三垂线法作二面角

解题套路

要求二面角 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$ 的大小，在半平面 $\beta$ 内取一点 $D$：

1. 第一条垂线：作 $DE\perp$ 平面 $\alpha$，垂足 $E$（本步常靠「面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直」落地：若 $\beta$ 所在的某个平面与 $\alpha$ 垂直，在其中作垂直于交线的直线即可）。

2. 第二条垂线：在平面 $\alpha$ 内作 $EF\perp l$，垂足 $F$。

3. 连线：连 $DF$。由 $DE\perp\alpha$ 知 $DE\perp l$，又 $EF\perp l$，故 $l\perp$ 平面 $DEF$，于是 $l\perp DF$——$\angle DFE$ 就是二面角的平面角。

4. 解直角三角形：$DE\perp$ 平面 $\alpha\supseteq EF$，所以 $\triangle DEF$ 在 $E$ 处是直角。于是

   $$\tan\angle DFE=\frac{DE}{EF},\qquad \sin\angle DFE=\frac{DE}{DF} .$$

为什么它是「三」垂线

三条垂直关系串在一起：$DE\perp\alpha$（第一条）、$EF\perp l$（第二条），推出 $DF\perp l$（第三条，白得的）。第三条正是「平面角的两边都垂直于棱」这个定义要求，所以 $\angle DFE$ 合法。这套作法的价值就在于它把「平面角在哪」变成了两次作垂线的机械动作，不必凭空找那个角。

和空间向量法的分工

• 向量法：不用作辅助线，代价是要建系、算叉乘、最后还要判「法向量夹角与二面角相等还是互补」。
• 三垂线法：不用坐标，得到的是一个真实的直角三角形，边长可以用题目里的长度层层表出；代价是要看得出第一条垂线该往哪个平面作。
• 两条路互相验算最省心：向量法算出的余弦值，应当与直角三角形里 $\dfrac{EF}{DF}$ 一致。

注意

• 第 1 步的垂足 $E$ 可能落在半平面 $\alpha$ 的边界之外（钝角情形），此时 $\angle DFE$ 是平面角的补角，要说清楚。
• $\triangle DEF$ 的直角在 $E$，不在 $F$。把直角认错，$\tan$ 与 $\sin$ 的分母就全错了。