8.5.3 平面与平面平行

平行这条线索到这一节走到头：先是线线平行（§8.5.1），再是线面平行（§8.5.2），现在是两个平面之间。

本节还是两个定理。判定定理把面面平行压回线面平行（于是压回线线平行），性质定理再把面面平行放回线线平行：

$$\text{线线平行} \xrightarrow{\text{8.5.2 的判定}} \text{线面平行} \xrightarrow{\text{本节判定}} \text{面面平行} \xrightarrow{\text{本节性质}} \text{线线平行}$$

这条回路是立体几何最常走的一圈：要什么，就从链条上离它最近的那一环去要。

一、定义能不能直接拿来判定

两个平面平行的定义是：没有公共点。

课本先把定义翻译了一遍：$\alpha\parallel\beta$ 时，$\alpha$ 内任意一条直线都与 $\beta$ 没有公共点， 也就是 $\alpha$ 内任意一条直线都平行于 $\beta$。反过来也对——所以

$$\alpha\parallel\beta\iff \alpha\ \text{内任意一条直线都平行于}\ \beta .$$

这是一个充要条件，但它没法验：一个平面里有无穷多条直线，你验不完。 于是问题变成一句很具体的话：能不能只验有限条？

二、判定定理：两条，而且必须相交

定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

符号表示：

$$a\subset\beta,\quad b\subset\beta,\quad a\cap b=P,\quad a\parallel\alpha,\quad b\parallel\alpha \ \Longrightarrow\ \beta\parallel\alpha .$$

为什么两条平行直线不行——课本给了一个长方体反例，值得记死：在面 $A'ADD'$ 内作 $EF\parallel A'A$， 那么 $A'A$ 与 $EF$ 都平行于面 $D'DCC'$，可它们所在的面 $A'ADD'$ 与面 $D'DCC'$ 相交（交线是 $DD'$）。

从向量看更清楚（课本让你想的就是这件事）：一个平面的「朝向」要两个不共线的方向才定得住。 两条相交直线的方向向量 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 不共线，$\beta$ 内任何一个方向都能写成 $x\boldsymbol a+y\boldsymbol b$；这两个方向都与 $\alpha$ 平行，$\beta$ 的所有方向就都与 $\alpha$ 平行了。 两条平行直线只交出一个方向，平面还能绕着这个方向转——转起来就与 $\alpha$ 相交了， 交线恰好平行于那个方向。

用法是固定的三步：

1. 在一个平面 $\beta$ 内挑两条相交直线（把交点写出来）；
2. 对每一条，用 §8.5.2 的线面平行判定定理证它平行于 $\alpha$——即在 $\alpha$ 内各找一条与之平行的直线；
3. 收口：两条相交直线都平行于 $\alpha$，故 $\beta\parallel\alpha$。

所以证面面平行的真实工作量在上一节：本节的定理只负责最后一句收口，前面两步全是线面平行。

课本那个水平仪的例子说的也是这件事：把水平仪在桌面上交叉放两次，两次气泡都居中， 就说明桌面内有两条相交直线都水平（平行于水平面），于是桌面是水平的。交叉放是关键， 沿同一方向放两次没用。

三、例 4：正方体里的一对平行平面

例 4 已知正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$，求证：平面 $AB_1D_1\parallel$ 平面 $BC_1D$。

按上面的三步走。取平面 $AB_1D_1$ 内相交于 $B_1$ 的两条直线 $B_1D_1$ 与 $AB_1$：

1. $B_1D_1\parallel$ 平面 $BC_1D$：正方体中 $DD_1\parallel BB_1$ 且 $DD_1=BB_1$， 故四边形 $DBB_1D_1$ 是平行四边形，$B_1D_1\parallel BD$。而 $BD\subset$ 平面 $BC_1D$、 $B_1D_1\not\subset$ 平面 $BC_1D$，由线面平行的判定定理得证。
2. $AB_1\parallel$ 平面 $BC_1D$：$AD\parallel B_1C_1$ 且 $AD=B_1C_1$（都平行且等于 $BC$）， 故四边形 $ADC_1B_1$ 是平行四边形，$AB_1\parallel DC_1$。而 $DC_1\subset$ 平面 $BC_1D$、 $AB_1\not\subset$ 平面 $BC_1D$，同样由判定定理得证。
3. $B_1D_1\cap AB_1=B_1$，两条相交直线都平行于平面 $BC_1D$，故

$$\text{平面 } AB_1D_1\parallel\text{平面 } BC_1D .$$

一个免费的自检（也是这道题的余味）：以 $A$ 为原点、棱长为 $1$ 建系， $\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)$、$\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1)$，法向量

$$\boldsymbol n_1=\overrightarrow{AB_1}\times\overrightarrow{AD_1}=(-1,-1,1) ;$$

而 $\overrightarrow{BC_1}=(0,1,1)$、$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，法向量 $\boldsymbol n_2=(-1,-1,1)$。 两个法向量相同，两平面确实平行。顺带看出：体对角线 $A_1C$ 的方向是 $(1,1,-1)$，与法向量共线， 所以 $A_1C$ 垂直于这两个平面；把 $A_1$、$C$ 代进 $-x-y+z$ 得 $1$ 与 $-2$， 而两个平面对应 $0$ 与 $-1$——这两个平行平面把体对角线三等分。

四、性质定理：平行平面被第三个平面截

反过来问：已知 $\alpha\parallel\beta$，能得到什么？

先看两个平行平面内的直线。$\alpha\parallel\beta$、$a\subset\alpha$、$b\subset\beta$ 时， $a$ 与 $b$ 一定没有公共点，所以它们要么异面、要么平行——注意这里已经排除了相交。 那什么时候是平行？两条直线平行的前提是共面。于是：若 $a\parallel b$，过 $a$、$b$ 有且只有一个平面 $\gamma$， 而 $a$、$b$ 恰好就是 $\gamma$ 与 $\alpha$、$\beta$ 的交线。倒过来把它当成猜想去证，就是：

定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

证明只有两句：设 $\alpha\cap\gamma=a$、$\beta\cap\gamma=b$，则 $a\subset\alpha$、$b\subset\beta$； 由 $\alpha\parallel\beta$ 知 $a$、$b$ 没有公共点，又 $a$、$b$ 同在平面 $\gamma$ 内，故 $a\parallel b$。

用它的时候，第三个平面必须真的存在、而且真的与两个面都相交。凭空说「两个平行平面内的两条直线平行」 是错的（它们可能异面）——差的正是那个 $\gamma$。实战中 $\gamma$ 往往是题目已经给好的一个面： 棱柱、棱台的侧面就是最典型的 $\gamma$，它同时与上下两个平行底面相交，于是

$$\text{棱台 } DEF\text{-}ABC:\quad EF\parallel BC,\quad DF\parallel AC,\quad DE\parallel AB .$$

例 5（课本）：求证夹在两个平行平面间的平行线段相等。设 $\alpha\parallel\beta$、$AB\parallel CD$， $A,C\in\alpha$，$B,D\in\beta$。过平行线 $AB$、$CD$ 作平面 $\gamma$，它与 $\alpha$、$\beta$ 分别交于 $AC$、$BD$； 由性质定理 $AC\parallel BD$，又 $AB\parallel CD$，故四边形 $ABDC$ 是平行四边形，$AB=CD$。

这道例题的动作要记住：「作一个过已知平行线的平面」把两条交线逼出来—— 性质定理需要的 $\gamma$，通常得你自己作。

五、以「$\alpha\parallel\beta$」为条件，还能得出什么

课本在性质定理后面留了一问。把能得的结论列全（每条都在本节习题里出现过，详解那一份逐题证）：

第二条与第四条特别常用：前者是「平行可以传染给平面外的直线」，后者是判断线面相交的唯一顺手工具。

六、四个方向的转化链

读法：箭头永远指向「更容易验的那一头」。手上有面面平行，就去要线线平行； 要证面面平行，就退回去找线面平行、再退回去找线线平行（中位线、平行四边形、比例线段）。

七、易错清单

1. 只用一条直线判定面面平行。「$a\subset\beta$，$a\parallel\alpha$，所以 $\beta\parallel\alpha$」—— 一条不够，$\beta$ 可以绕 $a$ 转。
2. 两条直线不相交。这是本节最标志性的错，反例就是课本那个长方体（$A'A$ 与 $EF$）。 写证明时必须把交点写出来：「$a\cap b=P$」。
3. 两条直线不在同一个平面内。判定定理要求两条相交直线都在 $\beta$ 内， 分别取自两个面的两条线不构成判定。
4. 性质定理凭空用。「$\alpha\parallel\beta$，$a\subset\alpha$，$b\subset\beta$，所以 $a\parallel b$」是错的： $a$、$b$ 可能异面。必须先有第三个平面 $\gamma$ 把 $a$、$b$ 同时截出来。
5. 把「平行于同一条直线的两个平面」当成平行。它们可能相交，交线平行于那条直线（练习第 1(3) 题）。
6. 丢掉「在平面外」的前提。$a\parallel b$、$b\subset\alpha$ 只有在 $a\not\subset\alpha$ 时才给出 $a\parallel\alpha$； 同理，用「$a\parallel\alpha$ 且 $\alpha\parallel\beta$」推 $a\parallel\beta$ 时要交代 $a\not\subset\beta$。
7. 把「面面平行」读成「面内的线两两平行」。两个平行平面内的直线绝大多数是异面的。
8. 忘了平行平面之间的距离处处相等这件事只能靠例 5——要用它，得先把「平行线段」这个前提摆出来， 否则夹在两平面间的两条线段长度可以完全不同。

八、这一节考过的真题（怎么用它们）

本节的性质定理在解答题里最常见的出场方式，是棱柱、棱台题的第一刀： 上底面的一条棱要与什么东西发生关系，先用「侧面与两个平行底面的两条交线平行」把它换成下底面的对应棱。

• 2020 年浙江卷第 19 题（三棱台 $DEF\text{-}ABC$）：第（Ⅰ）问要证 $EF\perp DB$， 第（Ⅱ）问要求 $DF$ 与面 $DBC$ 所成角。两问的第一步都是本节的性质定理—— $EF\parallel BC$、$DF\parallel AC$，上底面 $\triangle DEF$ 从此不再出现，整道题塌回一个四面体。 这道题值得作为本节的收官题：它不考你会不会背性质定理，考的是你会不会在第一秒就想到用它换棱。

本节页面（第 146–152 页）上共有 22 道课本习题：第 146 页顶上 3 道、第 149–150 页「练习」4 道、 第 150–152 页「习题 8.5」15 道。这里 22 道全做。

三点说明：

• 第 146 页顶上那 3 道（第 2、3、4 题）是 §8.5.2「直线与平面平行」第 145 页那份「练习」的后三道， 题面文字接排在第 146 页，而第 146 页属于本节的目录。题面引文必须逐字引本目录的转写， 所以 §8.5.2 的详解把这三道留给了这一份（那边开头写明了「本节不收」）。它们考的是线面平行的 判定与性质，正是本节的直接前置。
• 「习题 8.5」印在第 150–152 页，覆盖 §8.5.1–§8.5.3 三节，15 道全部能在本目录的页上逐字引到， 故一并收齐；其中第 1(1)、3、4、5、6、11、12 题主要练线线、线面平行，也一样做完。
• 本节没有开放式的实习作业或测量方案题，故没有「不收」的题。

练习（第 145 页 · 题面接排在第 146 页）第 2 题

2. 如上页图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为 $DD_{1}$ 的中点，判断 $BD_{1}$ 与平面 $AEC$ 的位置关系，并说明理由.

$BD_1 \parallel$ 平面 $AEC$。

连 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$。

1. 找面内的平行线：正方形 $ABCD$ 的两条对角线互相平分，所以 $O$ 是 $BD$ 的中点；又 $E$ 是 $DD_1$ 的中点，在 $\triangle DBD_1$ 中 $OE$ 是中位线， $$OE \parallel BD_1 .$$
2. $OE \subset$ 平面 $AEC$：$O \in AC \subset$ 平面 $AEC$，$E \in$ 平面 $AEC$，两点都在，整条 $OE$ 就在。
3. $BD_1 \not\subset$ 平面 $AEC$：若 $BD_1 \subset$ 平面 $AEC$，则 $B \in$ 平面 $AEC$，于是平面 $AEC$ 过 $A$、$B$、$C$ 三点，即是底面 $ABCD$；但 $E$ 是 $DD_1$ 的中点，$E \notin$ 底面，矛盾。

由线面平行的判定定理，$BD_1 \parallel$ 平面 $AEC$。

自检（坐标验一遍，棱长取 $2$）：$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(2,2,0)$、$D(0,2,0)$、$D_1(0,2,2)$、$E(0,2,1)$。平面 $AEC$ 的法向量

$$\boldsymbol n = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AE} = (2,2,0) \times (0,2,1) = (2,-2,4) ,$$

而 $\overrightarrow{BD_1} = (-2,2,2)$，$\boldsymbol n \cdot \overrightarrow{BD_1} = -4-4+8 = 0$；又 $\boldsymbol n \cdot \overrightarrow{AB} = 4 \neq 0$ 说明 $B \notin$ 平面 $AEC$。方向平行、点不在面内，正是线面平行。

这道题的关键动作：要证线面平行，就在平面内找一条平行线——对角线的交点加上棱的中点，中位线是首选的那一条。

练习（第 145 页 · 题面接排在第 146 页）第 3 题

3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画 “×”.

（1）如果直线 $a \parallel b$ ，那么 a 平行于经过 b 的任何平面。（）

（2）如果直线 $a$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a / / \alpha$ ，那么 $a$ 与 $\alpha$ 内的任何直线平行．（ ）

（3）如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a / / \alpha$ ， $b / / \alpha$ ，那么 $a / / b$ （ ）

（4）如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a / / b$ ， $a / / \alpha$ ， $b\not\subset \alpha$ ，那么 $b / / \alpha$ （ ）

（1）×　（2）×　（3）×　（4）√

(1) 错。 少了「$a$ 在平面外」这个前提。反例：取平面 $\alpha$ 与其中一条直线 $b \subset \alpha$，再在 $\alpha$ 内作 $a \parallel b$——此时 $\alpha$ 是「经过 $b$ 的平面」，而 $a \subset \alpha$，$a$ 与 $\alpha$ 有无数个公共点，谈不上平行。正确的说法要补上 $a \not\subset \alpha$，那就是线面平行的判定定理。

(2) 错。 $a \parallel \alpha$ 只保证 $a$ 与 $\alpha$ 内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线可以异面。反例：正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中 $A_1B_1 \parallel$ 平面 $ABCD$，而平面 $ABCD$ 内的 $BC$ 与 $A_1B_1$ 异面。正确的说法是：$\alpha$ 内的直线与 $a$ 要么平行、要么异面。

(3) 错。 两条都平行于 $\alpha$ 的直线，彼此可以相交，也可以异面。反例（相交）：正方体中记底面 $ABCD$ 为 $\alpha$，则 $A_1B_1 \parallel \alpha$、$B_1C_1 \parallel \alpha$，而 $A_1B_1 \cap B_1C_1 = B_1$。反例（异面）：取 $AA_1$、$BB_1$ 的中点 $M$、$N$，则 $MN \parallel AB$，而 $AB \subset \alpha$、$MN \not\subset \alpha$，故 $MN \parallel \alpha$；可 $MN$ 与同样平行于 $\alpha$ 的 $B_1C_1$ 异面。（别写成「$MN \parallel AB \parallel \alpha$」——$AB$ 就在 $\alpha$ 里，「$AB \parallel \alpha$」本身是假命题。）

(4) 对。 这就是习题 8.5 的第 11 题。证明：$a \parallel \alpha$，故 $a$ 与 $\alpha$ 无公共点。在 $\alpha$ 内任取一点 $P$（则 $P \notin a$），$a$ 与 $P$ 确定平面 $\gamma$；$\gamma \neq \alpha$（因为 $a \subset \gamma$ 而 $a \not\subset \alpha$），且 $P \in \gamma \cap \alpha$，所以 $\gamma \cap \alpha = l$ 是一条直线。由线面平行的性质定理 $a \parallel l$，于是 $b \parallel a \parallel l$，由基本事实 4 得 $b \parallel l$；又 $l \subset \alpha$、$b \not\subset \alpha$，由判定定理 $b \parallel \alpha$。

四小题连起来看，错的三条各错在不同的地方，别硬凑成一条线索：

只有 (1) 是「判定定理少一个前提」；(2) 说反的是性质那一侧，(3) 问的是两条线的位置关系，都不是从判定定理删前提得来的。

(4) 也不是「判定定理三个前提齐备」——它给的是 $a \parallel \alpha$ 而不是 $a \subset \alpha$，所以判定定理根本用不上，必须先用性质定理在 $\alpha$ 内造出一条 $l \parallel a$，才轮得到判定定理。上面那段证明走的正是这两步。

练习（第 145 页 · 题面接排在第 146 页）第 4 题

4. 如图， $\alpha\cap\beta=a,\ b\subset\alpha,\ c\subset\beta,\ b\parallel c$ ，求证 $a\parallel b\parallel c$ .

先把图上默认的前提写出来：$b \not\subset \beta$（否则 $b \subset \alpha \cap \beta = a$，$b$ 与 $a$ 就是同一条直线，图上画的是三条不同的直线）。

证明：

1. $b \parallel c$，$c \subset \beta$，$b \not\subset \beta$，由线面平行的判定定理 $$b \parallel \beta .$$
2. $b \subset \alpha$，且 $\alpha \cap \beta = a$——平面 $\alpha$ 过直线 $b$ 且与 $\beta$ 相交，由线面平行的性质定理 $$b \parallel a .$$
3. 又 $b \parallel c$，由基本事实 4（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， $$a \parallel b \parallel c .$$

自检：三条直线两两平行，且 $a$ 是交线、$b$、$c$ 分居两个平面内——与题图完全一致。

这道题的关键动作：「线线平行 $\to$ 线面平行 $\to$ 交线平行」的一来一回。判定定理把 $b \parallel c$ 抬成 $b \parallel \beta$，性质定理再把它落成 $b \parallel a$；两个定理各用一次，中间那个 $\beta$ 是跳板。

练习（第 149 页）第 1 题

1. 判断下列命题是否正确. 若正确, 则说明理由; 若错误, 则举出反例.

（1）已知平面 $\alpha$ ， $\beta$ 和直线 m，n，若 $m \subset \alpha$ ， $n \subset \alpha$ ， $m \parallel \beta$ ， $n \parallel \beta$ ，则 $\alpha \parallel \beta$ .

(2) 若一个平面 $\alpha$ 内两条不平行的直线都平行于另一平面 $\beta$ ，则 $\alpha \parallel \beta$ .

(3) 平行于同一条直线的两个平面平行.

(4) 平行于同一个平面的两个平面平行.

(5) 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.

（1）错　（2）对　（3）错　（4）对　（5）对

(1) 错——$m$ 与 $n$ 可能平行。 反例就是课本第 147 页那个长方体：取 $\alpha =$ 平面 $A'ADD'$、$\beta =$ 平面 $D'DCC'$，$m = A'A$，$n = EF$（在 $\alpha$ 内作的与 $A'A$ 平行的直线）。$m \parallel \beta$、$n \parallel \beta$、$m \subset \alpha$、$n \subset \alpha$ 都成立，但 $\alpha \cap \beta = DD'$，两个平面相交。把「$m$、$n$ 相交」补上，命题就成为判定定理。

(2) 对。 $m$、$n$ 都在 $\alpha$ 内所以共面，共面而不平行必相交；两条相交直线都平行于 $\beta$，由面面平行的判定定理 $\alpha \parallel \beta$。（顺带排除了 $\alpha = \beta$：若两面重合，$\alpha$ 内的直线就在 $\beta$ 内，不叫平行。）

(3) 错。 反例：正方体中取直线 $AA_1$，平面 $BCC_1B_1$ 与平面 $DCC_1D_1$ 都与它平行（各含一条平行于 $AA_1$ 的棱 $BB_1$、$DD_1$，且 $AA_1$ 不在这两个面内），但这两个平面相交于 $CC_1$。一般地，平行于同一条直线的两个平面要么平行、要么相交且交线平行于该直线（交线 $CC_1 \parallel AA_1$ 正是如此）。

(4) 对。 设 $\alpha \parallel \beta$、$\gamma \parallel \beta$ 且 $\alpha \neq \gamma$，往证 $\alpha \parallel \gamma$。反证：设它们有公共点 $P$。因为 $\alpha \parallel \beta$，$P \notin \beta$。在 $\beta$ 内取两条相交直线 $b_1$、$b_2$，作平面 $\delta_i$，即由 $P$ 与 $b_i$ 确定的那个平面（$i = 1,2$）。$\delta_i$ 与 $\beta$ 交于 $b_i$、与 $\alpha$ 交于过 $P$ 的直线 $a_i$、与 $\gamma$ 交于过 $P$ 的直线 $c_i$；由性质定理 $a_i \parallel b_i$、$c_i \parallel b_i$，而过 $P$ 平行于 $b_i$ 的直线只有一条，故 $a_i = c_i$。于是 $\alpha$ 与 $\gamma$ 同时含有两条相交直线 $a_1$、$a_2$（$b_1 \nparallel b_2$ 保证 $a_1 \neq a_2$），只能 $\alpha = \gamma$，与 $\alpha \neq \gamma$ 矛盾。故 $\alpha$、$\gamma$ 无公共点，即 $\alpha \parallel \gamma$。

(5) 对。 设 $\alpha \parallel \beta$，直线 $l$ 与 $\alpha$ 相交于点 $P$。反证：若 $l$ 与 $\beta$ 不相交，则 $l \subset \beta$ 或 $l \parallel \beta$。

• 若 $l \subset \beta$：由 $\alpha \parallel \beta$ 知 $l$ 与 $\alpha$ 无公共点，与 $l \cap \alpha = \{P\}$ 矛盾。
• 若 $l \parallel \beta$：在 $\beta$ 内取一点 $Q$（$Q \notin l$），作平面 $\delta =$ 平面 $(l, Q)$。$\delta \cap \beta = b$（过 $Q$），由 $l \parallel \beta$ 与性质定理得 $l \parallel b$；又 $P \in \delta \cap \alpha$ 且 $\delta \neq \alpha$，故 $\delta \cap \alpha = a$ 是过 $P$ 的直线，由 $\alpha \parallel \beta$ 与性质定理得 $a \parallel b$。于是 $l \parallel b \parallel a$，即 $l \parallel a$；但 $l$ 与 $a$ 都在 $\delta$ 内且都过 $P$，故 $l = a \subset \alpha$，与「$l$ 与 $\alpha$ 只交于一点」矛盾。

所以 $l$ 必与 $\beta$ 相交。这条结论是判断线面相交的常用工具（第 13 题里就靠它保证辅助线 $AF$ 穿过中间那个平面）。

练习（第 149 页）第 2 题

2. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行的充分条件可以是（）.

(A) $\alpha$ 内有无穷多条直线都与 $\beta$ 平行

(B) 直线 $a \parallel \alpha, a \parallel \beta$，且直线 $a$ 不在 $\alpha$ 内，也不在 $\beta$ 内

(C) 直线 $a \subset \alpha$ ，直线 $b \subset \beta$ ，且 $a \parallel \beta$ ， $b \parallel \alpha$

(D) $\alpha$ 内的任何一条直线都与 $\beta$ 平行

答案：(D)。

(D) 充分（而且必要）：$\alpha \parallel \beta$ 当且仅当 $\alpha$ 内任意一条直线都平行于 $\beta$。这一行就能证：

• 充分：设 $\alpha$ 内每条直线都平行于 $\beta$。任取 $P \in \alpha$，在 $\alpha$ 内过 $P$ 作一条直线 $m$，由 $m \parallel \beta$ 知 $m \cap \beta = \varnothing$，故 $P \notin \beta$。$P$ 是 $\alpha$ 内任取的，所以 $\alpha \cap \beta = \varnothing$，即 $\alpha \parallel \beta$。
• 必要：$\alpha \parallel \beta$ 时，$\alpha$ 内任一直线 $m$ 满足 $m \cap \beta \subset \alpha \cap \beta = \varnothing$，且 $m \not\subset \beta$（否则 $m$ 的点同属两面），故 $m \parallel \beta$。

既是充要条件，当然是充分条件。

(A) 不充分。 「无穷多条」不等于「任意一条」。反例：$\alpha$ 与 $\beta$ 相交于 $l$，$\alpha$ 内与 $l$ 平行的直线有无穷多条，它们都平行于 $\beta$，而 $\alpha$、$\beta$ 相交。

(B) 不充分。 一条直线同时平行于两个平面，对这两个平面的关系没有约束。反例：正方体中取 $a = AA_1$，$\alpha =$ 平面 $BCC_1B_1$、$\beta =$ 平面 $DCC_1D_1$，$a$ 不在这两个面内且与它们都平行，但 $\alpha \cap \beta = CC_1$。

(C) 不充分。 同一个反例改一下：仍取 $\alpha =$ 平面 $BCC_1B_1$、$\beta =$ 平面 $DCC_1D_1$，$a = BB_1 \subset \alpha$、$b = DD_1 \subset \beta$。因为 $BB_1 \parallel CC_1 \subset \beta$ 且 $BB_1 \not\subset \beta$，有 $a \parallel \beta$；同理 $b \parallel \alpha$。可两个平面仍相交。症结在于 $a$、$b$ 分别取自两个平面，判定定理要的是同一个平面内的两条相交直线。

判定定理要的是「$\alpha$ 内两条相交直线都平行于 $\beta$」。三个错项各差一样东西，但差的不是同一样：

(B) 差的不是条数，别记成「再多给几条就行」。 把 (B) 的条件加强成「有无穷多条直线同时平行于 $\alpha$ 与 $\beta$、且都不在这两个面内」，照样推不出两面平行：上面那个正方体里，凡是平行于 $CC_1$ 而不在平面 $BCC_1B_1$、$DCC_1D_1$ 内的直线（$AA_1$ 以及它的无穷多条平行线）全都同时平行于这两个面，而两个面仍交于 $CC_1$。只有「在 $\alpha$ 内」这一条被补上，条数才开始起作用——那就成了 (A) 的处境。

(A) 与 (B) 合起来记最省事：判定定理数的从来不是条数，先问「线在 $\alpha$ 里吗」（否则出局，见 (B)），再问「有没有两条是相交的」（否则不够，见 (A)）。

练习（第 150 页）第 3 题

3. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M, N, E, F$ 分别是棱 $A_1B_1, A_1D_1, B_1C_1, C_1D_1$ 的中点。求证：平面 $AMN \parallel$ 平面 $DBEF$.

取平面 $AMN$ 内相交于 $M$ 的两条直线 $AM$ 与 $MN$，分别证明它们平行于平面 $DBEF$。

① 先证 $A \notin$ 平面 $DBEF$（后面两处「不在面内」都靠它）。平面 $DBEF$ 与下底面 $ABCD$ 的公共点有 $D$、$B$，故两面的交线是 $BD$。若 $A \in$ 平面 $DBEF$，则 $A$ 是两个面的公共点，$A \in BD$；但正方形 $ABCD$ 中 $A$ 不在对角线 $BD$ 上，矛盾。

② $AM \parallel$ 平面 $DBEF$。 $M$、$F$ 分别是上底面正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的一组对边 $A_1B_1$、$D_1C_1$ 的中点，所以 $MF \parallel A_1D_1$ 且 $MF = A_1D_1$；又 $A_1D_1 \parallel AD$ 且 $A_1D_1 = AD$，于是

$$MF \parallel AD ,\qquad MF = AD ,$$

四边形 $AMFD$ 是平行四边形，$AM \parallel DF$。而 $DF \subset$ 平面 $DBEF$，$AM \not\subset$ 平面 $DBEF$（否则 $A \in$ 平面 $DBEF$，与 ① 矛盾），由线面平行的判定定理 $AM \parallel$ 平面 $DBEF$。

③ 顺手得到 $M \notin$ 平面 $DBEF$：$AM$ 与该平面没有公共点，而 $M \in AM$。于是 $MN \not\subset$ 平面 $DBEF$。

④ $MN \parallel$ 平面 $DBEF$。 $M$、$N$ 是 $A_1B_1$、$A_1D_1$ 的中点，$MN$ 是 $\triangle A_1B_1D_1$ 的中位线，$MN \parallel B_1D_1$；又 $BB_1 \parallel DD_1$ 且相等，四边形 $BDD_1B_1$ 是平行四边形，$B_1D_1 \parallel BD$。故 $MN \parallel BD \subset$ 平面 $DBEF$，配上 ③ 的「不在面内」，得 $MN \parallel$ 平面 $DBEF$。

⑤ 收口：$AM \cap MN = M$，平面 $AMN$ 内这两条相交直线都平行于平面 $DBEF$，由面面平行的判定定理

$$\text{平面 } AMN \parallel \text{平面 } DBEF .$$

自检（坐标，棱长取 $2$）：$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(2,2,0)$、$D(0,2,0)$，$M(1,0,2)$、$N(0,1,2)$、$E(2,1,2)$、$F(1,2,2)$。平面 $AMN$ 的法向量 $\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AN} = (1,0,2) \times (0,1,2) = (-2,-2,1)$；平面 $DBEF$ 里 $\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DF} = (2,-2,0) \times (1,0,2) = (-4,-4,2)$，与前者共线，且 $\overrightarrow{DE} \cdot (-2,-2,1) = (2,-1,2) \cdot (-2,-2,1) = -4+2+2 = 0$ 说明 $D$、$B$、$E$、$F$ 确实共面。最后 $(-2,-2,1) \cdot \overrightarrow{AD} = -4 \neq 0$，两个平面不重合——平行成立。

这道题的关键动作：先找一个点否掉「两面重合」（这里是 $A \notin$ 平面 $DBEF$），再用它把两条「不在面内」一次性交代干净。证面面平行时，「不在面内」被吞掉是最常见的失分点。

练习（第 150 页）第 4 题

4. 如图，平面 $\alpha // \beta$，$\gamma \cap \alpha = a$，$\gamma \cap \beta = b$，$c \subset \beta$，$c // b$。判断 $c$ 与 $a$，$c$ 与 $\alpha$ 的位置关系，并说明理由。

结论：$c \parallel a$，且 $c \parallel \alpha$。

先看清条件从哪儿来：$c \parallel b$ 是题面白纸黑字给的，不是从图上量出来的。 课本插图里 $c$ 只是 $\beta$ 内随手画的一小段，画得平不平行不作数—— 立体图形的示意图本来就不保角度，凡是图与文字冲突，一律以文字为准。

$c \parallel a$：平面 $\gamma$ 与两个平行平面 $\alpha$、$\beta$ 都相交，由面面平行的性质定理

$$a \parallel b ;$$

又题给 $c \parallel b$，由基本事实 4（平行于同一条直线的两条直线互相平行）得 $c \parallel a$。 （这里 $c \neq a$：$c \subset \beta$、$a \subset \alpha$，而 $\alpha \parallel \beta$ 意味着两面无公共点， 所以 $c$ 与 $a$ 不可能是同一条直线，「平行」这个结论说得下去。）

$c \parallel \alpha$：$c \subset \beta$ 且 $\alpha \parallel \beta$，所以 $c$ 与 $\alpha$ 没有公共点，即 $c \parallel \alpha$。也可以走判定定理：$c \parallel a$、$a \subset \alpha$、$c \not\subset \alpha$。

这道题把本节的两条出口摆在一起：性质定理给线线平行，定义给线面平行。手上一旦有面面平行，这两样都是白拿的。

习题 8.5 第 1 题

1. 选择题

(1) 若直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$，则下列结论成立的是（）. (A) $\alpha$ 内的所有直线都与 $a$ 异面 (B) $\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 (C) $\alpha$ 内的直线都与 $a$ 相交 (D) 直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 有公共点

(2) 如果直线 $a \parallel$ 平面 $\alpha, P \in \alpha$，那么过点 $P$ 且平行于直线 $a$ 的直线（）. (A) 只有一条，不在平面 $\alpha$ 内 (B) 有无数条，不一定在 $\alpha$ 内 (C) 只有一条，且在平面 $\alpha$ 内 (D) 有无数条，一定在 $\alpha$ 内

(1) 选 (D)　(2) 选 (C)

(1) 「$a$ 不平行于 $\alpha$」只剩两种情形：$a \subset \alpha$，或 $a$ 与 $\alpha$ 交于一点。两种情形下 $a$ 与 $\alpha$ 都有公共点，故 (D) 成立。其余三个都能举反例：

• (A) 错：$a \subset \alpha$ 时，$\alpha$ 内与 $a$ 相交或平行的直线多得是，根本不异面。
• (B) 错：$a \subset \alpha$ 时，$\alpha$ 内有无穷多条直线与 $a$ 平行。
• (C) 错：$a$ 与 $\alpha$ 交于点 $P$ 时，$\alpha$ 内不过 $P$ 的直线与 $a$ 既不相交也不平行（异面）。

(2) 分两步。唯一性：过定点 $P$ 平行于定直线 $a$ 的直线有且只有一条（基本事实 4 的推论），记作 $b$。位置：过 $a$ 与点 $P$ 作平面 $\gamma$（$a \parallel \alpha$ 保证 $P \notin a$），$\gamma \neq \alpha$（$a \subset \gamma$ 而 $a \not\subset \alpha$），且 $P \in \gamma \cap \alpha$，故 $\gamma \cap \alpha = l$ 是过 $P$ 的一条直线；由线面平行的性质定理 $a \parallel l$。由唯一性，$b = l \subset \alpha$。所以「只有一条，且在平面 $\alpha$ 内」，选 (C)。

这一小题的结论要单独记住：平行于平面 $\alpha$ 的直线 $a$，过 $\alpha$ 内一点作 $a$ 的平行线，这条平行线一定落在 $\alpha$ 内。 第 14 题就是靠它把异面的 $b$「平移」进 $\alpha$ 的。

习题 8.5 第 2 题

2. 已知平面 $\alpha, \beta$ 和直线 $a, b, c$，且 $a \parallel b \parallel c, a \subset \alpha, b \subset \beta, c \subset \beta$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系是 ____.

答案：平行或相交。

条件里 $b$、$c$ 是 $\beta$ 内的两条平行直线，$a$ 与它们平行且在 $\alpha$ 内。能得到的最多是「$a \parallel \beta$（当 $a \not\subset \beta$）」——只有一条直线平行于 $\beta$，判定不了面面平行，判定定理要的是两条相交直线。两种情形都能实现：

• 平行：正方体中取 $\alpha =$ 上底面 $A_1B_1C_1D_1$、$\beta =$ 下底面 $ABCD$，$a = A_1B_1$、$b = AB$、$c = DC$，此时 $\alpha \parallel \beta$。
• 相交：仍取 $\beta =$ 下底面、$b = AB$、$c = DC$，而 $\alpha =$ 平面 $ABB_1A_1$、$a = A_1B_1$。三条直线依旧两两平行，但 $\alpha \cap \beta = AB$。

（题目把 $\alpha$、$\beta$ 写成两个平面，故不考虑重合。）填空写「平行或相交」即可。

若要补一句加强，必须分两支写，不能只写「交线与 $a$ 平行」：条件并没有排除 $a \subset \beta$。

• $a \not\subset \beta$ 时才有 $a \parallel \beta$，此时由线面平行的性质定理（$a \parallel \beta$、$a \subset \alpha$、$\alpha \cap \beta = l$）得 $l \parallel a$；
• $a \subset \beta$ 时（例如 $\beta =$ 下底面、$a = AB$、$b = DC$、$c$ 是 $\beta$ 内平行于 $AB$ 的中位线、$\alpha =$ 平面 $ABB_1A_1$）， $a$ 同时在两个面内，$\alpha \cap \beta$ 就是 $a$ 本身——交线与 $a$ 重合，谈不上平行。

所以正确的加强句是：相交时交线与 $a$ 平行或重合。把它写成「必平行于 $a$」是可以被上面那个例子推翻的。

习题 8.5 第 3 题

3. 如图，在长方体木块 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，面 $A_{1}C_{1}$ 上有一点 $P$ ，怎样过点 $P$ 画一条直线与棱 $CD$ 平行？

面 $A_1C_1$ 就是上底面 $A_1B_1C_1D_1$，点 $P$ 在这个面上；棱 $CD$ 在下底面，够不着也看不见。办法是先把 $CD$ 换成上底面里的一条棱：长方体中

$$C_1D_1 \parallel CD ,$$

（这正是本节的性质定理：上下底面平行，侧面 $DCC_1D_1$ 与它们的两条交线 $C_1D_1$、$CD$ 必平行。）

画法：在上底面内过 $P$ 画 $C_1D_1$ 的平行线，设它交 $B_1C_1$ 于 $M$、交 $A_1D_1$ 于 $N$，$MN$ 就是所求。具体量法：量出 $P$ 到棱 $A_1B_1$ 的距离 $d$，在 $B_1C_1$ 上取 $M$ 使 $B_1M = d$、在 $A_1D_1$ 上取 $N$ 使 $A_1N = d$，连 $MN$——上底面是矩形，到 $A_1B_1$ 距离为 $d$ 的点恰好构成这条直线，所以 $MN$ 必过 $P$。

理由：$MN \parallel A_1B_1 \parallel C_1D_1$，而 $C_1D_1 \parallel CD$，由基本事实 4 得 $MN \parallel CD$。

自检：画完看一眼 $MN$ 与 $A_1B_1$、$C_1D_1$ 是否都平行（矩形里三条线等距），以及它是否真的过 $P$。

这道题的关键动作：把”够不着的那条棱”用平行传递换到手边的那个面里——木工在实物上画线用的就是这一手。

习题 8.5 第 4 题

4. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证 $EF \parallel A'C'$ .

证明：

1. $E$、$F$ 分别是 $AB$、$BC$ 的中点，$EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线， $$EF \parallel AC .$$
2. 长方体中 $AA' \parallel CC'$ 且 $AA' = CC'$，故四边形 $ACC'A'$ 是平行四边形， $$AC \parallel A'C' .$$
3. 由基本事实 4（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， $$EF \parallel A'C' .$$

自检（坐标）：设 $A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(2,2,0)$，高为 $h$，则 $E(1,0,0)$、$F(2,1,0)$，$\overrightarrow{EF} = (1,1,0)$；$A'(0,0,h)$、$C'(2,2,h)$，$\overrightarrow{A'C'} = (2,2,0) = 2\overrightarrow{EF}$，方向相同且两条直线不重合（$E \notin A'C'$，一个在下底面、一个在上底面）。

顺带一句：$EF \parallel A'C'$ 说明 $E$、$F$、$A'$、$C'$ 四点共面——很多「作截面」的题就是从这样一对平行线开始的。

习题 8.5 第 5 题

5. 如下页图，在四面体 $D - ABC$ 中，$E, F, G$ 分别是 $AB, BC, CD$ 的中点，求证：

(1) $BD \parallel$ 平面 EFG;

(2) AC // 平面 EFG.

$E \in AB$、$F \in BC$、$G \in CD$ 三点不共线，确定平面 $EFG$。先把两处「不在面内」一次说清：

引理：$B \notin$ 平面 $EFG$，$A \notin$ 平面 $EFG$。 若 $B \in$ 平面 $EFG$，则 $B$、$F$ 都在该面内，直线 $BF$（即 $BC$）$\subset$ 平面 $EFG$，于是 $C \in$ 平面 $EFG$；再加上 $C$、$G$ 给出 $CD \subset$ 平面 $EFG$，$D \in$ 平面 $EFG$——这样平面 $EFG$ 就是平面 $BCD$。但 $E$ 是 $AB$ 的中点，$E \in$ 平面 $BCD$ 会推出 $A \in$ 平面 $BCD$（$A$、$B$、$E$ 共线且 $B$、$E$ 在面内），四面体 $D\text{-}ABC$ 退化，矛盾。同理若 $A \in$ 平面 $EFG$，由 $E$ 是 $AB$ 中点得 $B \in$ 平面 $EFG$，回到上面的矛盾。

(1) $BD \parallel$ 平面 $EFG$。 $F$、$G$ 分别是 $BC$、$CD$ 的中点，$FG$ 是 $\triangle BCD$ 的中位线，

$$FG \parallel BD .$$

$FG \subset$ 平面 $EFG$，而 $BD \not\subset$ 平面 $EFG$（否则 $B \in$ 平面 $EFG$，与引理矛盾），由线面平行的判定定理，$BD \parallel$ 平面 $EFG$。

(2) $AC \parallel$ 平面 $EFG$。 $E$、$F$ 分别是 $AB$、$BC$ 的中点，$EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，

$$EF \parallel AC .$$

$EF \subset$ 平面 $EFG$，而 $AC \not\subset$ 平面 $EFG$（否则 $A \in$ 平面 $EFG$，与引理矛盾），由判定定理，$AC \parallel$ 平面 $EFG$。

自检：两条结论合起来说明平面 $EFG$ 同时平行于四面体的两条对棱 $BD$、$AC$——它就是常说的「中截面」。取 $AD$ 的中点 $H$，还能得到 $EH \parallel BD$、$GH \parallel AC$，四边形 $EFGH$ 是平行四边形，与上面两条结论互相印证。

这道题的关键动作：中位线。四面体里凡是给了一串中点，先把每个小三角形的中位线画出来，线面平行就都摆在那儿了。

习题 8.5 第 6 题

6. 如图，a，b 是异面直线，画出平面 $\alpha$ ，使 $a \subset \alpha$ ，且 $b \parallel \alpha$ ，并说明理由.

作法：在 $a$ 上任取一点 $P$，过 $P$ 作 $b' \parallel b$（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；$a$、$b$ 异面保证 $P \notin b$）。$a$ 与 $b'$ 交于 $P$，由它们确定的平面就是所求的 $\alpha$。

理由：

1. $a \subset \alpha$——$\alpha$ 就是由 $a$ 与 $b'$ 确定的；
2. $b' \neq a$：若 $b' = a$，则 $a \parallel b$，与 $a$、$b$ 异面矛盾。所以 $a$、$b'$ 确实是两条相交直线，$\alpha$ 存在且唯一确定；
3. $b \not\subset \alpha$：若 $b \subset \alpha$，则 $a$、$b$ 同在 $\alpha$ 内，共面，与异面矛盾；
4. $b \parallel b' \subset \alpha$ 且 $b \not\subset \alpha$，由线面平行的判定定理，$b \parallel \alpha$。

这样的平面只有一个。 设 $\alpha'$ 也满足 $a \subset \alpha'$、$b \parallel \alpha'$。$P \in a \subset \alpha'$，由第 1(2) 题的结论，过 $P$ 且平行于 $b$ 的那条唯一直线必落在 $\alpha'$ 内，即 $b' \subset \alpha'$；于是 $\alpha'$ 含相交直线 $a$、$b'$，故 $\alpha' = \alpha$。

这道题的关键动作：把异面的 $b$ 平移到 $a$ 上去——异面直线不能确定平面，平移之后就能了。第 14 题用的是同一手。

习题 8.5 第 7 题

7. 如图，$\alpha \cap \beta = CD$，$\alpha \cap \gamma = EF$，$\beta \cap \gamma = AB$，$AB \parallel \alpha$，求证 $CD \parallel EF$.

证明：

1. $AB \parallel \alpha$，$AB \subset \beta$，且 $\alpha \cap \beta = CD$——平面 $\beta$ 过直线 $AB$ 且与 $\alpha$ 相交，由线面平行的性质定理 $$AB \parallel CD .$$
2. 同理，$AB \subset \gamma$ 且 $\alpha \cap \gamma = EF$， $$AB \parallel EF .$$
3. 由基本事实 4， $$CD \parallel EF .$$

自检：三个平面两两相交得到三条交线 $AB$、$CD$、$EF$，本题的结论是它们互相平行。这与「三个平面两两相交，三条交线要么交于一点、要么两两平行」的一般图景相符——条件 $AB \parallel \alpha$ 恰好排除了「交于一点」那一支（若三线共点，该点在 $\alpha$ 上，$AB$ 就与 $\alpha$ 有公共点了）。

这道题的关键动作：一条直线平行于一个平面，就能被这个平面「复制」成任意一条与它有关的交线——性质定理连用两次，中间不必经过任何计算。

习题 8.5 第 8 题

8. 如图，直线 $AA'$，$BB'$，$CC'$ 相交于点 $O$，$AO = A'O$，$BO = B'O$，$CO = C'O$，求证：平面 $ABC \parallel$ 平面 $A'B'C'$.

先交代题图默认的前提：三条直线不共面（否则六个点全在一个平面里，两个「平面」重合，结论无从谈起）。

证法一（全等三角形）：

1. $AO = A'O$、$BO = B'O$，$\angle AOB = \angle A'OB'$（对顶角），故 $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$（SAS），于是 $\angle OAB = \angle OA'B'$。这两个角是直线 $AB$、$A'B'$ 被 $AA'$ 所截的内错角，而 $A$、$B$、$A'$、$B'$ 共面（都在相交直线 $AA'$、$BB'$ 确定的平面内），所以 $$AB \parallel A'B' .$$ 同理 $BC \parallel B'C'$。
2. $AB \not\subset$ 平面 $A'B'C'$：若 $A \in$ 平面 $A'B'C'$，则 $A$、$A'$ 都在该面内，直线 $AA' \subset$ 平面 $A'B'C'$，于是 $O \in$ 平面 $A'B'C'$；再由 $O$、$B'$ 得 $BB' \subset$ 平面 $A'B'C'$，$B \in$ 平面 $A'B'C'$；同理 $C$ 也在——六点共面，与前提矛盾。
3. 于是 $AB \parallel A'B' \subset$ 平面 $A'B'C'$ 且 $AB \not\subset$ 平面 $A'B'C'$，由线面平行的判定定理 $AB \parallel$ 平面 $A'B'C'$；同理 $BC \parallel$ 平面 $A'B'C'$。
4. $AB \cap BC = B$，两条相交直线都平行于平面 $A'B'C'$，由面面平行的判定定理 $$\text{平面 } ABC \parallel \text{平面 } A'B'C' .$$

证法二（向量，一行）：以 $O$ 为原点，条件就是 $\overrightarrow{OA'} = -\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB'} = -\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC'} = -\overrightarrow{OC}$。于是

$$\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{OB'} - \overrightarrow{OA'} = -\left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\right) = -\overrightarrow{AB} ,$$

同理 $\overrightarrow{A'C'} = -\overrightarrow{AC}$。两个三角形关于 $O$ 中心对称，对应边分别平行，两个平面的法向量 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{A'B'} \times \overrightarrow{A'C'}$ 相同，故两平面平行（不重合由「不共面」保证）。

这道题的关键动作：中心对称。看到「过一点且被该点平分」，先想到对应线段平行且相等，面面平行只差最后一句判定。

习题 8.5 第 9 题

9. 如图，E， $E'$ 分别为长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱 AD， $A'D'$ 的中点，求证 $\angle BEC = \angle B'E'C'$ .

证明：

1. $EE' \parallel AA'$ 且 $EE' = AA'$。 在矩形 $ADD'A'$ 中，$E$、$E'$ 分别是对边 $AD$、$A'D'$ 的中点，连接这一对对边中点的线段平行且等于另一组对边，即 $EE' \parallel AA'$、$EE' = AA'$。
2. 四边形 $EBB'E'$ 是平行四边形。 长方体中 $BB' \parallel AA'$ 且 $BB' = AA'$，与第 1 步合起来得 $EE' \parallel BB'$ 且 $EE' = BB'$，故 $$EB \parallel E'B' ,\qquad EB = E'B' ,$$ 且 $\overrightarrow{EB}$ 与 $\overrightarrow{E'B'}$ 方向相同。
3. 同理 $EC \parallel E'C'$，方向相同。
4. $\angle BEC$ 与 $\angle B'E'C'$ 的两边分别对应平行且方向相同，由等角定理（空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补；同向时相等）， $$\angle BEC = \angle B'E'C' .$$

自检：其实还能更强——$EB = E'B'$、$EC = E'C'$、$BC = B'C'$，故 $\triangle BEC \cong \triangle B'E'C'$，两个角相等是全等的推论。用坐标也是一眼：$\overrightarrow{E'B'} = \overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{E'C'} = \overrightarrow{EC}$（都相差同一个平移向量 $\overrightarrow{AA'}$），夹角当然相等。

这道题的关键动作：把「两个角相等」翻译成「两边对应平行且同向」——等角定理是这一章里唯一能把一个角搬到别处去的工具，用它时必须交代方向相同，否则只能得到「相等或互补」。

习题 8.5 第 10 题

10. 如图， $AB \parallel \alpha$ ， $AC \parallel BD$ ， $C \in \alpha$ ， $D \in \alpha$ ，求证 AC = BD.

证明：

1. $AC \parallel BD$，所以 $A$、$C$、$B$、$D$ 四点共面（过两条平行直线有且只有一个平面），记这个平面为 $\gamma$。
2. $C$、$D \in \alpha$，又 $C$、$D \in \gamma$，故 $$\gamma \cap \alpha = CD .$$
3. $AB \parallel \alpha$，$AB \subset \gamma$，$\gamma \cap \alpha = CD$，由线面平行的性质定理 $$AB \parallel CD .$$
4. 四边形 $ABDC$ 中两组对边分别平行（$AB \parallel CD$、$AC \parallel BD$），它是平行四边形，故 $$AC = BD .$$

自检：结论与课本例 5「夹在两个平行平面间的平行线段相等」形状一样，但条件弱得多——这里只有一个平面 $\alpha$ 和一句 $AB \parallel \alpha$。例 5 用面面平行的性质拿到 $AC \parallel BD$，本题用线面平行的性质拿到 $AB \parallel CD$，两条路都通向同一个平行四边形。

这道题的关键动作：先用一对平行线把四个点收进同一个平面，空间问题立刻变成平面几何。

习题 8.5 第 11 题

11. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.

把题面写成符号：$a \parallel b$，$a \parallel \alpha$，$b \not\subset \alpha$（「平面外的两条平行直线」），求证 $b \parallel \alpha$。

证明：

1. 造一个过 $a$ 且与 $\alpha$ 相交的平面。 在 $\alpha$ 内任取一点 $P$。因为 $a \parallel \alpha$，$a$ 与 $\alpha$ 无公共点，故 $P \notin a$，于是 $a$ 与 $P$ 确定一个平面 $\gamma$。$\gamma \neq \alpha$（$a \subset \gamma$ 而 $a \not\subset \alpha$），又 $P \in \gamma \cap \alpha$，所以 $$\gamma \cap \alpha = l$$ 是一条直线。
2. 性质定理把 $a$ 落进 $\alpha$：$a \parallel \alpha$、$a \subset \gamma$、$\gamma \cap \alpha = l$，故 $a \parallel l$。
3. 平行传递：$b \parallel a$、$a \parallel l$，由基本事实 4 得 $b \parallel l$。
4. 判定定理收口：$l \subset \alpha$，$b \not\subset \alpha$，故 $b \parallel \alpha$。

「在平面外」这个前提不能省：若 $b \subset \alpha$，同样的 $a \parallel b$、$a \parallel \alpha$ 都成立，但 $b$ 与 $\alpha$ 有无数公共点。这正是第 146 页练习第 3 题 (1)(4) 两小题的分界。

这道题的关键动作：平行要跨过一个平面传递，得先用性质定理把面外的 $a$ 落到面内的 $l$ 上——「面外 $\to$ 面内 $\to$ 面外」，两个定理各走一趟。

习题 8.5 第 12 题

12. 一木块如下页图所示，点 $P$ 在平面 $VAC$ 内，过点 $P$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $VB$ 和 $AC$ ，在木块表面应该怎样画线？

画法（$V\text{-}ABC$ 是一个三棱锥形的木块，$P$ 在面 $VAC$ 内）：

1. 在面 $VAC$ 内过 $P$ 作 $EF \parallel AC$，交 $VA$ 于 $E$、交 $VC$ 于 $F$；
2. 在面 $VAB$ 内过 $E$ 作 $EG \parallel VB$，交 $AB$ 于 $G$；
3. 在面 $VBC$ 内过 $F$ 作 $FH \parallel VB$，交 $BC$ 于 $H$；
4. 连 $GH$（它落在底面 $ABC$ 内）。

沿 $E \to F \to H \to G \to E$ 这一圈锯开，截面就同时平行于 $VB$ 与 $AC$。木块表面要画的就是这四条线。

为什么对：

• 四点共面：$EG \parallel VB$、$FH \parallel VB$，故 $EG \parallel FH$；过两条平行直线有且只有一个平面，$E$、$F$、$G$、$H$ 都在其中，锯出来的确实是一个平面截面。
• 截面 $\parallel AC$：$EF \parallel AC$，$EF \subset$ 截面，$AC \not\subset$ 截面（$AC$ 在底面上，而截面与底面交于 $GH$，$G \in AB$、$H \in BC$ 都不是 $A$、$C$），由线面平行的判定定理得证。
• 截面 $\parallel VB$：$EG \parallel VB$，$EG \subset$ 截面，$VB \not\subset$ 截面，同样由判定定理得证。 $VB \not\subset$ 截面这一步这样验最干净：截面与直线 $VA$ 只交于 $E$，而 $E \neq V$（$E$ 是 $VA$ 的内点）， 所以 $V \notin$ 截面，过 $V$ 的直线 $VB$ 自然不含在截面里。 千万别写成「$V$ 在截面之上、$B$ 在截面之下」——那句话恰好是反的：截面既然平行于 $VB$， $V$ 与 $B$ 必在截面的同侧（锯开后 $V$、$B$ 落在同一块上，$A$、$C$ 落在另一块上， 被锯断的是 $VA$、$VC$、$AB$、$BC$ 四条棱，$VB$ 与 $AC$ 都没断）。

自检（这一步值得在锯之前做）：截面 $\parallel AC$，$AC \subset$ 面 $ABC$，而截面与面 $ABC$ 的交线是 $GH$，由线面平行的性质定理必有

$$GH \parallel AC .$$

所以画完后量一量：底面上那条 $GH$ 若不平行于 $AC$，说明前面某一步画歪了。也可以用比例复核：$EG \parallel VB$ 给出 $\dfrac{AG}{GB} = \dfrac{AE}{EV}$，$FH \parallel VB$ 给出 $\dfrac{CH}{HB} = \dfrac{CF}{FV} = \dfrac{AE}{EV}$（后一个等号来自 $EF \parallel AC$），两个比相等正好给出 $GH \parallel AC$。

这道题的关键动作：「截面平行于某条直线」就翻译成「截面内有一条平行于它的直线」——两个方向各作一条，交点定住整个截面。

习题 8.5 第 13 题

13. 如图，$\alpha // \beta // \gamma$，直线 $a$ 与 $b$ 分别交 $\alpha, \beta, \gamma$ 于点 $A, B, C$ 和点 $D, E, F$，求证 $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$.

证明：连 $AF$，设 $AF$ 与 $\beta$ 交于点 $G$。（$AF$ 与 $\alpha$ 交于 $A$，由练习第 1(5) 题的结论，它必与 $\beta$ 相交；$\alpha \parallel \beta \parallel \gamma$ 保证 $G$ 落在线段 $AF$ 内部。）

① 在平面 $ACF$ 内（由相交直线 $a$ 与 $AF$ 确定，它含 $A$、$B$、$C$、$F$、$G$）：这个平面与 $\beta$ 交于 $BG$、与 $\gamma$ 交于 $CF$，由 $\beta \parallel \gamma$ 与面面平行的性质定理

$$BG \parallel CF .$$

在 $\triangle ACF$ 中由平行线分线段成比例，

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AG}{GF} .$$

② 在平面 $ADF$ 内（由相交直线 $b$ 与 $AF$ 确定，它含 $A$、$D$、$E$、$F$、$G$）：这个平面与 $\alpha$ 交于 $AD$、与 $\beta$ 交于 $GE$，由 $\alpha \parallel \beta$ 与性质定理

$$AD \parallel GE .$$

在 $\triangle FAD$ 中同样有

$$\frac{AG}{GF} = \frac{DE}{EF} .$$

③ 合起来：

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AG}{GF} = \frac{DE}{EF} .$$

自检：把三个平面取成三个水平面、两条直线取成两条斜线，用坐标算一次——若 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 分别是 $z = 0$、$z = h$、$z = H$，直线 $a$ 上三点的参数与 $z$ 成正比，$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{h}{H-h}$，对 $b$ 同样，两者相等。这也说明比值只由三个平面的位置决定，与直线怎么穿过无关。

这道题的关键动作：连一条辅助线（$AF$）把两条不共面的直线串进两个三角形，每个三角形里用一次性质定理。它就是平面几何里「平行线分线段成比例」的空间版本。

习题 8.5 第 14 题

14. 如图，a，b 是异面直线， $a \subset \alpha$ ， $a \parallel \beta$ ， $b \subset \beta$ ， $b \parallel \alpha$ ，求证 $\alpha \parallel \beta$ .

思路：$a$、$b$ 异面，不能直接当作「$\alpha$ 内的两条相交直线」用。先把 $b$ 平移进 $\alpha$。

证明：在 $a$ 上取一点 $P$。

1. 把 $b$ 平移进 $\alpha$：$b \parallel \alpha$ 且 $P \in a \subset \alpha$，由第 1(2) 题的结论，过 $P$ 且平行于 $b$ 的那条唯一直线 $b'$ 一定落在 $\alpha$ 内。
2. $a$ 与 $b'$ 相交：两条直线都过 $P$；且 $b' \neq a$，否则 $a \parallel b$，与 $a$、$b$ 异面矛盾。
3. $b' \parallel \beta$：$b' \parallel b \subset \beta$；又 $P \in a$ 而 $a \parallel \beta$ 给出 $a \cap \beta = \varnothing$，故 $P \notin \beta$，于是 $b' \not\subset \beta$。由线面平行的判定定理得 $b' \parallel \beta$。
4. 收口：$\alpha$ 内的两条相交直线 $a$、$b'$ 都平行于 $\beta$（$a \parallel \beta$ 是题设），由面面平行的判定定理 $$\alpha \parallel \beta .$$

为什么条件里「异面」是必需的：若 $a \parallel b$，则 $b'$ 与 $a$ 重合，$\alpha$ 内只剩一条直线平行于 $\beta$，判定不了——此时 $\alpha$ 与 $\beta$ 确实可以相交（交线平行于 $a$）。这道题是练习第 1(1) 题那个反例的正面版本：把「两条平行」换成「两条异面」，结论就真了。

这道题的关键动作：平移。异面直线不给交点，平移一条到另一条上去，判定定理的前提就齐了（第 6 题用的是同一手）。

习题 8.5 第 15 题

15. 如图，透明塑料制成的长方体容器 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜。随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； （4）棱 $A_{1}D_{1}$ 始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时， $BE \cdot BF$ 是定值。 其中所有正确命题的序号是____，为什么？

答案：正确的是 (1)(2)(4)(5)。

共同的出发点：容器底面的棱 $BC$ 固定在地面上，倾斜只是绕 $BC$ 转动，所以 $BC$ 始终水平；而水面始终水平。于是水面所在平面与 $BC$ 平行（$BC$ 浸在水里，不在水面上）。另外，长方体的两个侧面 $ABB_1A_1$ 与 $DCC_1D_1$ 互相平行、且都与 $BC$ 垂直，它们之间的距离恒为 $BC$。

(1) 正确。 有水的部分由这些面围成：两个互相平行的侧面 $ABB_1A_1$、$DCC_1D_1$ 上各一块截面，以及若干张「含 $BC$ 方向」的面——容器的其余各面（$ABCD$、$BCC_1B_1$、$A_1B_1C_1D_1$、$ADD_1A_1$）都含有与 $BC$ 平行的棱，水面也与 $BC$ 平行。把侧面 $ABB_1A_1$ 内的那块截面沿 $BC$ 方向平移，扫过的正是这个几何体：两个底面平行且全等、侧棱都平行于 $BC$，按定义就是棱柱。

(2) 正确。 没有水的部分被同样的两个平行侧面夹住，其余边界（容器的面与水面）同样都平行于 $BC$，理由与 (1) 逐字相同。

(3) 错误。 水面 $EFGH$ 与两个平行侧面的交线是一对平行线段（面面平行的性质定理），与另两个面的交线也是一对平行线段，所以它是平行四边形；又 $BC$ 垂直于那两个侧面，故它是矩形，其中一组对边长恒为 $BC$，另一组对边就是水面在侧面 $ABB_1A_1$ 内截出的线段。这条线段随倾斜度改变：容器直立时（图(1)）它等于棱 $AB$，倾斜到图(3)时它变成直角三角形 $BEF$ 的斜边 $\sqrt{BE^2 + BF^2}$。面积 $= BC \times$ 这条线段，随之改变，不是定值。

(4) 正确。 长方体中 $A_1D_1 \parallel B_1C_1 \parallel BC$。$BC$ 与水面所在平面平行（$BC$ 水平且在水面之下，与水面无公共点），$A_1D_1$ 是容器顶棱、不在水面上；由第 11 题的结论（平面外的两条平行直线，一条平行于该平面则另一条也平行），

$$A_1D_1 \parallel \text{水面所在平面} .$$

(5) 正确。 图(3) 中有水的部分是一个三棱柱：底面是侧面 $ABB_1A_1$ 内的 $\mathrm{Rt}\triangle BEF$（$E$ 在棱 $BA$ 上、$F$ 在棱 $BB_1$ 上，直角在 $B$，因为长方体的 $BA \perp BB_1$），侧棱长为 $BC$。水量不变，故体积

$$V = \frac{1}{2}\,BE \cdot BF \cdot BC$$

是定值，而 $BC$ 是定长，于是

$$BE \cdot BF = \frac{2V}{BC}$$

是定值。

自检：把 (3) 与 (5) 放在一起看很有意思——同一段倾斜过程里，$BE \cdot BF$ 是常数而 $\sqrt{BE^2+BF^2}$ 不是（例如 $BE = BF$ 与 $BE = 2BF$ 两种姿态下前者相同、后者不同），这正说明面积那条为什么错。

这道题的关键动作：先认出”绕 $BC$ 转、$BC$ 始终水平”这一条不变量，五个命题全都从它出发：棱柱形来自「所有边界都平行于 $BC$」，$A_1D_1$ 平行于水面来自「$A_1D_1 \parallel BC$」，体积定值来自「侧棱长恒为 $BC$」。