最小值型随机变量的分布与期望

题型说明

• 常见问法：$n$ 个带号码的对象里随机取 $m$ 个，$\xi=$ 所取号码的最小值（或最大值），求 $P(\xi=k)$ 与 $E(\xi)$。
• 识别特征：随机变量由一组数的最值定义——它的取值范围由「还剩几个比它大的」卡死，取值个数往往比号码个数少。
• 两条主线：
  1. 逐值算 $P(\xi=k)$，列分布列，按定义求期望——稳，但每个 $k$ 都要讨论一次；
  2. 改算尾概率 $P(\xi\ge k)$——$\{\xi\ge k\}$ 就是「取到的全都 $\ge k$」，一个组合数了事；再由 $P(\xi=k)=P(\xi\ge k)-P(\xi\ge k+1)$ 和 $E(\xi)=\sum_k P(\xi\ge k)$ 收口。

先定取值范围

最小值 $\xi$ 能取到 $k$，前提是号码 $\ge k$ 的对象至少有 $m$ 个（否则凑不满 $m$ 个）。所以 $\xi$ 的最大可能取值是「倒数第 $m$ 个号码」，而不是最大号码——先把这个范围定死，分布列才不会多列或少列。

常见陷阱

• 把「最小值为 $k$」当成「取到了 $k$」：后者还允许同时取到更小的号码。
• 对象里有重复号码时，仍要把它们视为不同的个体来计数，否则等可能性就没了。
• 只求期望却硬要列出整张分布列——取值一多，计算量白白翻几倍。