数学易错点

共 185 个易错点， 按标题拼音序排列。

• 按路径条数当成等可能树形图 / 管道图上数出「到 $A$ 有 2 条路、到 $C$ 有 3 条路」就写成 $\frac{2}{7}$、$\frac{3}{7}$——只有**每条路经过的分叉次数都相同**时路径才等可能；分叉次数不同的路，概率是 $\left(\frac12\right)^{m}$，相差成倍。
• 把导函数的图象当成原函数本身题目画的是 $y=f'(x)$，读的却是「这条曲线在升所以 $f$ 在升」——$f$ 的升降只看 $f'$ 在 $x$ 轴的**哪一侧**，与 $f'$ 自己往哪儿走毫无关系。
• 把递增当成恒正「递增」锁住的是相邻两项（或两点）的**差**，「恒正」锁住的是函数值本身的**位置**；把整条图象往下平移，前者纹丝不动、后者立刻垮掉，所以递增推不出恒正。
• 把视图的斜边当成棱的实长三视图上量到的每一段都是**投影长**。只有平行于该投影面的棱才投出实长；斜着的棱投出来一定更短，把视图上的斜边当成棱长，后面所有长度、面积、角度全跟着错。
• 把无解硬凑成有解推导落到矛盾（$a^{2}=0$、判别式恒负、区间为空）时，正确的动作是复核每一步、然后敢写「无解」；最坏的做法是心里认定「答案总该在选项里」，于是悄悄改一个符号或下标把结果凑出来——答案对了，推理是假的。
• 把异面直线误判为相交直线在正方体等多面体中，两条无公共点的线段在图上看似交于某顶点，实则异面。
• 倍角正切分母的相减顺序写反$\tan 2\theta$ 的分母是 $1-\tan^2\theta$，不是 $\tan^2\theta-1$，也不是 $1+\tan^2\theta$；顺序写反整个式子只差一个负号，而选项里往往正好摆着那个相反数。
• 必要条件当成充要条件代几个特殊值挤出的参数范围只是**必要**的——真实范围可能更小；要当答案，得回头验一遍充分性。
• 补集端点的开闭忘了翻原集合在某个端点取到（闭），补集在那里就取不到（开）；反之亦然。端点照抄不翻，答案就差在那一个点上。
• 不等式求最值漏验等号用柯西/均值不等式得到下界（上界）后，不验证等号能否取到就宣称「最小值为……」。
• 不放回当独立重复试验不放回的多轮试验，各轮结果并不独立，套二项分布必错；但每轮的边缘概率仍可能相同，期望的可加性照样能用。
• 参变分离时定义域还含着参数「对任意 $x\in D$ 恒成立」里的 $D$ 如果自己就带着参数（$x\in(0,3a]$、$x\in[a,a+1]$），把参数从不等式里分离出来之后**并没有分离干净**——另一半还留在区间端点上，于是取最值那一步得到的是关于参数的隐式不等式，不能当成「$a\geq$ 某个常数」直接读。
• 常数项当成某点的函数值多项式的常数项 $c$ 只等于 $f(0)$。题目限制的是别的点（比如 $f(-1)$）时，$c$ 与那个值之间差着该点上其余各项的和——把限制原样搬到 $c$ 头上，整个范围就平移错了。
• 常数项当成有理项「常数项」由 $x$ 的次数为 $0$ 定，「系数有理」由根号那一处的指数为偶定——两个判据各管一件事，常数项的系数完全可以是无理数（$(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的常数项就是 $16\sqrt{2}$）。
• 乘积判单调漏验因子正负「两个因子都递增，所以乘积递增」只在两个因子**同时为正**时才对；有一个是负的，结论会整个翻过来。
• 充分与必要说反$p\Rightarrow q$ 时，$p$ 充分、$q$ 必要——箭头**射出**的一端充分，**射入**的一端必要，反过来说就把答案换成了另一个选项。
• 抽到即停漏掉较长的抽取序列「拿到某个东西就停」这类试验里，同一个结果往往由长短不同的好几条抽取序列达成；只算最短那一条（第一次就拿到），概率就算小了。
• 抽象函数极值点的恒成立误判「$x_0$ 是极（小）值点」要对所有满足条件的 $f$ 都成立；否定它只需一个反例函数，别被 $f(x_0)=0$ 骗到。
• 垂直于面内一条线就断线面垂直由「$l$ 垂直于 $\alpha$ 内的某一条直线 $m$」直接写 $l\perp\alpha$——判定定理要的是**两条相交**的线，一条什么也保证不了，$l$ 甚至可以整条躺在 $\alpha$ 里。
• 垂直与平行的坐标条件记混垂直看数量积 $x_1x_2+y_1y_2=0$，平行看交叉相乘 $x_1y_2-x_2y_1=0$，两者最易拿反。
• 当且仅当只证一半「当且仅当」是双向的：区间内要成立，区间外要不成立；只证恒成立那一半，求出的参数范围会偏大。
• 导数为零就当成极值点$f'(x_{0})=0$ 只是可导函数在 $x_{0}$ 取极值的**必要**条件；$f'$ 在 $x_{0}$ 两侧不变号时那里没有极值（$y=x^{3}$ 在 $0$ 处）。
• 到定点最远的点当成顶点「曲线上离定点最远的点」一般不在顶点上——顶点只是离中心最远，定点不是中心时最远点要靠一元二次函数的对称轴定。
• 到直线的距离漏判曲线与直线相交「曲线到直线的距离」是最小值——曲线与直线一旦有公共点，这个距离就是 $0$，不是把配方或点线距离公式的结果套进绝对值方程解出来的那个数。
• 到准线的距离当成横坐标对 $y^{2}=2px\ (p>0)$，点 $P$ 到准线的距离是 $x_{P}+\dfrac{p}{2}$，不是 $x_{P}$——准线在 $y$ 轴左边 $\dfrac{p}{2}$ 处，「到准线」不等于「到 $y$ 轴」。
• 等比数列的项不能为零$G^2=ab$ 只是必要条件；三项里只要有一个是 $0$，就不成等比数列，那个解得舍。
• 等比数列通项的指数少减一等比数列的通项是 $a_{n}=a_{1}q^{\,n-1}$，指数是 $n-1$ 不是 $n$——因为 $a_{1}$ 本身已经是「乘了 $0$ 次 $q$」的那一项。指数多写一位，算出来的每一个比值都会差一个 $q$。
• 等分点当成一定踩得到极值点把 $[a,b]$ 等分成 $N$ 份，峰谷落不落在分点上要看 $N$ 除不除得尽——踩不到时，折线的落差永远比真正的峰谷差一点点。
• 递推不等式只给单边界$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ 这类递推只压得出下界、压不出上界（函数可以任意大）；拿它去证上界型结论，方向就错了。
• 点差法算完不验中点在曲线内点差法只用了「两端点在曲线上」，得到的是必要条件；中点若落在曲线外，那条弦根本不存在，解出来的答案是假的。
• 点到棱的距离与二面角的大小方向记反$\tan\theta=h/d$ 里 $d$ 在分母上——距离越大，二面角反而越小。凭「远即大」的直觉排序会把次序整个倒过来。
• 定义给的是下一项时下标代错题面写成 $b_{n+1}=\cdots$（左边是**下一项**）时，要 $b_k$ 必须代 $n=k-1$；直接代 $n=k$ 会把整串结果错一位。
• 动点的活动范围照示意图截短题面说动点沿某条射线（或直线）移动，示意图却只画出其中一段；照着图把参数的范围设成那一段，最值就求在了错的定义域上。
• 动点取到端点时平面退化动点 $M$ 跑到端点上时，原本用来定平面的三个点会共线，「平面 $AMC$」当场不存在——含参的法向量在那里分母为零，不是算错，是那个位置本来就不合法，必须先排除再解方程。
• 动点在弦上不在圆上$P$ 在边（弦）上时，$|OP|$ 的范围是 $[d,R]$（$d$ 是中心到弦的距离），既不是恒等于 $R$，也不是从 $0$ 起。
• 端点同号就断定区间里没有零点零点存在定理只给**充分**条件：$f(a)f(b)<0$ 保证有零点，$f(a)f(b)>0$ 什么也不保证——区间里可以一个零点都没有，也可以有偶数个。
• 对数尺度倍数与加分贝的换算记错在 $L=20\lg\frac{p}{p_0}$ 这类模型里，$p$ 乘 $10$ 对应 $L$ 加 $20$，乘 $100$ 加 $40$——不是加 $10$。
• 对数图象漏了平移$y=\log_a(x+t)$ 的零点在 $x=1-t$、竖直渐近线在 $x=-t$、定义域是 $x>-t$——照着 $y=\log_a x$ 画（零点 $1$、渐近线是 $y$ 轴）就整条曲线都错位了。
• 二倍角余弦的三种形式选错$\cos 2\theta$ 有三种写法，要按手里只有 $\sin$ 还是只有 $\cos$ 来挑，挑反就差一个符号。
• 二面角的平面角没找对两条射线都必须垂直于棱、且各在一个半平面内——随手连两条线量出的角不是二面角。
• 二面角与法向量夹角互补漏判法向量夹角 $\theta$ 与二面角 $\alpha$ 满足 $\alpha=\theta$ 或 $\alpha=\pi-\theta$；用 $|\cos|$ 会丢掉这层取舍，须回图判定。
• 二项展开式漏带交错符号$(a-b)^{n}$ 的通项是 $C_{n}^{r}a^{n-r}(-b)^{r}=(-1)^{r}C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$——那个减号要跟着 $r$ 走；把它当加号，奇数 $r$ 的项符号全反。
• 法向量夹角与二面角混用两个法向量的夹角与二面角要么相等要么互补，余弦值只差一个符号；不判方向就直接抄，答案可能差一个负号。
• 翻折时把旋转半径取错一个点绕直线 $\ell$ 转出平面，它能升到的最大高度是它到 $\ell$ 的**距离**，不是它到 $\ell$ 上某个端点的距离。
• 方差简算式漏掉期望的平方$D(X)=E\left(X^{2}\right)-\left[E(X)\right]^{2}$——减掉的是**均值的平方**；写成 $E\left(X^{2}\right)-E(X)$ 后面全盘皆错，而且量纲都不对。
• 放入正方体只试平行截面忘了斜截面直径 $>$ 棱长的薄圆盘塞不进任何与面平行的截面，但能斜着放进中点正六边形——别因「面放不下」就判死。
• 放缩过头放大得太狠，得到的界比要证的结论还松，结论就够不着了——放缩要「刚好够用」，不是「越简单越好」。
• 分段单调漏验分界点分段函数在 $\mathbb{R}$ 上单调，除每段各自单调外，还须验分界处：左段的上确界 $\le$ 右段端点值（递增时）；漏验则范围多收一半。
• 分段解析式越界代入解析式只在它自己的区间上成立，自变量不在区间里就不能直接代。
• 分类计数重复或遗漏分类计数必须「不重不漏」：各类两两不相交、并起来是全体；间接法排除时别多减或漏减。
• 分配的容量上限漏当成限制「每人 2 张」「每盒最多放 3 个」这类话读着像在交代背景，其实是一条**容量上限**，会直接禁掉一部分分法；不把它翻译成计数条件，算出来的数一定偏大。
• 分式不等式直接交叉相乘把 $a<\dfrac{1}{b}$ 两边同乘 $b$ 得 $ab<1$——只有 $b>0$ 时才对。$b<0$ 要变号成 $ab>1$，$b=0$ 时原式压根没意义。分母符号不明就交叉相乘，等于把三种情形当成一种。
• 否定时只翻量词没翻结论写命题的否定时把 $\forall$ 换成了 $\exists$，后面的结论却原样抄下来——量词与结论必须同时动，只动一半得到的是另一个命题，不是否定。
• 负余弦下模越大数量积反而越小夹角是钝角时 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ 为负，两条边越长负得越深——「边长值大」在这里是反的。
• 复合单调性漏看外层的增减由复合函数单调性推内层时，必须先确认外层是增是减；外层减则内层与整体相反。
• 复合函数求导漏乘内层导数对 $\sqrt{2x-1}$、$e^{-x}$、$\sin 2x$ 这类「套了一层」的式子求导，只按外层公式写，忘了再乘内层的导数。
• 复数相除硬约分母复数相除时把含 $i$ 的分母当实数约掉或直接写商；必须先把分母实数化（同乘共轭），除以纯 $i$ 就是乘 $-i$。
• 赋值语句右边取的是旧值框图处理框里的 $S=S+2^{S}$ 是「把右边算出来的数装进左边」，右边两个 $S$ 用的都是这一轮进来时的旧值；当成方程去解、或右边偷用刚算出的新值，都会把循环跑歪。
• 个数变多就当成占比变大「红球个数的期望变大」和「摸到红球的概率变大」是两件事——分子涨的同时分母也在涨，占比可以反着走。
• 公比为正当成各项都正$q>0$ 只保证等比数列**各项同号**（都跟首项一个号），不保证是正的。要「各项为正」还得再有 $a_1>0$。这两句话是两个条件，题面给了哪一句就只能用哪一句。
• 公切线漏数内公切线两圆外离时公切线有四条——两条外公切线、两条内公切线；只想到外面那两条，几何上少画两条、代数上会把「另一种去绝对值」丢掉，于是把有解的题做成无解。
• 公切线只对斜率不对截距斜率相等只说明两条切线平行；要它们是同一条直线，还必须让切点也落在那条直线上。
• 共轭运算的符号记混取共轭只改虚部的符号；$z-\bar{z}$ 是纯虚数、$z+\bar{z}$ 是实数，两者与正负号最易混。
• 归纳猜想只对上前几项就当证完前几行都对，不等于对一切 $n$ 成立。由几个特例看出来的一般式只是**猜想**，它与真命题之间隔着一个证明。
• 过定点设直线漏斜率不存在过定点设 $y-y_0=k(x-x_0)$ 时，必须先单查竖直直线 $x=x_0$，它没有斜率 $k$。
• 过某点的切线与在某点处的切线混同「过点 $P$ 的切线」里 $P$ 是被经过的点，切点另设；「在点 $P$ 处的切线」里 $P$ 就是切点。前者可能有多条，后者只有一条。
• 含参导数漏掉参数非正的一支$f'(x)=ae^x-1$ 这类，$a$ 的符号决定 $f'$ 能否为 $0$；只讨论 $a>0$ 会漏 $a\le0$ 的整体递减。
• 含参二次方程没先判二次项系数为零$at^{2}+bt+c=0$ 里的 $a$ 含参数时，它先是「几次方程」都还没定；$a=0$ 那一档方程退化成一次，只剩一个根，韦达定理与判别式一句都用不了——这一档必须单独拎出来说，而不是默认它不发生。
• 含参目标函数把最优顶点当固定目标函数里带参数时，最大值、最小值落在哪个顶点是随参数变的；照着一张图断言「最小值在 $A$、最大值在 $B$」，等于把结论当条件用。
• 和差余弦符号记反$\cos(\alpha+\beta)$ 展开中间是减、$\cos(\alpha-\beta)$ 展开中间是加——与正弦正好相反，记反一个符号全盘皆错。
• 和的对数拆成对数的和把 $\log_a(M+N)$ 写成 $\log_a M+\log_a N$；对数的运算性质拆的是**积**，把乘号换成加号就不成立。
• 和的下界拿每项上界去凑要证 $\sum a_{k}$ 的**下界**，手上却只有每一项的**上界**（如 $a_{k}<1$）——逐项代进去得到的是和的上界，方向正好相反。
• 和函数的周期取成了其中一项的两项周期不同时，$f+g$ 的最小正周期不是随手挑的那一项的周期——通常要取两者的公共周期里最小的那一个，而且还得回头验它真的是最小的。
• 互余角的诱导公式用错$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ 时 $\sin\beta=\cos\alpha$（**换名**），不是 $\sin\beta=\sin\alpha$。
• 换基底后系数认错次数$f(x)=\sum a_k(1+x)^{k}$ 里的 $a_3$ 配的是 $(1+x)^{3}$，**不是** $x^{3}$。两组系数是两回事——$x^{5}$ 里 $x^{3}$ 的系数明明是 $0$，而它按 $(1+x)$ 的幂重排后 $a_3=10$。
• 换元后漏掉新变量的取值范围换元把式子变简单了，可新变量的取值范围也跟着变——只搬式子不搬范围，最值会在一个根本取不到的点上算出来。
• 极值点与极值混用极小值「点」是自变量的值（$x=3$），极小「值」是函数值（$f(3)=-4$）；说「极值点是 $f(3)$」就张冠李戴了。
• 交点落在直线上却不在线段内用「圆心到直线的距离小于半径」判出两个交点，那是圆与**整条直线**的交点；题目要的若是线段（三角形的边、给定区间上的一段），还得回头验交点在不在这一段里。
• 交集与并集记反$\cup$ 是并集（有一边就要）、$\cap$ 是交集（两边都要），符号一记反，答案正好换成另一个选项。
• 焦点在哪个轴上未讨论题面没说焦点在哪个坐标轴上时，两种摆法都要讨论——不能默认焦点在 $x$ 轴上。
• 阶梯计价按最高档单价全算分档价目表写的是「超过 $A$ 至 $B$ 的**部分**」——涨价只对超出的那部分生效。把整笔用量都按用量所在那一档的单价乘一遍，会把前面各档的差价重复收进去，答案偏大。
• 界只从某项起成立却从头用一条界只从第 $k_{0}$ 项起成立，求和或连乘时却从第 $1$ 项就套上去——不满足那条界的前几项必须单独留着或另估，不能跟着一起放。
• 举反例只验结论没验前提反例必须同时做到「前提成立」与「结论不成立」，只盯着结论那一半，举出来的东西什么都推不翻。
• 卡方临界值查错列临界值表要按题目给的显著性水平 $\alpha$ 查列，$0.05$ / $0.010$ / $0.001$ 各不相同。
• 开方丢绝对值$\sqrt{t^2}=|t|$ 而不是 $t$；由 $y^2\le M^2$ 只能得到 $|y|\le M$，直接写成 $y\le M$ 会在需要下界、或 $t$ 可能为负时出错。
• 可行域无界当成目标函数没有最值可行域无界只说明「有一头没有拦住」，另一头照样可能被角点卡死；把「区域无界」直接读成「$z$ 取遍全体实数」会丢掉那个够得着的端点。
• 空间点没定死就写坐标空间里一个点有三个自由度，要三个独立条件才定得死；条件没用完就把坐标写出来，等于自己替题目补了一条没有的垂直关系。
• 棱柱错认成棱锥一张视图是三角形不等于几何体是锥。三角形只在**一张**视图里出现、另两张是矩形，那是**柱**（横放着的棱柱）；要判成锥，三角形得在**两张**视图里同时出现。
• 两处的同一个参数分开取范围同一道题里的同一个字母只能取一个值。一个式子要 $a>1$、另一个式子要 $0<a<1$，那不是「两种情况」，是这组根本不存在。
• 两点分布的方差当成随p单调$D(\xi)=p(1-p)$ 是开口向下的抛物线，在 $p<\frac12$ 上升、在 $p>\frac12$ 下降；「$p$ 越大方差越大」只在左半边成立，跨过 $\frac12$ 整个反过来。
• 两个动量当成互相独立两个量各自有范围，不等于它们能同时取到各自的端点；只要它们由同一个参数控制（或被一条等式绑住），可行的组合就只是一条曲线，而不是整个矩形。
• 两个范围相减界要相加已知 $|x|<a$、$|y|<b$，则 $x-y$ 的界是 $a+b$ 而不是 $a-b$——取相反数不会把范围变窄，减法和加法给出的是同一个界。
• 两个数量积定不住空间向量已知 $\vec b\cdot\vec e_1$ 与 $\vec b\cdot\vec e_2$，定住的只是 $\vec b$ 在 $\vec e_1,\vec e_2$ 张成的那张平面上的**投影**；垂直于该平面的那一截毫无约束，$|\vec b|$ 还差一个条件才算得出来。
• 两两相交的三条直线未必共面三条直线两两相交，只有在**不共点**时才一定共面；三条线共点时（如三棱锥的三条侧棱）照样两两相交，却撑不出一个平面。
• 两条渐近线没挑对双曲线有两条渐近线 $y=\pm\frac{b}{a}x$；题面给的位置条件（象限、坐标符号）决定用哪一条。
• 两直线平行漏排重合$A_1B_2-A_2B_1=0$ 判出来的是「平行**或**重合」；不回代看一眼常数项，就把重合的那一支当成平行放进了答案。
• 裂项相消后剩下的项数错裂项之后以为「中间全消、只剩首尾各一项」，错开两位时其实剩四项；系数 $\lambda/d$ 也常常丢掉或写反。
• 邻补角当成同一个角$D$ 在 $AC$ 上时 $\angle ADB$ 与 $\angle BDC$ 互补而不相等；题目给了 $\angle BDC=45^\circ$，$\triangle ABD$ 里那个角是 $135^\circ$——正弦相同掩护了这个错，等到用内角和或余弦定理时才爆。
• 没验单调就由函数值反推自变量由 $f(a)>f(b)$ 断定 $a>b$，靠的是「$f$ 在同时含住 $a$、$b$ 的那个区间上严格单调」；$f$ 一旦先减后增，同一个函数值在最低点两侧各出现一次，函数值的大小就再也带不出自变量的左右。
• 幂的底数换了指数没跟着变$4^{x}=2^{2x}$、$8^{x}=2^{3x}$——底数改写成 $2$ 的 $n$ 次幂时，指数要乘 $n$，漏了就差一个方次。
• 幂互换相等就当成两数相等$a^{b}=b^{a}$ 看起来对称，就顺手断定 $a=b$——可 $2^{4}=4^{2}$ 摆在那里，这个方程在 $a\neq b$ 时同样有解。
• 面积公式用错夹角$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 里的 $C$ 必须是 $a$、$b$ 这两条边的夹角；换成别的角就不是面积。
• 面面垂直直接当成线面垂直由「面 α ⊥ 面 β」直接说 α 内某条线（侧棱、腰、对角线）垂直于 β——漏掉了「必须垂直于交线」这一条，垂足也没落在交线上。
• 模拆到加减上把 $|z_1+z_2|$ 写成 $|z_1|+|z_2|$（或 $|z_1-z_2|=|z_1|-|z_2|$）；模只对乘除可分配，加减只有三角形不等式，取等要同向。
• 目标直线平移方向弄反$z=ax+by$ 里 $b>0$ 时向上移 $z$ 才变大、$b<0$ 时反过来；方向弄反就把最小值当成最大值报上去。
• 内角和换角丢符号三角形里 $\sin B=\sin(A+C)$ 不是 $\sin(A-C)$；用内角和把 $B$ 换成 $A$、$C$ 时先把诱导符号写对。
• 内接与外切多边形弄反内接多边形的顶点在圆上、整个图形在圆**内**；外切多边形的边与圆相切、整个图形在圆**外**。两者的面积一个小于圆、一个大于圆。
• 抛物线的p与2p记混标准方程写作 $y^{2}=2px$，所以 $y^{2}=4x$ 里 $2p=4$、$p=2$；焦点与准线都按 $\frac{p}{2}$ 算，不是按 $p$。
• 平移常数当成会影响最值之差给函数整体加一个常数，最大值与最小值**一起**抬高同样多，两者的**差**纹丝不动；把这个常数当成会影响 $M-m$，是「最大值减最小值」类问题最稳定的失分点。
• 平移改的是 x 不是相位平移 $t$ 个单位是把 $x$ 换成 $x\mp t$，相位随之变化 $\omega t$——所以相位差 $\Delta$ 对应的平移量是 $\Delta/\omega$，不是 $\Delta$。
• 齐次化除以的量可能为零把零次齐次式「上下同除某个变量」再设比降元时，那个变量本身可能取到 $0$；漏掉这一档，等号链条上就少了一整块定义域。
• 奇偶函数的对称性记反奇函数的图象关于**原点**中心对称，偶函数的图象关于 **$y$ 轴**轴对称；记反了，选图象的题会把该留的两张刷掉、该刷的两张留下。
• 恰好几个当成至少几个「恰好 $k$ 个」是一条**双向**限制——不少于 $k$，也**不多于** $k$。只验「不少于」就把超标的那一类也数了进去。
• 前n项和与第n项混同$S_n$ 是前 $n$ 项之和、$a_n$ 只是第 $n$ 项；问 $S_3$ 却答 $a_3$（或反过来）是数列题最省时也最冤的失分。
• 求参范围漏掉图形存在性由某个角（或某条边）的限制解出参数范围后，还得回头问一句「这个参数真能拼出图形吗」——三角形要存在、椭圆要非退化，这些条件常常正好卡住另一个端点。
• 求出公差后漏用范围取舍解 $a_1$、$d$ 的方程常出两根，题给的范围（如 $d>1$）必须用来取舍，某类还可能整类无解。
• 球心当成底面外心外接球的球心确实落在底面外心的**正上方**，但一般**不落在底面上**；直接把底面外接圆半径 $r$ 当成球半径，等于把球心离开底面的那一段 $d$ 扔掉了——两者的真实关系是 $R^{2}=r^{2}+d^{2}$。
• 区间端点处的零点计数漏判开闭在 $[a,b]$ 上数零点定 $\omega$ 时，端点处的零点算不算直接决定 $\omega$ 范围开还是闭，别一律写开区间。
• 区间上的恒成立直接用判别式$\Delta\leqslant0$ 说的是「对**一切实数** $x$ 都有 $f(x)\geqslant0$」；题目只要求在某个区间上恒成立时，它是充分条件而不是必要条件，直接拿来用就是把条件加强了。
• 区域的投影端点没按投影方向定求一片区域在直线 $l$ 上的投影，影子的两个端点由「沿 $l$ 方向的坐标」取到最大 / 最小的那两个点决定；随手挑「看着离得最远的两个顶点」往往挑错。
• 取到相等时把另一支排除在外分段定义在「两支相等」的那一点上只指定了取哪一支，但两支的**值**是一样的；问「等式成立的范围」时这些点必须算进去，端点是闭的。
• 去极端值后数字特征的变化记反去掉最大、最小值后：极差一定不增、标准差一般减小，中位数在对称去法下常不变、平均数一般会变。
• 任意与存在的量词读反「对每个 $n$ 都存在 $c_n$」与「存在一个 $c$ 对每个 $n$ 都成立」是两回事——前者逐个 $n$ 各配一个，后者要一个通用的。
• 锐角三角形漏掉第三个角的范围「锐角三角形」是**三个**角都小于直角。消元之后只写下自由变量那一个角的 $0<A<\frac\pi2$，忘了另一个角也得锐——区间凭空变宽，端点跟着算错。
• 三个零点的极值条件写反「减—增—减」型函数有三个零点的条件是极小值 $<0$ 且极大值 $>0$；把不等号方向写反、或只写一个、或写成极值乘积 $<0$，都会丢分。
• 三视图的深度错当成高立体的**深度**（前后方向）只能从侧视图的**宽**读，它同时是俯视图的纵向尺寸；错拿正视图的**高**当深度，底面积当场翻倍或缩水，整道题的体积跟着错一个倍数。
• 设斜率漏判斜率不存在写下 $y=kx+m$ 的那一刻就把竖直直线排除在外了；竖直的那一条必须单独验，否则答案可能整条漏掉。
• 实轴长与半实轴混用双曲线的实轴长是 $2a$、虚轴长是 $2b$，不是 $a$ 和 $b$。
• 试几个位置都不成立就断定不存在「存在某个位置使……」要否掉，得在整个变化范围上证明它不成立；试了原始位置、对折一半、两面垂直这几个顺手的位置都不成立，只说明这几个位置不行。
• 首尾相接的向量比读成同起点的比$\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{BC}$ 里两个向量**首尾相接**（前一个的终点正是后一个的起点），说的是 $B$ 把 $A$ 到 $C$ 这一段按 $\lambda:1$ 分开；把它当成同起点的 $\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}$，分点就整整错开一位。
• 双曲线定义漏判所在分支双曲线定义给的是 $||MF_1|-|MF_2||=2a$，脱绝对值前必须先判点在哪一支——两支的符号是反的。
• 四数成等差只想到补在两端「三个已知数加一个待定数，某种排列成等差数列」——待定的那个数可以排在四项中的任意一项，补在中间的两种排法常被整个漏掉，答案随之少一半。
• 台体套成锥体轮廓是梯形就是台体，体积要用 $\frac{1}{3}(S'+\sqrt{S'S}+S)h$；套成锥体的 $\frac{1}{3}Sh$ 等于把顶上被截掉的那块也算了进去。
• 特例成立当成恒成立代一个特例进去成立，只说明它在那个特例上成立。「恒成立」要么证明、要么把所有情形穷举——一个例子证不了。
• 特殊构型下成立就当成一般成立题设留了自由参数，随手取一组算出某结论成立，就当它对一切参数都成立——可那组参数往往恰好落在退化 / 对称的位置上。
• 条件的解集没解全就断充要「$p$ 成立时 $q$ 也成立」只证到充分；要判必要，得把 $q$ 的解集**解全**——少解出一支，充分不必要就被写成了充要。
• 通解代整数时漏取区间内的解解三角方程得到通解 $\theta=k\pi+\varphi$（或 $2k\pi\pm\varphi$）后，只代 $k=0$ 就交卷，漏掉同一个给定区间里的其他解。
• 同乘含参因子不分符号不等式两边同乘（或同除）一个含字母的量时，必须先定这个量的正负——正的保号、负的翻号；不讨论就直接乘，结论会在参数变号时整个反过来。
• 同一位置上的人还去排顺序题面写明「同一级台阶上的人不区分站的位置」，那一处内部就是**无序**的；再给它乘一个 $2!$，每种放法就被数了两遍。
• 韦达的两根里混着定点自己过曲线上定点 $P$ 的直线与曲线联立，得到的二次方程一定有一个根是 $P$ 自己的横坐标；此时韦达定理给的「两根之和」是「定点 + 另一交点」，不是「两个动交点之和」，直接拿去用就差了一整项。
• 尾概率求和漏掉第一项$E(\xi)=\Sigma P(\xi\ge k)$ 里 $k=1$ 那一项恒等于 $1$，看着像废话，漏掉答案就整整小 $1$。
• 系数和漏掉常数项代 $x=1$ 得到的是**含** $a_0$ 的全部系数和；题目问 $a_1+\dots+a_n$ 时要再减一次 $a_0=f(0)$。
• 系数下标与次数错位写成 $x^{n}+a_1x^{n-1}+\dots+a_n$ 时，下标是**从最高次往下数的第几个**，$a_k$ 配的是 $x^{n-k}$；照着下标去找 $x^{a_k}$ 必错。
• 下界当成准确值造出一族满足条件的对象、数出它的个数，得到的是「至少这么多」；写成「恰好这么多」就把下界当成了准确值。
• 线面角用法向量算成余弦法向量与斜线夹角的余弦，等于线面角的正弦——算出来的那个数直接就是 $\sin\theta$，别再取一次余弦。
• 相位平移忘提系数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的平移量是 $\left|\dfrac{\varphi}{\omega}\right|$，不是 $|\varphi|$——先把 $\omega$ 提出来再读平移，忘提则整个图象挪错位置。
• 向量共线不分同向反向$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$ 只说了两个向量在同一条直线上，没说朝哪一边；$\lambda>0$ 同向、$\lambda<0$ 反向，而夹角、数量积的符号、$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 在两种情形下截然不同。
• 向量夹角当成三角形内角三个向量首尾相接围成三角形时，相邻两条的**夹角**与三角形在那个顶点的**内角**互补而不相等——题面给 $\alpha$ 与 $\beta-\alpha$ 的夹角是 $120^\circ$，$\triangle OAB$ 里的 $\angle OAB$ 是 $60^\circ$。
• 虚部不带虚数单位复数 $a+bi$ 的虚部是实系数 $b$，不是 $bi$、更不是实部 $a$。
• 循环次数和计数器读岔一步循环体跑完才更新计数器、跑完才做判断，于是退出时计数器已经比实际轮数多一；输出的是计数器，不是轮数。
• 延长线的方向记反「$AB$ 的延长线」是从 $A$ 经 $B$ 再往外那一段（新点在 $B$ 外侧）；「$BA$ 的延长线」才在 $A$ 外侧。两个词只差一个字母顺序，图却完全不同。
• 验了前几项就当成对所有n成立代进 $n=1,2,3,4,5$ 看着都对，就写「所以对一切 $n$ 成立」。代数值只能**否证**（找到一个反例就推翻），永远不能**证明**一句关于全体正整数的话。
• 异面直线角忘取绝对值异面直线所成角的范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，余弦值要取绝对值。
• 隐式递推的方向搞反递推式写成 $a_n=F(a_{n+1})$ 时，给出的是「后项决定前项」；当成 $a_{n+1}=F(a_n)$ 正向迭代，从第二项起就全错。
• 用后一问才给的条件做前一问分小问的题里，第（Ⅱ）问那句「若……」只在第（Ⅱ）问内有效；拿它去解第（Ⅰ）问，就算数值凑对了也是前提越界——第（Ⅰ）问的对象往往是一整族图形，被那个额外条件挑出了其中一个。
• 由前n项和求通项漏验首项$a_n=S_n-S_{n-1}$ 只对 $n\ge2$ 成立；求出的通项必须回代 $n=1$ 看能否并入同一条式子。
• 由正弦反求余弦漏判符号$\sin A$ 定不了 $A$：锐角与钝角同一个正弦值，$\cos A=\pm\sqrt{1-\sin^2A}$ 的符号得另找依据。
• 由正弦值定角漏解在 $(0,\pi)$ 内一个正弦值对应两个角（一锐一钝），只写锐角就漏解；余弦值则对应唯一角，能定就用余弦定。
• 有实根写成判别式严格大于零「方程有实根」的充要条件是 $\Delta\geqslant0$，$\Delta>0$ 说的是「有两个不相等的实根」。含参题里把 $\geqslant$ 写成 $>$，丢掉的正好是答案区间的端点。
• 圆锥曲线的abc关系记混椭圆是 $a^2=b^2+c^2$、双曲线是 $c^2=a^2+b^2$，两者互换即全盘皆错。
• 圆锥体积漏乘三分之一圆锥体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$，漏乘 $\frac{1}{3}$ 算成 $\pi r^2h$——结果恰是同底同高的圆柱体积，干扰项里必有它。
• 粘合面把整张面都扣掉组合体里一块贴住另一块时，被贴的那张面往往**只被盖住一部分**；把整张面从表面积里扣掉，露在外面的那一截就白丢了。
• 展开图的半径与弧长对应错圆锥侧面展开成扇形后，扇形的半径是母线 $l$、扇形的弧长是底面周长 $2\pi r$——把这两处对应错，整道题的数就全错位。
• 长度比没定方向$|FB|=3|FA|$ 只说远近、不说朝向——$A$ 可能在 $F$ 的另一侧，那一种也得算过再排除。
• 振幅和周期当成两个独立的参数$y=A\sin\omega x$ 里 $A$ 与 $\omega$ 本来各管各的，可一旦题目把它们写成同一个字母（如 $a\sin ax$），两者就被锁成反比——再按「一个高一点、一个宽一点」随意搭配，就会画出根本不存在的图象。
• 整点最优直接取角点角点定理管的是「实数解、闭区域」；一旦题目补上「$x$、$y$ 为整数」，或者约束用的是严格不等号，角点就可能既不可行、也不是整点——照样把它代进目标函数，答案会偏小。
• 正棱台求高时水平偏移用错正棱台高 $h=\sqrt{l^2-d^2}$（$l$ 为侧棱长）里的 $d$ 是上下底对应顶点的投影距离（外接圆半径之差），别用成半边长之差。
• 正切对称中心只记零点$y=\tan u$ 的对称中心是 $u=\dfrac{k\pi}{2}$，只记零点 $u=k\pi$ 会漏掉一半。
• 正态第二参数当标准差$N(\mu,\sigma^2)$ 的第二个参数是方差；给 $s^2=0.01$ 就说 $\sigma=0.01$，「$\mu\pm k\sigma$」整条链全错。
• 证严格不等式漏判等号可行性用 $\ge$ 链证 $>$ 时，链上每步的等号条件必须能同时取到；取不到才是严格 $>$，要写明。
• 只比极值忘了端点在闭区间（或带端点的区间）上求最值，只把 $f'=0$ 解出来的极值比一比就下结论——端点没算。最大值经常恰恰在端点上。
• 只用相切漏掉切点条件题目给的是「相切于点 $P$」，却只写了 $d=r$ 一条方程——切点同时钉住「$P$ 在圆上」（还常常钉住圆心的方向），漏掉它就少一条方程、或多出本不该有的解。
• 指数相加当成幂相加把 $a^{s+t}$ 写成 $a^{s}+a^{t}$；同底相乘才是指数相加，反过来指数相加对应的是**幂相乘**。
• 至少一次漏用对立事件「至少一次」应算 $1-$（一次都不发生），不是把单次概率乘以次数。
• 中位线对应的那条边搞错中位线等于**它绕开的那个顶点所对的边**的一半；$O$、$M$ 分别是 $FF_{1}$、$FP$ 的中点时，$OM$ 配的是 $PF_{1}$，写成 $|PF|=2|OM|$ 就把两条焦半径掉了个个儿。
• 重复号码的对象当成同一个两张都写着 2 的卡片是两张卡，不是一张；合并了它们，等可能性就没了。
• 逐项都小就断定和也小两个和式比大小时，「每一项都更小 $\Rightarrow$ 和更小」只在**每一项都更小**时成立；只验了前几项就外推，往往正好在后面翻盘——比的是和，就得比和。
• 状态转移概率把命中与未中填反「命中续投、未中换人」里，自环 $=$ 命中、交叉 $=$ 未中 $=1-$ 命中；填反或用错方的命中率就全错。
• 准线间距漏算成一半椭圆的两条准线是 $x=\pm\dfrac{a^{2}}{c}$，它们之间的距离是 $\dfrac{2a^{2}}{c}$——只写 $\dfrac{a^{2}}{c}$ 的是**中心到一条准线**的距离，差了一倍。
• 子集关系的方向读反把 $A\subseteq B$ 与 $B\subseteq A$ 当成同一句话。包含是**单向**的：前者说 $A$ 的元素都在 $B$ 里，后者说的是反过来，两者同时成立才意味着 $A=B$。
• 组合数上标数错一位求 $x^{k}$ 的系数时把组合数写成 $C_{n}^{k\pm1}$——多半是「第几项」与「几次方」串了线（通项 $T_{k+1}$ 的次数是 $k$，不是 $k+1$）。算出来仍是个像样的整数，还常常正好摆在选项上。
• 组合体分块后错用总高组合体切成几块之后，每一块的高要**各读各的**；顺手把整个立体的总高（三视图的外轮廓高度）代进某一块的公式，那一块的体积当场偏大，而且偏出来的数往往正好是一个选项。
• 最小值为k当成含有k「最小值是 $k$」比「取到了 $k$」严格得多——后者还允许同时取到更小的。
• 左右焦半径的符号搞混椭圆上一点 $P(x_{P},y_{P})$ 到**左**焦点的距离是 $a+ex_{P}$、到**右**焦点的距离是 $a-ex_{P}$；用反了符号，$x_{P}$ 会解成相反数。
• i 的平方漏取负号$\mathrm{i}^2=-1$，不是 $1$。展开复数乘法时那个负号一丢，实部就整体变号。