多个二面角比大小

题型长什么样

一个锥体（多为正四面体、正棱锥），顶点在底面上的投影是个特殊点（中心、垂心、某条边的中点）； 底面上取几条线，分别记这几条线上的二面角为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，问它们的大小次序。

选项只问次序，不问数值——这是这类题的关键信号：谁大谁小是被问的，具体多少度不是。

两条路

1. 建系，把每个角的余弦都算出来再比。 每条棱各求一次法向量，得到三个 $\cos$， 比余弦即可（都是锐角时，余弦越大角越小）。稳，但要算三遍法向量，算量最大。

2. 化到同一个量上比。 顶点的投影 $O$ 固定、锥高 $h$ 三个角共用，于是沿底面内直线 $\ell$ 的二面角满足

   $$\tan\theta=\frac{h}{d},\qquad d=\operatorname{dist}(O,\ell)$$

   $h$ 是公共的，比三个角就退化成比三条距离，且方向是反的：$d$ 越小、角越大。

第 2 条几乎总是更快，因为它把「求角」换成了「求底面上的三条距离」——那是平面几何的活。

怎么判断能不能走第 2 条

用得上 $\tan\theta=h/d$ 的前提是：投影 $O$ 与二面角另一面所含的那个点，在棱的同一侧。 $O$ 落在底面那个小三角形内部时三条棱同时满足，是最常见的情形。$O$ 落在外面， 那一条棱上的二面角是钝角，$\tan\theta=h/d$ 就要改写成补角，得单独交代。

收尾

比完次序回头对一次选项：四个选项常常只差一个字母的位置，把 $\alpha<\gamma<\beta$ 读成 $\alpha<\beta<\gamma$ 是这类题最主要的失分方式。