离散型随机变量的分布列

教材原文

一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，我们称 X 取每一个值 $x_{i}$ 的概率

$P (X = x _ {i}) = p _ {i}, i = 1, 2, \dots , n$

为 X 的概率分布列，简称分布列.

根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：

(1) $p_{i}\geqslant0,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n;$

(2) $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1.$

定义

离散型随机变量 $X$ 的分布列，就是把它的全部可能取值 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 与对应概率 $p_i=P(X=x_i)$ 一一列齐的那张表。

要点

• 先定取值范围，再算概率。 列表前要问清楚：$X$ 到底能取哪几个值？漏一个值，后面的概率和就不是 $1$。
• $\sum p_i=1$ 是免费的自查。 概率加起来不等于 $1$，说明取值漏了或某一类数错了——这一步几乎不花时间，务必做。
• 有了分布列，任何由 $X$ 描述的事件的概率都能加出来：$P(X\le2)=P(X=1)+P(X=2)$。
• 分布列是求期望、方差的通常入口；但它不是唯一入口——只求期望时，有时可以绕开整张表（见「期望的尾概率求和」）。