浙江 2020 · 数学 q16

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2020 · 数学 q16 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

16．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝ ；E（ξ）＝

答案

13, 1{\frac{1}{3}} , \ 1

本题的知识树

5 概念 · 2 公式 · 2 题型 · 2 套路 · 1 易错点 · 最深 3 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

抽到红球即停的黄球数 · 把不放回抽取看成一个排列，只看红与两黄的相对次序 · 最终答案：13, 1{\frac{1}{3}} , \ 1

冷启动：先把「ξ 数的是什么」读准

题面给的规则有三句，每一句都要落到纸上：

  • 不放回，所以四个球最多摸四次，而且摸出来的次序就是一个排列；
  • 拿出红球即停，所以红球一定会被拿到（它排在第几次，就是第几次停），而排在红球之后的球 一次都没被拿到；
  • ξ\xi 是拿出的黄球个数，也就是排在红球之前的黄球个数。

于是 ξ\xi 的可能取值只有 0,1,20,1,2（红球前面最多站两个黄球）。还有一件事要当场记下：

关键卡点：一次试验就是这四个球的一个随机排列——抽取无非是从左往右读这一列，读到红球停手。 这么一翻译，ξ=\xi=「红球左边的黄球个数」，而绿球插在哪都不改变这个数。

解法一：只看红球与两个黄球的相对次序

怎么想到的。 ξ\xi 只关心红球左边有几个黄球，绿球在不在那儿都一样——那就把绿球删掉， 只看红与两黄这三个球的相对次序。这正是只看关键元素的相对次序。

① 三种次序等可能。 四个球的排列共 4!=244!=24 个，按「红、黄、黄这三个球的相对次序」分类， 只有三类（红排第一 / 第二 / 第三）。每一类里，把这三个球在它们占的那三个位置上重排就能换到别的类， 故三类一样大，各 243=8\dfrac{24}{3}=8 个：

P(红排第 1)=P(红排第 2)=P(红排第 3)=824=13.P(\text{红排第 }1)=P(\text{红排第 }2)=P(\text{红排第 }3)=\frac{8}{24}=\frac13 .

② 位次直接就是 ξ。 红球排第 jj，它左边就有 j−1j-1 个黄球，所以 ξ=j−1\xi=j-1：

红球的位次112233
ξ\xi001122
概率13\dfrac1313\dfrac1313\dfrac13

ξ\xi 在 {0,1,2}\{0,1,2\} 上均匀分布，第一空于是是 P(ξ=0)=13P(\xi=0)=\dfrac13。

③ 第二空只是一个平均。

E(ξ)=0×13+1×13+2×13=0+1+23=1.E(\xi)=0\times\frac13+1\times\frac13+2\times\frac13=\frac{0+1+2}{3}=1 .

④ 十秒自检。 三个概率相加 =1=1 ✓（分布列的诸概率之和必须是 11，不过这一条只能查出漏项， 查不出这三个数本身对不对）。真正独立的复核要换一条路：期望那一半，两个黄球各以 12\dfrac12 的概率排在红球之前， 相加就是 E(ξ)=1E(\xi)=1（解法三），与这里的 0+1+23\dfrac{0+1+2}{3} 对上 ✓；概率那一半， 按抽取过程算 14+112=13\dfrac14+\dfrac1{12}=\dfrac13（解法二），也对上 ✓。

解法二：按抽取过程把停止序列列全（官方那条）

怎么想到的。 不做任何观察，就按题面的过程算：每个取值都由若干条抽取序列达成， 把它们列全，每条序列的概率是一串条件概率之乘（不放回，所以每一步的分母少一个）。

① ξ=0\xi=0——红球之前不许有黄球，绿球可以有。 两条序列：

P(ξ=0)=14⏟红+14×13⏟绿→红=14+112=13.P(\xi=0)=\underbrace{\frac14}_{\text{红}}+\underbrace{\frac14\times\frac13}_{\text{绿}\to\text{红}} =\frac14+\frac1{12}=\frac13 .

官方解析把这两条写成组合数的商：C11C41+C11C11C41C31\dfrac{\mathrm{C}_1^1}{\mathrm{C}_4^1} +\dfrac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_1^1}{\mathrm{C}_4^1\mathrm{C}_3^1}，第一项是「第一次就摸到红」、 第二项是「先绿后红」，与上面逐字对应。

② ξ=1\xi=1——恰好一个黄球在红球之前。 三条序列（绿球可以不出现、出现在黄球前、或黄球后）：

P(ξ=1)=24×13⏟黄→红+24×13×12⏟黄→绿→红+14×23×12⏟绿→黄→红=16+112+112=13.P(\xi=1)=\underbrace{\frac24\times\frac13}_{\text{黄}\to\text{红}} +\underbrace{\frac24\times\frac13\times\frac12}_{\text{黄}\to\text{绿}\to\text{红}} +\underbrace{\frac14\times\frac23\times\frac12}_{\text{绿}\to\text{黄}\to\text{红}} =\frac16+\frac1{12}+\frac1{12}=\frac13 .

③ ξ=2\xi=2——两个黄球都在红球之前。 四条序列，每条都是 112\dfrac1{12}：

P(ξ=2)=24⋅13⋅12⏟黄黄红+24⋅13⋅12⋅1⏟黄黄绿红+24⋅13⋅12⋅1⏟黄绿黄红+14⋅23⋅12⋅1⏟绿黄黄红=4×112=13.P(\xi=2)=\underbrace{\frac24\cdot\frac13\cdot\frac12}_{\text{黄黄红}} +\underbrace{\frac24\cdot\frac13\cdot\frac12\cdot 1}_{\text{黄黄绿红}} +\underbrace{\frac24\cdot\frac13\cdot\frac12\cdot 1}_{\text{黄绿黄红}} +\underbrace{\frac14\cdot\frac23\cdot\frac12\cdot 1}_{\text{绿黄黄红}} =4\times\frac1{12}=\frac13 .

④ 列成分布列，按定义求期望。 三个概率都是 13\dfrac13，相加得 11（这一步是本条路唯一的 自检机会，务必做），于是 E(ξ)=0⋅13+1⋅13+2⋅13=1E(\xi)=0\cdot\frac13+1\cdot\frac13+2\cdot\frac13=1。

这条路的代价看得见：九条序列要一条不落地数出来（2+3+4=92+3+4=9），而多出来的那些全是绿球 插在不同位置造出来的——正是抽到即停漏掉较长的抽取序列那个坑的产地。

解法三：只要第二空：指示变量 + 期望的线性性质

怎么想到的。 第二空只问期望，而期望不需要分布列。把 ξ\xi 拆成两个 0-10\text{-}1 变量 （指示变量拆分）：记

Ik={1,第 k 个黄球排在红球之前,0,否则,k=1,2,I_k=\begin{cases}1,&\text{第 }k\text{ 个黄球排在红球之前},\\ 0,&\text{否则},\end{cases} \qquad k=1,2 ,

则「排在红球之前的黄球个数」就是 ξ=I1+I2\xi=I_1+I_2。

① 单个指示变量的期望。 E(Ik)=P(Ik=1)E(I_k)=P(I_k=1)，而「这个黄球与红球谁先」只涉及两个球的相对次序， 两种情形等可能：

E(Ik)=P(该黄球排在红球之前)=12.E(I_k)=P(\text{该黄球排在红球之前})=\frac12 .

② 期望的线性性质一步收口（I1I_1、I2I_2 并不独立，但线性性不要求独立）：

E(ξ)=E(I1)+E(I2)=12+12=1.E(\xi)=E(I_1)+E(I_2)=\frac12+\frac12=1 .

③ 它给不出第一空。 P(ξ=0)=P(I1=0 且 I2=0)P(\xi=0)=P(I_1=0\ \text{且}\ I_2=0) 是联合分布的事， 线性性只管期望的相加，管不到这里——第一空仍得走解法一或解法二。

④ 它多给的东西。 黄球换成 nn 个（其余无关球随便添），每个黄球在红球之前的概率还是 12\dfrac12， 所以 E(ξ)=n2E(\xi)=\dfrac n2，一行都不必列。

教学图：上半张画「一次试验就是一列球」。最上面一行是一个例子：从左到右四个圈依次写着黄、绿、红、黄，上方一支灰色箭头标「抽取顺序（不放回）」；红圈右侧有一条红色竖虚线，注「抽到红球即停，后面的黄球没抽到」，那第四个黄圈画成灰色虚线圈表示这一次没摸到它；这一行下方写着「红球左边的黄球个数就是 ξ（这一次 ξ=1；绿球在哪都不改变它）」。下面三行把绿球删掉，只排红与两个黄：第一行红黄黄，右侧用绿色标出「红球排第 1 ⇒ ξ=0，概率 1/3」；第二行黄红黄，标「红球排第 2 ⇒ ξ=1，概率 1/3」；第三行黄黄红，标「红球排第 3 ⇒ ξ=2，概率 1/3」；三行下方绿色收口「这 3 行等可能，各 1/3 ⇒ E(ξ)=(0+1+2)/3=1」。图题写着「一次试验 = 这 4 个球的一个排列：抽到红球即停；绿球插在哪都不改变 ξ ⇒ 只看红与 2 个黄的相对次序；红球排第几，3 种等可能，各 1/3」。下半张画指示变量：左边一列两组「黄红」（黄圈在左、红圈在右），列头蓝字「黄在红之前：I=1」；右边一列两组「红黄」，列头灰字「黄在红之后：I=0」；两行分别在左侧标「第 1 个黄球」「第 2 个黄球」，右侧绿字标「E(I₁)=1/2」「E(I₂)=1/2」；底部绿色收口「ξ=I₁+I₂ ⇒ E(ξ)=E(I₁)+E(I₂)=1/2+1/2=1」。图题写着「第二空还有更短的一条：ξ 就是这 2 个黄球里排在红球之前的个数，即 ξ=I₁+I₂；每个黄球与红球的先后各占一半 ⇒ E(I_k)=1/2；期望的线性性一步给出 E(ξ)=1——分布列一行都用不上」。两张图里圈的颜色标角色不标球色：红 = 停止信号，蓝 = 被数的黄球，灰 = 与 ξ 无关的绿球（球色写在圈里的那个字上）

三条路差在哪

解法一：看相对次序解法二：按过程列序列解法三：指示变量
起手删掉绿球，只留三个球逐次乘条件概率ξ=I1+I2\xi=I_1+I_2
要数的东西33 种次序99 条序列22 个 12\dfrac12
第一空直接给出 13\dfrac13两条序列相加给不出（要联合分布）
第二空三项加权平均三项加权平均一次相加
换成 nn 个黄球分布仍均匀，P=1n+1P=\dfrac1{n+1}序列条数爆炸E=n2E=\dfrac n2，照旧一行
会踩的坑几乎没有漏序列误以为它也能答第一空

填空题当然走解法一：两个空一起出来，而且顺带知道了「ξ\xi 是均匀分布」这件事。 解法二的价值是它不需要任何观察——考场上想不到对称性时，它是保底的那条。

避坑

  • 只算最短那一条序列。 P(ξ=0)P(\xi=0) 写成 14\dfrac14（只算「第一次就摸到红」），漏掉「先绿后红」 那 112\dfrac1{12}。这就是抽到即停漏掉较长的抽取序列：不被计数、又不触发停止的绿球， 可以插在停止前的任意位置。三个概率加起来不是 11，就是漏了。
  • 把 ξ\xi 当成抽取次数。 抽取次数是红球的位次，=ξ+1+=\xi+1+「绿球是否在红球之前」， 它的期望是 1+1+12=521+1+\dfrac12=\dfrac52，不是 11。题目问的是黄球个数。
  • 把不放回当有放回。 有放回时 ξ\xi 没有上界，期望会变成 1/21/4=2\dfrac{1/2}{1/4}=2。 （巧的是第一空照样得 13\dfrac13，所以只核第一空发现不了这个错——两个空都要算。）
  • 两个黄球不当成两个个体。 数排列、数序列时两个黄球必须视为可分辨的两个球，否则 「等可能」就没了；只有到了最后报 ξ\xi 时才只看个数。
  • 算期望时漏项或用错权。 E(ξ)=∑xipiE(\xi)=\sum x_ip_i 要把每个取值都乘上它自己的概率； 本题三个概率恰好相等，于是退化成算术平均 0+1+23\dfrac{0+1+2}{3}——这是本题的巧合，不是通例。
  • 两个空填反。 第一空是概率 13\dfrac13，第二空是期望 11；别把 11 填到第一空里去。

收口

一句话：不放回抽取就是一个随机排列，而这道题只由红球与两个黄球的相对次序决定。 删掉无关的绿球，红球在这三个球里排第几是三件等可能的事，ξ=\xi= 位次 −1-1， 于是 ξ\xi 在 {0,1,2}\{0,1,2\} 上均匀分布——两个空一起落地。

带走的一般结论：11 个红球 ++ nn 个黄球 ++ 任意多个无关球，不放回抽到红球即停，则

P(ξ=k)=1n+1 (k=0,1,…,n),E(ξ)=n2.P(\xi=k)=\frac{1}{n+1}\ (k=0,1,\dots,n),\qquad E(\xi)=\frac n2 .

期望那一半还可以完全不碰分布：ξ\xi 是 nn 个「这个黄球在红球之前吗」的和，每个的概率都是 12\dfrac12，相加即得 n2\dfrac n2。下次看到「抽到某个东西就停，问另一类抽了几个」， 先删掉无关的东西，再数次序。

本题涉及的教材页

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