重复号码的对象当成同一个

坑长什么样

$7$ 张卡片写着 $1,2,2,3,4,5,6$，随机抽 $3$ 张。

• 错：「数字只有 $6$ 种」→ 样本空间 $\mathrm{C}_6^3=20$；
• 对：卡片有 $7$ 张、张张不同 → 样本空间 $\mathrm{C}_7^3=35$。

为什么错的那条不行

因为以「数字的组合」为样本点时，各样本点不等可能：

• $\{2,3,4\}$ 这一个「数字组合」，其实由两张不同的 $2$ 各配一次，对应 $2$ 种抽法；
• $\{3,4,5\}$ 只对应 $1$ 种抽法。

前者出现的可能性是后者的两倍。古典概型的公式 $P=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ 只在等可能时成立，样本点一旦不等可能，$20$ 这个分母就没有意义了。

怎么防

• 把实物当个体：卡片、球、人、座位——凡是能一个个摸到的，就贴上不同的标签去数，哪怕它们写着相同的数字。想象把两张 $2$ 偷偷标成 $2_a$、$2_b$。
• 分子分母同一套：分母按 $7$ 张卡片数了，分子也必须按卡片数。分母 $35$、分子却按数字组合去数，是这个坑的第二种死法。
• 自查：把各类概率加起来。用 $35$ 作分母时 $\frac{15+16+3+1}{35}=1$ ✓；用 $20$ 就凑不出 $1$。

反过来也别过度

写着相同数字的卡片在随机变量的取值上确实不分彼此——$\xi$ 只看数字，两张 $2$ 给出的都是 $\xi=2$。计数时当成不同，取值时按数字算，两件事不矛盾。