浙江 2022 · 数学 q15

冷启动：把试验和 $\xi$ 都摆清楚

$7$ 张卡片上写着

$$1,\;2,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6$$

随机抽 $3$ 张，$\xi=$ 抽到的三个数字里最小的那个。

① 样本空间：$7$ 张卡片张张不同，共 $\mathrm{C}_7^3$ 种抽法。

$$\mathrm{C}_7^3=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$$

两张写着 $2$ 的卡片是两张卡，不是一张。 它们摸上去是两个不同的实物，被抽中的机会各算一份。若合并成「$6$ 种数字」去数 $\mathrm{C}_6^3=20$，那 $20$ 个「数字组合」就不再等可能了——$\{2,3,4\}$ 由两张 $2$ 各配一次、占两份，$\{3,4,5\}$ 只占一份。古典概型的 $P=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ 只在等可能时成立，所以分母必须是 $35$。

心里可以把两张 $2$ 偷偷标成 $2_a$、$2_b$：计数时当成不同的卡，读数字时都算 $2$。

② $\xi$ 能取哪些值？

$\xi=k$ 要求「抽到的三张都 $\ge k$」，所以号码 $\ge k$ 的卡片至少得有 $3$ 张：

所以

$$\xi\in\{1,2,3,4\}$$

$\xi$ 取不到 $5$、$6$——最小值要当最小值，后面还得站两个更大的。这一步先做，分布列才不会多列或少列。

③ 两个空各问什么。 第一空只要 $P(\xi=2)$ 这一个概率；第二空要 $E(\xi)$，即 $\xi$ 以概率为权的加权平均。

解法一：逐值算 P(ξ=k)，列出分布列，按定义求期望

怎么想到的。 期望的定义式就是 $E(\xi)=\sum_k k\,P(\xi=k)$——想用它，就得把每个 $P(\xi=k)$ 都算出来。这是最直的一条路：把分布列摆齐，再按定义加权。

① 先说清「最小值恰为 $k$」是什么条件。 它是两句话的合取：

$$\{\xi=k\}=\{\text{至少抽到一张 }k\}\ \cap\ \{\text{一张小于 }k\text{ 的都没抽到}\}$$

后半句最容易被吞掉。数的时候把它落实成一个动作：先把号码小于 $k$ 的卡片全部踢出去，在剩下的池子里数「至少一张 $k$」。

② $P(\xi=1)$。 池子是全部 $7$ 张；号码为 $1$ 的只有一张，必须抽中，剩下 $2$ 张从其余 $6$ 张里随便挑：

$$n(\xi=1)=\mathrm{C}_6^2=15,\qquad P(\xi=1)=\frac{15}{35}$$

③ $P(\xi=2)$（第一空）。 踢掉 $1$，池子剩 $2,2,3,4,5,6$ 共 $6$ 张，要求至少抽到一张 $2$。两种数法：

• 分类法（按抽到几张 $2$）：抽到一张 $2$，$\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_4^2=2\times6=12$；抽到两张 $2$，$\mathrm{C}_2^2\mathrm{C}_4^1=1\times4=4$。合计 $16$。
• 补集法：$\mathrm{C}_6^3-\mathrm{C}_4^3=20-4=16$（在 $6$ 张里随便抽，减去一张 $2$ 都没抽到的）。

两法一致：

$$n(\xi=2)=16,\qquad \boxed{P(\xi=2)=\frac{16}{35}}$$

④ $P(\xi=3)$ 与 $P(\xi=4)$。 同样先踢：

• $k=3$：池子 $3,4,5,6$，必含那张 $3$，另 $2$ 张从 $4,5,6$ 里挑，$\mathrm{C}_3^2=3$；
• $k=4$：池子只剩 $4,5,6$ 三张，只能全抽，$1$ 种。

$$P(\xi=3)=\frac{3}{35},\qquad P(\xi=4)=\frac{1}{35}$$

⑤ 列出分布列，并做一次自查。

$$\frac{15+16+3+1}{35}=\frac{35}{35}=1\ \checkmark$$

概率和为 $1$ 是这条路唯一的免费保险，一秒钟就能戳穿漏算或重复算，务必做。

⑥ 按定义求期望（第二空）。

$$E(\xi)=1\times\frac{15}{35}+2\times\frac{16}{35}+3\times\frac{3}{35}+4\times\frac{1}{35} =\frac{15+32+9+4}{35}=\frac{60}{35}=\boxed{\frac{12}{7}}$$

解法二：只算尾概率 P(ξ≥k)，两空都由它出

怎么想到的。 解法一里每个 $P(\xi=k)$ 都要分类讨论（抽到几张 $k$），麻烦全在「恰好」这两个字上。换个事件试试：

$$\{\xi\ge k\}=\{\text{抽到的三张全都}\ge k\}$$

一句话，没有分类——在「号码 $\ge k$」的池子里随便抽三张就行。既然尾事件这么好数，就让它来当主角。

① 四个尾概率，除首项外一行一个组合数。

$$P(\xi\ge1)=1\quad(\text{最小值总不小于 }1)$$ $$P(\xi\ge2)=\frac{\mathrm{C}_6^3}{\mathrm{C}_7^3}=\frac{20}{35}\quad(\text{池子 }2,2,3,4,5,6)$$ $$P(\xi\ge3)=\frac{\mathrm{C}_4^3}{\mathrm{C}_7^3}=\frac{4}{35}\quad(\text{池子 }3,4,5,6)$$ $$P(\xi\ge4)=\frac{\mathrm{C}_3^3}{\mathrm{C}_7^3}=\frac{1}{35}\quad(\text{池子 }4,5,6)$$

四个数全部是「$\mathrm{C}_{\text{池子大小}}^3$」，连笔都不用换。

② 第一空：两个尾概率一减。 因为 $\{\xi\ge2\}=\{\xi=2\}\cup\{\xi\ge3\}$ 且两者互斥，

$$P(\xi=2)=P(\xi\ge2)-P(\xi\ge3)=\frac{20}{35}-\frac{4}{35}=\boxed{\frac{16}{35}}$$

③ 第二空：期望等于各尾概率之和。 这一步课本没给现成公式，两行就能推。记 $p_k=P(\xi=k)$，把每个 $k\,p_k$ 拆成 $k$ 个 $p_k$，再按列相加：

$$\begin{aligned} E(\xi)&=1p_1+2p_2+3p_3+4p_4\\ &=\underbrace{(p_1+p_2+p_3+p_4)}_{P(\xi\ge1)}+\underbrace{(p_2+p_3+p_4)}_{P(\xi\ge2)}+\underbrace{(p_3+p_4)}_{P(\xi\ge3)}+\underbrace{p_4}_{P(\xi\ge4)} \end{aligned}$$

每一列恰好是一个尾概率。于是

$$E(\xi)=1+\frac{20}{35}+\frac{4}{35}+\frac{1}{35}=\frac{35+20+4+1}{35}=\frac{60}{35}=\boxed{\frac{12}{7}}$$

$P(\xi\ge1)=1$ 那一项千万别漏——它不用算，于是也最容易不出现在算式里；漏掉答案就整整小 $1$，变成 $\frac{5}{7}$。$\xi$ 最小取 $1$，所以 $E(\xi)\ge1$ 是铁律，算出小于 $1$ 的数立刻知道错了。

④ 这条路没有用到分布列。 $p_1$、$p_3$ 从头到尾没单独算过——它们只在推导那两行里以字母出现，最后被尾概率吸收掉了。

这两条路差在哪

• 解法一数的是**「恰好等于 $k$」：四次计数，每次都要处理「至少抽到一张 $k$」这个带分类的条件（$k=2$ 那次分了两类）。它造出分布列**这张表，代价是分类，回报是这张表能回答后续任何问题（方差、$P(\xi\le2)$ ……）。
• 解法二数的是**「全都 $\ge k$」：四次计数全是同一个形状 $\mathrm{C}_{\text{池子}}^3$，一次分类都没有。它造出的中间对象是尾概率序列**，代价是要现推一个课本没有的恒等式，回报是两个空都由这四个数直接出。

第一个实质动作就分岔了（数「恰好」还是数「不小于」），中间对象也不同（分布列 vs 尾概率）。所以是两条路。

考场上怎么选：只问某个概率与期望——走解法二，四个组合数写完就收工，且不易错。若题目后面还追问方差、或某个 $P(\xi\le k)$，那张分布列迟早要做，直接走解法一更省。

🕳️ 避坑

• 两张 $2$ 是两张卡。 分母 $\mathrm{C}_7^3=35$，不是 $\mathrm{C}_6^3=20$。把重复的合并，样本点就不等可能了，古典概型的公式当场失效。
• 「最小值为 $2$」不等于「抽到了 $2$」。 后者还允许同时抽到 $1$：在全部 $7$ 张里数含 $2$ 的取法有 $35-\mathrm{C}_5^3=25$ 种，比正确的 $16$ 多出 $9$ 种——那 $9$ 种的最小值是 $1$。
• 先定 $\xi$ 的取值范围。 $\xi$ 取不到 $5$（号码 $\ge5$ 的只有两张，凑不满三张）。以为 $\xi$ 能取 $1$ 到 $6$，分布列就会多出两列 $0$，加权时也容易顺手写上。
• 分布列算完必查概率和。 $\frac{15+16+3+1}{35}=1$。这一步不查，$P(\xi=2)$ 漏掉「抽到两张 $2$」那 $4$ 种（得 $\frac{12}{35}$）就没人拦得住。
• 尾概率求和别漏首项。 $E(\xi)=P(\xi\ge1)+\cdots$ 里 $P(\xi\ge1)=1$；漏掉就得 $\frac{5}{7}$。$\xi\ge1$ 恒成立 $\Rightarrow E(\xi)\ge1$，可作即时体检。
• 分子分母同一套样本点。 分母按卡片数了 $35$，分子也必须按卡片数。$\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_4^2$ 里的 $\mathrm{C}_2^1$ 正是「两张 $2$ 里挑一张」——这一步就是在按卡片数。