二面角

教材原文

如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 棱为 $AB$ ，面分别为 $\alpha$ ，$\beta$ 的二面角记作二面角 $\alpha - AB - \beta$ . 有时为了方便，也可在 $\alpha$ ，$\beta$ 内（棱以外的半平面部分）分别取点 $P$ ，$Q$ ，将这个二面角记作二面角 $P - AB - Q$ . 如果棱记作 $l$ ，那么这个二面角记作二面角 $\alpha - l - \beta$ 或二面角 $P - l - Q$

如图8.6-23，在二面角 $\alpha - l - \beta$ 的棱 $l$ 上任取一点 $O$ ，以点 $O$ 为垂足，在半平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 内分别作垂直于棱 $l$ 的射线 $OA$ 和 $OB$ ，则射线 $OA$ 和 $OB$ 构成的 $\angle AOB$ 叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。二面角的平面角 $\alpha$ 的取值范围是 $0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 180^{\circ}$。

读记号

「二面角 $F-BC-A$」的读法：中间是棱（$BC$），两头各是一个半平面上的点（$F$ 那一侧、$A$ 那一侧）。所以它问的是「含 $F$ 的半平面」与「含 $A$ 的半平面」之间张开多少。

怎么作平面角

两条射线都必须垂直于棱，且都从棱上同一点出发。常用的两种作法：

1. 直接作：在棱上找一点，两个面内各作棱的垂线。

2. 借垂线（更常用）：从一个面内的点 $F$ 向另一个面作垂线，垂足 $P$；再从 $P$ 向棱作垂线，垂足 $M$；连 $FM$。此时 $FM\perp$ 棱（三垂线），$\angle FMP$ 就是平面角，且

   $$\tan\angle FMP=\frac{FP}{PM}=\frac{\text{点到面的距离}}{\text{垂足到棱的距离}}$$

   这一条把二面角也化成了两条线段之比，与线面角那边同形。

要点

• 范围是 $[0^\circ,180^\circ]$，可以是钝角——与线面角（最多 $90^\circ$）、异面直线角（最多 $90^\circ$）都不同。

• 向量法：两个半平面的法向量 $\vec n_1,\vec n_2$ 的夹角与二面角相等或互补，所以

  $$|\cos\theta|=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$$

  是钝是锐要另行判断（看图，或用一个面内指向的向量定号）——这是向量法在二面角上唯一需要人工介入的地方。

• 平面角的大小与棱上取哪一点无关，所以可以挑最好算的那一点。

常见失手

• 两条射线没都垂直于棱：随手连两条线量出来的角不是平面角。
• 向量法直接把法向量夹角当答案：可能差一个补角。
• 与线面角混：$0^\circ\sim180^\circ$ 与 $0^\circ\sim90^\circ$ 是两个不同的量程，钝角答案只可能出自二面角。