抽到即停漏掉较长的抽取序列

坑长什么样

盒子里 $1$ 红、$1$ 绿、$2$ 黄，不放回地一个一个拿，拿到红球即停；$\xi$ 是拿出的黄球个数。 求 $P(\xi=0)$。

顺手就写：红球第一次就被拿到，$P=\dfrac14$——收笔。

可是 $\xi=0$ 要求的只是「红球之前没有黄球」，它没说红球必须第一个出来。绿球先出来照样 $\xi=0$：

两条相加才是 $\dfrac14+\dfrac{1}{12}=\dfrac13$。$\dfrac14$ 比它小了 $\dfrac1{12}$， 少的正是被漏掉的那一条。

漏项随序列变长而变多：这道题 $\xi=1$ 有 $3$ 条序列（黄红、黄绿红、绿黄红）、$\xi=2$ 有 $4$ 条， 只写最短的那条会把 $\dfrac13$ 写成 $\dfrac16$、$\dfrac1{12}$。

病灶是「无关元素」：那些不被计数、又不触发停止的东西（这里的绿球），可以插在停止之前的 任何位置，每插一处就多一条序列。

自检

• 把停止那一步固定在第 $1,2,3,\dots$ 次，逐个数序列。 写下「这个结果共有 $m$ 条序列」， 再逐条乘概率——先数条数，后算数值。
• 概率之和必须是 $1$。 把各个取值的概率加起来；小于 $1$ 就是漏了序列，大于 $1$ 就是重了。 这道题三个 $\dfrac13$ 相加正好是 $1$。
• 别把「$\xi$」当成「抽取次数」。 抽取次数还要算上排在停止元素之前的那些无关元素， 两个随机变量不一样（这道题抽取次数 $=\xi+1+$「绿球是否在红球之前」）。
• 换一条不必数序列的路：只看关键元素的相对次序——把无关元素删掉，剩下的次序等可能， 一次给出整个分布，这个坑就结构性地绕开了。