浙江 2022 · 数学 q15

题面

15. 现有 7 张卡片，分别写上数字 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6. 从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P(\xi = 2) =$ ____ ， $E(\xi) =$ ____ .

答案

①. $\frac{16}{35}$ , ②. $\frac{12}{7}$ ## $1\frac{5}{7}$

解析

分析

利用古典概型概率公式求 $P(\xi = 2)$，由条件求 $\xi$ 分布列，再由期望公式求其期望。

从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 $\mathrm{C}_7^3$ 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有 $\mathrm{C}_4^1 + C_2^1 C_4^2$ 种，所以 $P(\xi = 2) = \frac{\mathrm{C}_4^1 + \mathrm{C}_2^1 \mathrm{C}_4^2}{\mathrm{C}_7^3} = \frac{16}{35}$，由已知可得 $\xi$ 的取值有1，2，3，4，P(\xi = 1) = \frac{\mathrm{C}_6^2}{\mathrm{C}_7^3} = \frac{15}{35}, P(\xi = 2) = \frac{16}{35},$$P(\xi = 3) = \frac{\mathrm{C}_3^2}{\mathrm{C}_7^3} = \frac{3}{35}, P(\xi = 4) = \frac{1}{\mathrm{C}_7^3} = \frac{1}{35} 所以 $E(\xi) = 1 \times \frac{15}{35} + 2 \times \frac{16}{35} + 3 \times \frac{3}{35} + 4 \times \frac{1}{35} = \frac{12}{7}$，故答案为：$\frac{16}{35}, \frac{12}{7}$.