10.1.3 古典概型

文字转写

$M=\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}$ , $N=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)\}$ . (2) 因为 $R \subseteq R_{1}$ ，所以事件 $R_{1}$ 包含事件 R； 因为 $R \cap G = \varnothing$ ，所以事件 R 与事件 G 互斥； 因为 $M \cup N = \Omega$ ， $M \cap N = \varnothing$ ，所以事件 M 与事件 N 互为对立事件. (3) 因为 $R \cup G = M$ ，所以事件 M 是事件 R 与事件 G 的并事件； 因为 $R_{1} \cap R_{2} = R$ ，所以事件 R 是事件 $R_{1}$ 与事件 $R_{2}$ 的交事件.

练习

1. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）. （A）至多一次中靶 （B）两次都中靶 （C）只有一次中靶 （D）两次都没有中靶

2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： $C_{i}=$ “点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6； $D_{1}=$ “点数不大于2”， $D_{2}=$ “点数大于2”， $D_{3}=$ “点数大于4”； E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。 判断下列结论是否正确. (1) $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 互斥； (2) $C_{2}$ ， $C_{3}$ 为对立事件； (3) $C_{3} \subseteq D_{2}$ ； (4) $D_{3} \subseteq D_{2}$ ； (5) $D_{1} \cup D_{2} = \Omega$ , $D_{1}D_{2} = \varnothing$ ; (6) $D_{3}=C_{5}\cup C_{6}$ ; (7) $E=C_{1}\cup C_{3}\cup C_{5}$ ; (8) E, F 为对立事件； (9) $D_{2} \cup D_{3} = D_{2}$ ; (10) $D_{2} \cap D_{3} = D_{3}$ .

10.1.3 古典概型

研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小。对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件 $A$ 的概率用 $P(A)$ 表示。

我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计。但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？

思考

在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验。它们的共同特征有哪些？

考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性. 可以发

现，它们具有如下共同特征：

(1) 有限性: 样本空间的样本点只有有限个;

(2) 等可能性: 每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

下面我们就来研究古典概型.

思考

考虑下面两个随机试验，如何度量事件 A 和事件 B 发生的可能性大小？

(1) 一个班级中有 18 名男生、22 名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件 $A =$ “抽到男生”；

(2) 抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，事件 B = “恰好一次正面朝上”.

对于问题（1），班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.

抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小。因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件 $A =$ “抽到男生”包含18个样本点。因此，事件 $A$ 发生的可能性大小为 $\frac{18}{40} = \frac{9}{20}$。

对于问题（2），我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间

$\Omega = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\}$,

共有 8 个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.

事件 $B$ 发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小。因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。因为 $B = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$，所以事

$\frac {3}{8}$

一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率

$P (A) = \frac {k}{n} = \frac {n (A) ^ {\bullet}}{n (\Omega)}.$

其中， $n(A)$ 和 $n(\Omega)$ 分别表示事件 $A$ 和样本空间 $\Omega$ 包含的样本点个数.

• •

①法国数学家拉普拉斯（P.-S. Laplace，1749—1827）在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义.

例 7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A，B，C，D 四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？

解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为$\Omega = \{\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}\}$．考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．设 $M =$ “选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以 $n(M) = 1$．所以，考生随机选择一个答案，答对的概率

$P (M) = \frac {1}{4}.$

思考

在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的）。你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？

例 8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.

（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

(2) 求下列事件的概率:

$A = \text{“两个点数之和是 } 5 \text{”};$

$B = \text{“两个点数相等”};$

$C = \text{“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”}.$

解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果。用数字 $m$ 表示Ⅰ号骰子出现的点数是 $m$ ，数字 $n$ 表示Ⅱ号骰子出现的点数是 $n$ ，则数组 $(m, n)$ 表示这个试验的一个样本点。因此该试验的样本空间

$\Omega = \{(m, n) \mid m, n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \},$

其中共有 36 个样本点.

由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.

(2) 因为 $A=\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}$ ，所以 $n(A)=4$ ，从而

$P (A) = \frac {n (A)}{n (\Omega)} = \frac {4}{3 6} = \frac {1}{9};$

因为 $B = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$，所以 $n(B) = 6$，从而

$P (B) = \frac {n (B)}{n (\Omega)} = \frac {6}{3 6} = \frac {1}{6};$

因为

$C = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2),$

$(5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) \},$

所以 $n(C) = 15$ ，从而

$P (C) = \frac {n (C)}{n (\Omega)} = \frac {1 5}{3 6} = \frac {5}{1 2}.$

思考

在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点。这样，（1，2）和（2，1）的结果将无法区别。

当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间 $\Omega_1 = \{(m, n) \mid m, n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，且 $m \leqslant n\}$，则 $n(\Omega_1) = 21$。其中，事件 $A =$ “两个点数之和是5”的结果变为 $A = \{(1, 4), (2, 3)\}$，这时 $P(A) = \frac{2}{21}$。

思考

同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？

可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，（1，1）和（1，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此 $P(A)=\frac{2}{21}$ 是错误的.

归纳

求解古典概型问题的一般思路：

（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；

(2) 根据实际问题情境判断样本点的等可能性;

(3) 计算样本点总个数及事件 A 包含的样本点个数，求出事件 A 的概率.

例 9 袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球、3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，求下列事件的概率：

(1) A = “第一次摸到红球”;

(2) B = “第二次摸到红球”;

(3) AB = “两次都摸到红球”.

解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示.

（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即

$\begin{array}{c} A = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), \\ (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5) \}, \end{array}$

所以

$P (A) = \frac {8}{2 0} = \frac {2}{5}.$

(2) 第二次摸到红球的可能结果也有 8 种（表中第 1, 2 列），即

$\begin{array}{c} B = \{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), \\ (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2) \}, \end{array}$

所以

$P (B) = \frac {8}{2 0} = \frac {2}{5}.$

（3）事件 AB 包含 2 个可能结果，即 $AB = \{(1, 2), (2, 1)\}$ ，所以

$P (A B) = \frac {2}{2 0} = \frac {1}{1 0}.$

如果同时摸出 2 个球，那么事件 AB 的概率是多少？

例 10 从两名男生（记为 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ）、两名女生（记为 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ ）中任意抽取两人，

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间；

(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.

解：设第一次抽取的人记为 $x_{1}$ ，第二次抽取的人记为 $x_{2}$ ，则可用数组 $(x_{1}, x_{2})$ 表示样本点.

（1）根据相应的抽样方法可知：

有放回简单随机抽样的样本空间

$\begin{array}{r l} \Omega_ {1} = \{(B _ {1}, B _ {1}), (B _ {1}, B _ {2}), (B _ {1}, G _ {1}), (B _ {1}, G _ {2}), (B _ {2}, B _ {1}), (B _ {2}, B _ {2}), (B _ {2}, \\ G _ {1}), (B _ {2}, G _ {2}), (G _ {1}, B _ {1}), (G _ {1}, B _ {2}), (G _ {1}, G _ {1}), (G _ {1}, G _ {2}), (G _ {2}, B _ {1}), \\ (G _ {2}, B _ {2}), (G _ {2}, G _ {1}), (G _ {2}, G _ {2}) \}. \end{array}$

不放回简单随机抽样的样本空间

$\begin{array}{r l} \Omega_ {2} = \{(B _ {1}, B _ {2}), (B _ {1}, G _ {1}), (B _ {1}, G _ {2}), (B _ {2}, B _ {1}), (B _ {2}, G _ {1}), (B _ {2}, G _ {2}), (G _ {1}, \\ B _ {1}), (G _ {1}, B _ {2}), (G _ {1}, G _ {2}), (G _ {2}, B _ {1}), (G _ {2}, B _ {2}), (G _ {2}, G _ {1}) \}. \end{array}$

按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间

$\Omega_ {3} = \{(B _ {1}, G _ {1}), (B _ {1}, G _ {2}), (B _ {2}, G _ {1}), (B _ {2}, G _ {2}) \}.$

(2) 设事件 A = “抽到两名男生”，则

对于有放回简单随机抽样，

$A = \{(B _ {1}, B _ {1}), (B _ {1}, B _ {2}), (B _ {2}, B _ {1}), (B _ {2}, B _ {2}) \}.$

因为抽中样本空间 $\Omega_{1}$ 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型。因此

$P (A) = \frac {4}{1 6} = \frac {1}{4}.$

对于不放回简单随机抽样，

$A = \{(B _ {1}, B _ {2}), (B _ {2}, B _ {1}) \}.$

因为抽中样本空间 $\Omega_{2}$ 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型。因此

$P (A) = \frac {2}{1 2} = \frac {1}{6}.$

因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以 $A = \varnothing$ ，因此 $P(A) = 0$ .

例 10 表明，同一个事件 A = “抽到两名男生” 发生的概率，在按性别等比例分层随机抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大。因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。

上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题。我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高。上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率。特别是，在按性别等比例分层随机抽样中，全是男生的样本出现的概率为 0，真正避免了这类极端样本的出现。所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要。