 内的直线都与 $a$ 相交 (D) 直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 有公共点

(2) 如果直线 $a \parallel$ 平面 $\alpha, P \in \alpha$，那么过点 $P$ 且平行于直线 $a$ 的直线（）. (A) 只有一条，不在平面 $\alpha$ 内 (B) 有无数条，不一定在 $\alpha$ 内 (C) 只有一条，且在平面 $\alpha$ 内 (D) 有无数条，一定在 $\alpha$ 内

2. 已知平面 $\alpha, \beta$ 和直线 $a, b, c$，且 $a \parallel b \parallel c, a \subset \alpha, b \subset \beta, c \subset \beta$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系是 ____.

3. 如图，在长方体木块 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，面 $A_{1}C_{1}$ 上有一点 $P$ ，怎样过点 $P$ 画一条直线与棱 $CD$ 平行？

4. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证 $EF \parallel A'C'$ .

5. 如下页图，在四面体 $D - ABC$ 中，$E, F, G$ 分别是 $AB, BC, CD$ 的中点，求证：

(1) $BD \parallel$ 平面 EFG;

(2) AC // 平面 EFG.

6. 如图，a，b 是异面直线，画出平面 $\alpha$ ，使 $a \subset \alpha$ ，且 $b \parallel \alpha$ ，并说明理由.

7. 如图，$\alpha \cap \beta = CD$，$\alpha \cap \gamma = EF$，$\beta \cap \gamma = AB$，$AB \parallel \alpha$，求证 $CD \parallel EF$.

8. 如图，直线 $AA'$，$BB'$，$CC'$ 相交于点 $O$，$AO = A'O$，$BO = B'O$，$CO = C'O$，求证：平面 $ABC \parallel$ 平面 $A'B'C'$.

综合运用

9. 如图，E， $E'$ 分别为长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱 AD， $A'D'$ 的中点，求证 $\angle BEC = \angle B'E'C'$ .

10. 如图， $AB \parallel \alpha$ ， $AC \parallel BD$ ， $C \in \alpha$ ， $D \in \alpha$ ，求证 AC = BD.

11. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.

12. 一木块如下页图所示，点 $P$ 在平面 $VAC$ 内，过点 $P$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $VB$ 和 $AC$ ，在木块表面应该怎样画线？

13. 如图，$\alpha // \beta // \gamma$，直线 $a$ 与 $b$ 分别交 $\alpha, \beta, \gamma$ 于点 $A, B, C$ 和点 $D, E, F$，求证 $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$.

拓广探索

14. 如图，a，b 是异面直线， $a \subset \alpha$ ， $a \parallel \beta$ ， $b \subset \beta$ ， $b \parallel \alpha$ ，求证 $\alpha \parallel \beta$ .
15. 如图，透明塑料制成的长方体容器 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜。随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； （4）棱 $A_{1}D_{1}$ 始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时， $BE \cdot BF$ 是定值。 其中所有正确命题的序号是____，为什么？