古典概型

教材原文

(1) 有限性: 样本空间的样本点只有有限个;

(2) 等可能性: 每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率

$P (A) = \frac {k}{n} = \frac {n (A) ^ {\bullet}}{n (\Omega)}.$

其中， $n(A)$ 和 $n(\Omega)$ 分别表示事件 $A$ 和样本空间 $\Omega$ 包含的样本点个数.

定义

试验同时满足有限性（样本点只有有限个）与等可能性（每个样本点发生的可能性相等），就称为古典概型。此时

要点

• 两条特征缺一不可。 少了有限性（如「在区间上随机取一点」）或少了等可能性，这个公式就不成立。

• 算概率退化成两次计数：分母数样本空间、分子数事件。所以古典概型题的真正难点从来不是概率，而是计数不重不漏。

• 样本点怎么取，决定等不等可能。 同一个试验换一种「什么算一个结果」的记法，等可能性可能就没了：$7$ 张卡片写着 $1,2,2,3,4,5,6$，抽 $3$ 张——

  • 以卡片为样本点：$\mathrm{C}_7^3=35$ 种，每种等可能 ✓；
  • 以数字的组合为样本点：$\{2,3,4\}$ 这一类由两张不同的 $2$ 各成一种取法，出现的可能性是 $\{3,4,5\}$ 的两倍 ✗。

  重复的东西也要当成不同的个体来数，等可能性才保得住。另一种同因异形的错法是按「结果的样子」分类而不按可区分的个体分类——抛两枚硬币要分第一枚、第二枚（$4$ 个等可能样本点），只按「几个正面」分成三类就不等可能了。

• 分子分母必须在同一套样本点下数：分母按卡片数了 $35$，分子就不能按数字去数。