减掉沿棱的分量再算二面角

解题套路

设二面角 $A\text{-}\ell\text{-}B$ 的棱上取定一点 $M$，棱的方向向量 $\vec e$， 另取 $\vec u=\overrightarrow{MA}$、$\vec v=\overrightarrow{MB}$（$A$、$B$ 各在一个半平面内）。

1. 减掉沿棱的分量：

   $$\vec u_{\perp}=\vec u-\frac{\vec u\cdot\vec e}{|\vec e|^{2}}\,\vec e ,\qquad \vec v_{\perp}=\vec v-\frac{\vec v\cdot\vec e}{|\vec e|^{2}}\,\vec e .$$

   两者都垂直于棱，又分别落在两个半平面内——这正是平面角的定义要的两条射线。

2. 平面角就是它们的夹角：$\cos\theta=\dfrac{\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp}} {|\vec u_{\perp}|\,|\vec v_{\perp}|}$。

3. 要判直角只看分子：$\theta=90^{\circ}\Longleftrightarrow\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp}=0$， 而分子展开后有一个好用的形式

   $$\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp} =\vec u\cdot\vec v-\frac{(\vec u\cdot\vec e)(\vec v\cdot\vec e)}{|\vec e|^{2}} .$$

   模长一概不用算，常常几步就化干净。

为什么值得用它，而不是法向量

法向量那条路快，但它给的是两个法向量的夹角，与二面角要么相等要么互补， 得靠「取哪个方向」或图形观察补一句判断——这一句写漏就是整题的符号错 （见易错点「法向量夹角与二面角混用」）。

按定义减分量这条路不存在补角问题：$\vec u_{\perp}$、$\vec v_{\perp}$ 是从棱上同一点 指向两个半平面的真实射线，算出来的就是平面角本身。 判直角时尤其划算——只需一个数量积为零，连开方都不用。

用在哪种题上最顺手

• 棱上有动点、要定位置：把动点写成参数，$\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp}=0$ 化简后 常常收成参数的一次方程，顺带把「有几个解」也答了。
• 两个半平面的法向量不好取（含参数、方向不好定）时。
• 只判直二面角时：这时分母恒正，条件只剩分子为零。

注意

• $\vec u$、$\vec v$ 的起点必须是棱上同一点 $M$；起点不同算出来的不是同一个角。
• $A$、$B$ 要分别取在两个半平面内（不是随手取平面上任意点）， 否则得到的是那个角的补角。
• $\vec u_{\perp}$ 或 $\vec v_{\perp}$ 为零向量说明 $MA$（或 $MB$）与棱共线， 该点选得不合法，换一点。