易错点

法向量夹角与二面角混用

两个法向量的夹角与二面角要么相等要么互补，余弦值只差一个符号；不判方向就直接抄，答案可能差一个负号。

用空间向量求二面角，标准写法是取两个半平面的法向量 m\boldsymbol m、n\boldsymbol n，算

cos⁡⟨m,n⟩=m⋅n∣m∣∣n∣.\cos\langle\boldsymbol m,\boldsymbol n\rangle=\frac{\boldsymbol m\cdot\boldsymbol n}{|\boldsymbol m||\boldsymbol n|}.

但这个数不一定就是二面角的余弦。 法向量的方向可以任意翻转（n\boldsymbol n 与 −n-\boldsymbol n 都是法向量），翻一下这个余弦就变号。所以真正确定的只有 ∣cos⁡θ∣=∣cos⁡⟨m,n⟩∣\bigl|\cos\theta\bigr|=\bigl|\cos\langle\boldsymbol m,\boldsymbol n\rangle\bigr|：

θ=⟨m,n⟩或θ=π−⟨m,n⟩.\theta=\langle\boldsymbol m,\boldsymbol n\rangle\quad\text{或}\quad\theta=\pi-\langle\boldsymbol m,\boldsymbol n\rangle .

怎么定下那个符号

  • 看图：二面角是锐角还是钝角，通常从图上一眼可判（棱两侧的半平面「张开」还是「合拢」）。判完再决定要不要给算出来的余弦加负号。
  • 取「向内 / 向外」一致的法向量：让两个法向量都指向二面角的内部（或都指向外部），此时法向量夹角与二面角互补；一个向内一个向外则相等。约定好方向再算，符号自然对。
  • 只问正弦或只问绝对值时可以不判：题目给的是 sin⁡θ\sin\theta、或所求只是 ∣cos⁡θ∣|\cos\theta| 时，两种情形给出同一个方程，这一步可以省——但要说明为什么可以省，不能装作没这回事。

附带一条

同样的毛病也出现在线面角上：直线方向向量与平面法向量的夹角 φ\varphi 与线面角 ψ\psi 满足 sin⁡ψ=∣cos⁡φ∣\sin\psi=\bigl|\cos\varphi\bigr|——那里是 sin⁡\sin 配 cos⁡\cos、且必须取绝对值，写成 cos⁡ψ\cos\psi 就全错了。

学它之前先会

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出现在以下题目中

共 4 道题考到本条。