浙江 2011 · 数学 q09

冷启动：把两个条件拆成两个事件，四个选项就各就各位了

$5$ 本互不相同的书随机排成一排，其中语文 $2$ 本、数学 $2$ 本、物理 $1$ 本， 问「同一科目的书都不相邻」的概率。样本空间是全部 $5!=120$ 种摆法，每种等可能——古典概型， 全部功夫都在「怎么数」。

「同一科目的书都不相邻」这句话里其实有两个条件（物理只有一本，不受约束）：

$$A=\{\text{两本语文相邻}\},\qquad B=\{\text{两本数学相邻}\} ,$$

所求的是 $\overline{A}\cap\overline{B}$，即两个都不发生。而

$$|A|=|B|=2!\times 4!=48 ,\qquad |A\cap B|=2!\times 2!\times 3!=24$$

（$|A|$：把两本语文捆成一个整体，与其余 $3$ 本共 $4$ 个对象排成一列 $4!$，捆内两本再排 $2!$。 $|A\cap B|$：两对各捆一个，与物理书共 $3$ 个对象排 $3!$，两捆内部各 $2!$。）

四个选项恰好是这张韦恩图上的四块——先把图看懂，比先算更重要：

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解法一：正难则反——数「至少一对相邻」，再用容斥

「都不相邻」正面数要盯着相邻位置一个一个填；它的反面「至少有一对相邻」只有两类， 而且每一类都能用捆绑法一步数完。

$$\left|A\cup B\right|=|A|+|B|-|A\cap B|=48+48-24=72 .$$

那个 $-24$ 是这条路的全部技术含量：两本语文相邻、两本数学也相邻的那 $24$ 种， 在 $|A|$ 里数了一次、在 $|B|$ 里又数了一次，不减掉就多算一遍。

于是

$$\left|\overline{A}\cap\overline{B}\right|=120-72=48 , \qquad P=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} ,$$

选 B。

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解法二：只数科目图案——$2!\cdot 2!$ 在分子分母上原样约掉

先问一句：把两本语文互换，「同科不相邻」这件事变不变？不变。两本数学同理。 所以书的编号对这道题毫无信息，只有「科目排成什么图案」有用。

把同科的书看成相同，图案就是 $\{\text{语},\text{语},\text{数},\text{数},\text{物}\}$ 的排列，共

$$\frac{5!}{2!\,2!\,1!}=30\ \text{个} .$$

每个图案对应 $2!\times 2!=4$ 种具体摆法，好的图案与全部图案都要乘这同一个 $4$，一约就没了：

$$P=\frac{N_{\text{好}}\times 4}{30\times 4}=\frac{N_{\text{好}}}{30} .$$

于是只需在 $30$ 个图案里数出合格的几个——这个数小到可以逐个枚举。 按物理书站在第几位分五类（这五类不重不漏）：

每一格都是可以当场复核的：物占掉一个位置后，剩下四个位置要放 $\{\text{语},\text{语},\text{数},\text{数}\}$， 且同一段连续位置里不能出现两个相同的字。例如物在第 $3$ 位时，第 $1,2$ 位与第 $4,5$ 位 各自是一段长 $2$ 的连续段，段内必须一语一数，$2\times 2=4$ 种；物在第 $1$ 位时， 第 $2\sim5$ 位是一段长 $4$ 的连续段，$\{\text{语},\text{语},\text{数},\text{数}\}$ 在一段里两两不同相邻只有交替的 语数语数、数语数语两种。

合计 $2+2+4+2+2=12$，所以

$$P=\frac{12}{30}=\frac{2}{5} ,$$

选 B。（把 $12$ 乘回 $4$ 正好是解法一的 $48$，两条路对得上。）

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解法三：插空法正面数——先排「数数物」，再把两本语文插进空里

正面数也可以不硬填：先排别人，再把要「不相邻」的那两本插进空档。

先排数学两本与物理一本，共 $3!=6$ 种。排好后这三本之间与两端共有 $4$ 个空。 把两本语文放进不同的两个空（一个空最多放一本），语文就一定不相邻了。

但插空只管语文，不管数学——数学那两本相不相邻，得看先排的那 $6$ 种里它长什么样， 于是分两类：

（一）先排的那 $6$ 种里，两本数学本来就分开的有 $2$ 种（数物数的两种编号顺序）。 这时四个空随便挑两个放语文：$A_{4}^{2}=4\times 3=12$ 种。 小计 $2\times 12=24$。

（二）两本数学挨着的有 $4$ 种（数数物、物数数各两种编号顺序）。 这时必须有一本语文插进两本数学中间那个空，把它们隔开；插哪一本有 $2$ 种选法， 另一本语文再从剩下 $3$ 个空里挑一个，$3$ 种。 小计 $4\times(2\times 3)=4\times 6=24$。

两类不重不漏，合起来

$$24+24=48 ,\qquad P=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} ,$$

选 B。

这里最容易掉的坑：只写 $3!\times A_{4}^{2}=6\times 12=72$ 就交卷。 那等于默认「先排好的三本自己没有约束」，可数学那两本明明也不许相邻—— $72$ 比正确答案 $48$ 多出的 $24$，恰好就是「两本数学仍挨着」的那一批。

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三条路怎么选

• 考场上用解法一。 「都不」「至少」这类词一出现就先想反面；捆绑 $+$ 容斥两行写完，最快。
• 解法二适合心里没底的时候。 把 $120$ 缩成 $30$ 之后，答案是数出来的而不是算出来的， 没有任何公式可以用错；代价是要老老实实列 $12$ 个图案。
• 解法三练的是「插空只管被插的那批」这个界。 它在这道题里之所以要分两类，正是因为 先排的那批自己也带着约束——这一点在别的题里同样会咬人。

三条路的中间量各不相同（$72$ / $12$ / $24+24$），却都落到 $48$ 与 $\dfrac{2}{5}$，互为验算。

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为什么另外三个选项是错的

对着韦恩图看，三个干扰项各是图上的一块：

• A（$\dfrac15$）$=\dfrac{24}{120}$：这是 $|A\cap B|$，即「两对都相邻」的概率。 把「都不相邻」的否定当成了「都相邻」——「都不」的反面是「至少一个」，不是「都」。
• C（$\dfrac35$）$=\dfrac{72}{120}$：这是 $|A\cup B|$，「至少一对相邻」的概率， 恰好是所求事件的对立事件。用了正难则反，却忘了最后再减一次。
• D（$\dfrac45$）$=1-\dfrac{24}{120}$：只把「两对都相邻」当成了坏事件排除掉。 它错在坏事件数小了：$|A\cup B|=72$ 才是全部的坏事件，$24$ 只是其中重叠的那一小块。

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易错

1. 容斥忘了减重叠。 $48+48=96$ 不是 $|A\cup B|$；被数两次的那 $24$ 种必须减掉一次。 这也是本题最常见的错法——$120-96=24$，$\dfrac{24}{120}=\dfrac15$，正好掉进 A。
2. 「都不」的反面搞错。 $\overline{\overline{A}\cap\overline{B}}=A\cup B$（至少一个发生）， 不是 $A\cap B$。这一步说反，答案就在 A 与 C 之间乱跳。
3. 插空法用过了头。 插空只保证被插进去的那批两两不相邻；先排好的那批有没有约束， 要另外看。本题必须按「两本数学是否已经挨着」分类，否则会多算 $24$ 种。
4. 约分的前提没验。 「只数图案」能约掉 $2!\cdot 2!$，靠的是「同科两本互换不改变所问的性质」； 题目若改成「语文甲必须排在语文乙左边」，这一步立刻不成立。
5. 官方【分析】里的式子是错的。 原卷「分析」段写「共有 $C_{2}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}$ 种结果」， 算出来只有 $2\times 2\times 6=24$，与它自己「解答」段数出的 $48$ 自相矛盾—— 以 $48$ 为准（本站的校订层已把这处矛盾记下，但不代为改数）。